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Autor Tema: Determinar el rango de una constante en desigualdad.  (Leído 1971 veces)
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thadeu
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« : 04/01/2019, 06:15:02 pm »

Hola amigos del rincón.
he estrado intentando este problema y la verdad,  todos  mis intentos fueron infructuosos, es por ello que pido su ayuda.

Determine el rango de [texx]k[/texx] tal que la siguiente desigualdad se cumple para todo los reales positivos [texx]a,b,c[/texx] que satisfacen [texx]a+b+c=3[/texx]
[texx]\displaystyle\frac{1}{a^2}+\displaystyle\frac{1}{b^2}+\displaystyle\frac{1}{c^2}-3\geq{k(a^2+b^2+c^2-3)}[/texx]

Saludos y gracias.
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thadeu
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« Respuesta #1 : 07/01/2019, 01:10:38 pm »

es claro que si [texx]a=b=[/texx]c entonces se consigue  [texx]0\geq{0}[/texx] que es cierto.
entonces podemos suponer que [texx]a>b,c[/texx]
y de la  desigualdad conocida  [texx]3(a^2+b^2+c^2)\geq{(a+b+c)^2}[/texx] con igualdad si y solo si [texx]a=b=c[/texx], pero estamos suponiendo que [texx]a>b,c [/texx]
por lo que la desigualdad es estricta [texx]3(a^2+b^2+c^2)>(a+b+c)[/texx] y  dado que [texx]a+b+c=3[/texx] 
queda [texx]a^2+b^2+c^2>3[/texx]
[texx]a^2+b^2+c^2-3>0[/texx]
Ahora podemos escribir la desigualdad como:
[texx]\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{a^2}+\displaystyle\frac{1}{b^2}+\displaystyle\frac{1}{c^2}-3}{a^2+b^2+c^2-3}\geq{k}[/texx]

por lo que necesitamos acotar [texx]\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{a^2}+\displaystyle\frac{1}{b^2}+\displaystyle\frac{1}{c^2}-3}{a^2+b^2+c^2-3}[/texx] inferiormente.

para esto por media aritmética y media armónica

[texx]\displaystyle\frac{1}{a^2}+\displaystyle\frac{1}{b^2}+\displaystyle\frac{1}{c^2}-3>\displaystyle\frac{9}{a^2+b^2+c^2}-3 =\displaystyle\frac{-3(a^2+b^2+c^2-3)}{a^2+b^2+c^2}[/texx],(nuevamente la desigualdad es estricta por que no se alcanza la igualdad)
 
entonces,
[texx]\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{a^2}+\displaystyle\frac{1}{b^2}+\displaystyle\frac{1}{c^2}-3}{a^2+b^2+c^2-3}>\displaystyle\frac{-3(a^2+b^2+c^2-3)}{(a^2+b^2+c^2)(a^2+b^2+c^2-3)}=\displaystyle\frac{-3}{a^2+b^2+c^2}[/texx]

y del hecho [texx]a^2+b^2+c^2-3>0[/texx] es fácil ver que  [texx]\displaystyle\frac{-3}{a^2+b^2+c^2}>-1[/texx]
entonces tenemos que

[texx]\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{a^2}+\displaystyle\frac{1}{b^2}+\displaystyle\frac{1}{c^2}-3}{a^2+b^2+c^2-3}>-1[/texx]

Ahora faltaría ver que es la mejor cota inferior, cosa que no veo como  realizar,
 cualquier ayuda se agradece.
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thadeu
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« Respuesta #2 : 24/01/2019, 05:33:49 pm »

¿Algún punto de vista  que me oriente?
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 25/01/2019, 08:33:44 am »

Hola

¿Algún punto de vista  que me oriente?

Si consideras la función:

[texx]F(a,b,c)=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{a^2}+\displaystyle\frac{1}{b^2}+\displaystyle\frac{1}{c^2}-3}{a^2+b^2+c^2-3}[/texx]

con las restricciones [texx]a,b,c\geq 0,\,a+b+c=3[/texx], tras unos experimentos creo que su mínimo es [texx]k=F(4/5,4/5,7/5)[/texx].

La cosa es encontrar una demostración cómoda y elegante.

Saludos.
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maguas
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« Respuesta #4 : 10/02/2019, 12:38:46 am »

Hola

¿Algún punto de vista  que me oriente?

Si consideras la función:

[texx]F(a,b,c)=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{a^2}+\displaystyle\frac{1}{b^2}+\displaystyle\frac{1}{c^2}-3}{a^2+b^2+c^2-3}[/texx]

con las restricciones [texx]a,b,c\geq 0,\,a+b+c=3[/texx], tras unos experimentos creo que su mínimo es [texx]k=F(4/5,4/5,7/5)[/texx].

La cosa es encontrar una demostración cómoda y elegante.

Saludos.
Hola Luis,
Ya sabiendo que  tal mínimo se alcanza cuando dos variables son iguales,
el problema se reduce a  probar [texx]f(x)=\displaystyle\frac{2}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{(3-2x)^2}-\displaystyle\frac{2075(2x^2+(3-2x)^2)}{784}+\displaystyle\frac{3873}{784}\geq{0} , x\in{(0,1]} [/texx]
pero segun wolfran alpha el minimo de [texx]f(x)[/texx] es [texx] \approx{-9.94167x10^{-7}}[/texx] cuando [texx]x\approx{0.80073}[/texx]
es normal tener ese margen en los decimales?
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thadeu
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« Respuesta #5 : 10/02/2019, 12:18:54 pm »

Hola maguas
¿A que margen te refieres?
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« Respuesta #6 : 10/02/2019, 08:53:46 pm »

Hola maguas
¿A que margen te refieres?
Hola
Según  Luis Fuentes

[texx]F(a,b,c)=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{a^2}+\displaystyle\frac{1}{b^2}+\displaystyle\frac{1}{c^2}-3}{a^2+b^2+c^2-3}[/texx] el mínimo lo alcanza  cuando

[texx]a=b=\displaystyle\frac{4}{5}, c=\displaystyle\frac{7}{5}[/texx]

Si reemplazas estos valores obtienes  [texx]F(4/5,4/5,7/5) =\displaystyle\frac{2075}{784} [/texx]

por lo que debemos demostrar que [texx]\displaystyle\frac{1}{a^2}+\displaystyle\frac{1}{b^2}+\displaystyle\frac{1}{c^2}-3\geq\displaystyle\frac{2075(a^2+b^2+c^2-3)}{784}[/texx] bajo la restricción [texx]a+b+c=3[/texx]

Ahora supongamos que la afirmación de Luis es cierta, entonces la última desigualdad debe cumplirse cuando tomamos [texx]a=b=x[/texx] y [texx]c=3-2x[/texx]   reemplazando  estos valores y con un manejo algebraico se llega a
que la desigualdad a probar se reduce a encontrar el mínimo de
 
[texx]f(x)=\displaystyle\frac{2}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{(3-2x)^2}-\displaystyle\frac{2075(2x^2+(3-2x)^2}{784}+\displaystyle\frac{3873}{784}[/texx], con [texx]0<x\leq{1}[/texx], este mínimo  debería ser  [texx]0 [/texx] y alcanzarse  en [texx]x=4/5=0.8[/texx],

Pero según wolfran alpha el mínimo de [texx]f(x)[/texx] es [texx]≈−9.94167*10^{−7}[/texx] y se alcanza  cuando [texx]x≈0.80073 [/texx]
es esa entonces la pregunta que le hacia a Luis.
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manooooh
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« Respuesta #7 : 10/02/2019, 09:53:16 pm »

Hola

Según WolframAlpha, si uno escribe el siguiente comando:

[texx]\textrm{minimize ((1/(x^2)+1/(y^2)+1/(z^2)-3)/(x^2+y^2+z^2-3)) if x>=0,y>=0,z>=0,x+y+z=3}[/texx]

entonces existen dos mínimos:

  • [texx](a,b,c)\approx(1.39853,0.800733,0.800733)[/texx] cuyo valor aproximado es [texx]2.64668[/texx],
  • [texx](a,b,c)\approx(0.800733,0.800733,1.39853)[/texx] cuyo valor aproximado es [texx]2.64668[/texx].

Saludos

EDIT: como era de esperarse, WolframAlpha da un resultado aproximado pero en realidad el valor que obtiene luego de reemplazar el punto [texx](4/5,4/5,7/5)[/texx] en la función que Luis brinda es más chico que el que da WolframAlpha, por lo que su mínimo sigue siendo cierto
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Luis Fuentes
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« Respuesta #8 : 11/02/2019, 07:09:37 am »

Hola

[texx]f(x)=\displaystyle\frac{2}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{(3-2x)^2}-\displaystyle\frac{2075(2x^2+(3-2x)^2}{784}+\displaystyle\frac{3873}{784}[/texx], con [texx]0<x\leq{1}[/texx], este mínimo  debería ser  [texx]0 [/texx] y alcanzarse  en [texx]x=4/5=0.8[/texx],

Pero según wolfran alpha el mínimo de [texx]f(x)[/texx] es [texx]≈−9.94167*10^{−7}[/texx] y se alcanza  cuando [texx]x≈0.80073 [/texx]
es esa entonces la pregunta que le hacia a Luis.

Tienes razón; algo no encaja.

Si se evalúa [texx]f(x)[/texx] en [texx]x=80073/10000[/texx] el Wolfram Mathematica calcula el valor exacto (una fracción) y da menor que [texx]f(4/5).[/texx]

Por tanto parece que estoy equivocado y tampoco el mínimo es el que yo digo.

Saludos.
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thadeu
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« Respuesta #9 : 19/05/2019, 01:11:50 pm »

Gracias a todos por su interés, cualquier sugerencia o avance es  bienvenido.
Saludos.
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« Respuesta #10 : 20/05/2019, 07:23:08 am »

Hola

Gracias a todos por su interés, cualquier sugerencia o avance es  bienvenido.

Siguiendo lo hecho por maguas, sospecho que el mínimo de:

[texx]F(a,b,c)=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{a^2}+\displaystyle\frac{1}{b^2}+\displaystyle\frac{1}{c^2}-3}{a^2+b^2+c^2-3}
[/texx]

bajo la restricción de [texx]a+b+c=3[/texx] se alcanza cuando dos de las variables son iguales.

Eso equivale a minimizar:

[texx]g(x)=F(x,x,3-x)=\dfrac{3+2x-x^2}{x^2(3-2x)^2}[/texx]

con [texx]x\in [0,3/2][/texx].

El mínimo se alcanza en la solución de [texx]g'(x)=0[/texx] que equivale a resolver:

[texx]4x^3-6x^2-9x+9=0[/texx]

siendo [texx]x_0[/texx] su solución real, tenríamos [texx]k=g(x_0)[/texx].

El problema es que la solución es fea. Aproximadamente:

[texx]x_0=0.8007327778976472[/texx]

y

[texx]g(x_0)=2.646679500643208[/texx]

Saludos.
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maguas
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« Respuesta #11 : 21/05/2019, 12:26:00 pm »

Hola amigos,
Ya me dio curiosidad este problema,
en su momento también resolví una cubica y obtenía los valores exactos para los cuales se obtenía dicho mínimo.

[texx]a=b=\displaystyle\frac{1}{2}-2cos\left( \displaystyle\frac{cos^{-1}\left (\displaystyle\frac{7}{16} \right) +4\pi}{3} \right) [/texx]


[texx]c=2+4cos\left( \displaystyle\frac{cos^{-1}\left (\displaystyle\frac{7}{16} \right) +4\pi}{3} \right) [/texx]

Pero reemplazar esos valores en [texx]F(a,b,c)[/texx], parece ser un infierno,

creo entonces que el verdadero problema está, en encontrar el valor exacto de dicho mínimo.
En su momento llegue hasta ese punto,  recuerdo que tenia un argumento que justificaba que el  mínimo lo alcanzaba cuando dos variables eran iguales.
Saludos.
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