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Autor Tema: Determinar el rango de una constante en desigualdad.  (Leído 916 veces)
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thadeu
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« : 04/01/2019, 06:15:02 pm »

Hola amigos del rincón.
he estrado intentando este problema y la verdad,  todos  mis intentos fueron infructuosos, es por ello que pido su ayuda.

Determine el rango de [texx]k[/texx] tal que la siguiente desigualdad se cumple para todo los reales positivos [texx]a,b,c[/texx] que satisfacen [texx]a+b+c=3[/texx]
[texx]\displaystyle\frac{1}{a^2}+\displaystyle\frac{1}{b^2}+\displaystyle\frac{1}{c^2}-3\geq{k(a^2+b^2+c^2-3)}[/texx]

Saludos y gracias.
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thadeu
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« Respuesta #1 : 07/01/2019, 01:10:38 pm »

es claro que si [texx]a=b=[/texx]c entonces se consigue  [texx]0\geq{0}[/texx] que es cierto.
entonces podemos suponer que [texx]a>b,c[/texx]
y de la  desigualdad conocida  [texx]3(a^2+b^2+c^2)\geq{(a+b+c)^2}[/texx] con igualdad si y solo si [texx]a=b=c[/texx], pero estamos suponiendo que [texx]a>b,c [/texx]
por lo que la desigualdad es estricta [texx]3(a^2+b^2+c^2)>(a+b+c)[/texx] y  dado que [texx]a+b+c=3[/texx] 
queda [texx]a^2+b^2+c^2>3[/texx]
[texx]a^2+b^2+c^2-3>0[/texx]
Ahora podemos escribir la desigualdad como:
[texx]\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{a^2}+\displaystyle\frac{1}{b^2}+\displaystyle\frac{1}{c^2}-3}{a^2+b^2+c^2-3}\geq{k}[/texx]

por lo que necesitamos acotar [texx]\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{a^2}+\displaystyle\frac{1}{b^2}+\displaystyle\frac{1}{c^2}-3}{a^2+b^2+c^2-3}[/texx] inferiormente.

para esto por media aritmética y media armónica

[texx]\displaystyle\frac{1}{a^2}+\displaystyle\frac{1}{b^2}+\displaystyle\frac{1}{c^2}-3>\displaystyle\frac{9}{a^2+b^2+c^2}-3 =\displaystyle\frac{-3(a^2+b^2+c^2-3)}{a^2+b^2+c^2}[/texx],(nuevamente la desigualdad es estricta por que no se alcanza la igualdad)
 
entonces,
[texx]\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{a^2}+\displaystyle\frac{1}{b^2}+\displaystyle\frac{1}{c^2}-3}{a^2+b^2+c^2-3}>\displaystyle\frac{-3(a^2+b^2+c^2-3)}{(a^2+b^2+c^2)(a^2+b^2+c^2-3)}=\displaystyle\frac{-3}{a^2+b^2+c^2}[/texx]

y del hecho [texx]a^2+b^2+c^2-3>0[/texx] es fácil ver que  [texx]\displaystyle\frac{-3}{a^2+b^2+c^2}>-1[/texx]
entonces tenemos que

[texx]\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{a^2}+\displaystyle\frac{1}{b^2}+\displaystyle\frac{1}{c^2}-3}{a^2+b^2+c^2-3}>-1[/texx]

Ahora faltaría ver que es la mejor cota inferior, cosa que no veo como  realizar,
 cualquier ayuda se agradece.
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thadeu
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« Respuesta #2 : 24/01/2019, 05:33:49 pm »

¿Algún punto de vista  que me oriente?
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 25/01/2019, 08:33:44 am »

Hola

¿Algún punto de vista  que me oriente?

Si consideras la función:

[texx]F(a,b,c)=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{a^2}+\displaystyle\frac{1}{b^2}+\displaystyle\frac{1}{c^2}-3}{a^2+b^2+c^2-3}[/texx]

con las restricciones [texx]a,b,c\geq 0,\,a+b+c=3[/texx], tras unos experimentos creo que su mínimo es [texx]k=F(4/5,4/5,7/5)[/texx].

La cosa es encontrar una demostración cómoda y elegante.

Saludos.
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maguas
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« Respuesta #4 : 10/02/2019, 12:38:46 am »

Hola

¿Algún punto de vista  que me oriente?

Si consideras la función:

[texx]F(a,b,c)=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{a^2}+\displaystyle\frac{1}{b^2}+\displaystyle\frac{1}{c^2}-3}{a^2+b^2+c^2-3}[/texx]

con las restricciones [texx]a,b,c\geq 0,\,a+b+c=3[/texx], tras unos experimentos creo que su mínimo es [texx]k=F(4/5,4/5,7/5)[/texx].

La cosa es encontrar una demostración cómoda y elegante.

Saludos.
Hola Luis,
Ya sabiendo que  tal mínimo se alcanza cuando dos variables son iguales,
el problema se reduce a  probar [texx]f(x)=\displaystyle\frac{2}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{(3-2x)^2}-\displaystyle\frac{2075(2x^2+(3-2x)^2)}{784}+\displaystyle\frac{3873}{784}\geq{0} , x\in{(0,1]} [/texx]
pero segun wolfran alpha el minimo de [texx]f(x)[/texx] es [texx] \approx{-9.94167x10^{-7}}[/texx] cuando [texx]x\approx{0.80073}[/texx]
es normal tener ese margen en los decimales?
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thadeu
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« Respuesta #5 : 10/02/2019, 12:18:54 pm »

Hola maguas
¿A que margen te refieres?
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« Respuesta #6 : 10/02/2019, 08:53:46 pm »

Hola maguas
¿A que margen te refieres?
Hola
Según  Luis Fuentes

[texx]F(a,b,c)=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{a^2}+\displaystyle\frac{1}{b^2}+\displaystyle\frac{1}{c^2}-3}{a^2+b^2+c^2-3}[/texx] el mínimo lo alcanza  cuando

[texx]a=b=\displaystyle\frac{4}{5}, c=\displaystyle\frac{7}{5}[/texx]

Si reemplazas estos valores obtienes  [texx]F(4/5,4/5,7/5) =\displaystyle\frac{2075}{784} [/texx]

por lo que debemos demostrar que [texx]\displaystyle\frac{1}{a^2}+\displaystyle\frac{1}{b^2}+\displaystyle\frac{1}{c^2}-3\geq\displaystyle\frac{2075(a^2+b^2+c^2-3)}{784}[/texx] bajo la restricción [texx]a+b+c=3[/texx]

Ahora supongamos que la afirmación de Luis es cierta, entonces la última desigualdad debe cumplirse cuando tomamos [texx]a=b=x[/texx] y [texx]c=3-2x[/texx]   reemplazando  estos valores y con un manejo algebraico se llega a
que la desigualdad a probar se reduce a encontrar el mínimo de
 
[texx]f(x)=\displaystyle\frac{2}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{(3-2x)^2}-\displaystyle\frac{2075(2x^2+(3-2x)^2}{784}+\displaystyle\frac{3873}{784}[/texx], con [texx]0<x\leq{1}[/texx], este mínimo  debería ser  [texx]0 [/texx] y alcanzarse  en [texx]x=4/5=0.8[/texx],

Pero según wolfran alpha el mínimo de [texx]f(x)[/texx] es [texx]≈−9.94167*10^{−7}[/texx] y se alcanza  cuando [texx]x≈0.80073 [/texx]
es esa entonces la pregunta que le hacia a Luis.
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manooooh
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« Respuesta #7 : 10/02/2019, 09:53:16 pm »

Hola

Según WolframAlpha, si uno escribe el siguiente comando:

[texx]\textrm{minimize ((1/(x^2)+1/(y^2)+1/(z^2)-3)/(x^2+y^2+z^2-3)) if x>=0,y>=0,z>=0,x+y+z=3}[/texx]

entonces existen dos mínimos:

  • [texx](a,b,c)\approx(1.39853,0.800733,0.800733)[/texx] cuyo valor aproximado es [texx]2.64668[/texx],
  • [texx](a,b,c)\approx(0.800733,0.800733,1.39853)[/texx] cuyo valor aproximado es [texx]2.64668[/texx].

Saludos

EDIT: como era de esperarse, WolframAlpha da un resultado aproximado pero en realidad el valor que obtiene luego de reemplazar el punto [texx](4/5,4/5,7/5)[/texx] en la función que Luis brinda es más chico que el que da WolframAlpha, por lo que su mínimo sigue siendo cierto
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Luis Fuentes
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« Respuesta #8 : 11/02/2019, 07:09:37 am »

Hola

[texx]f(x)=\displaystyle\frac{2}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{(3-2x)^2}-\displaystyle\frac{2075(2x^2+(3-2x)^2}{784}+\displaystyle\frac{3873}{784}[/texx], con [texx]0<x\leq{1}[/texx], este mínimo  debería ser  [texx]0 [/texx] y alcanzarse  en [texx]x=4/5=0.8[/texx],

Pero según wolfran alpha el mínimo de [texx]f(x)[/texx] es [texx]≈−9.94167*10^{−7}[/texx] y se alcanza  cuando [texx]x≈0.80073 [/texx]
es esa entonces la pregunta que le hacia a Luis.

Tienes razón; algo no encaja.

Si se evalúa [texx]f(x)[/texx] en [texx]x=80073/10000[/texx] el Wolfram Mathematica calcula el valor exacto (una fracción) y da menor que [texx]f(4/5).[/texx]

Por tanto parece que estoy equivocado y tampoco el mínimo es el que yo digo.

Saludos.
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