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Autor Tema: Determinar el rango de una constante en desigualdad.  (Leído 228 veces)
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thadeu
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« : 04/01/2019, 06:15:02 pm »

Hola amigos del rincón.
he estrado intentando este problema y la verdad,  todos  mis intentos fueron infructuosos, es por ello que pido su ayuda.

Determine el rango de [texx]k[/texx] tal que la siguiente desigualdad se cumple para todo los reales positivos [texx]a,b,c[/texx] que satisfacen [texx]a+b+c=3[/texx]
[texx]\displaystyle\frac{1}{a^2}+\displaystyle\frac{1}{b^2}+\displaystyle\frac{1}{c^2}-3\geq{k(a^2+b^2+c^2-3)}[/texx]

Saludos y gracias.
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thadeu
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« Respuesta #1 : 07/01/2019, 01:10:38 pm »

es claro que si [texx]a=b=[/texx]c entonces se consigue  [texx]0\geq{0}[/texx] que es cierto.
entonces podemos suponer que [texx]a>b,c[/texx]
y de la  desigualdad conocida  [texx]3(a^2+b^2+c^2)\geq{(a+b+c)^2}[/texx] con igualdad si y solo si [texx]a=b=c[/texx], pero estamos suponiendo que [texx]a>b,c [/texx]
por lo que la desigualdad es estricta [texx]3(a^2+b^2+c^2)>(a+b+c)[/texx] y  dado que [texx]a+b+c=3[/texx] 
queda [texx]a^2+b^2+c^2>3[/texx]
[texx]a^2+b^2+c^2-3>0[/texx]
Ahora podemos escribir la desigualdad como:
[texx]\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{a^2}+\displaystyle\frac{1}{b^2}+\displaystyle\frac{1}{c^2}-3}{a^2+b^2+c^2-3}\geq{k}[/texx]

por lo que necesitamos acotar [texx]\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{a^2}+\displaystyle\frac{1}{b^2}+\displaystyle\frac{1}{c^2}-3}{a^2+b^2+c^2-3}[/texx] inferiormente.

para esto por media aritmética y media armónica

[texx]\displaystyle\frac{1}{a^2}+\displaystyle\frac{1}{b^2}+\displaystyle\frac{1}{c^2}-3>\displaystyle\frac{9}{a^2+b^2+c^2}-3 =\displaystyle\frac{-3(a^2+b^2+c^2-3)}{a^2+b^2+c^2}[/texx],(nuevamente la desigualdad es estricta por que no se alcanza la igualdad)
 
entonces,
[texx]\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{a^2}+\displaystyle\frac{1}{b^2}+\displaystyle\frac{1}{c^2}-3}{a^2+b^2+c^2-3}>\displaystyle\frac{-3(a^2+b^2+c^2-3)}{(a^2+b^2+c^2)(a^2+b^2+c^2-3)}=\displaystyle\frac{-3}{a^2+b^2+c^2}[/texx]

y del hecho [texx]a^2+b^2+c^2-3>0[/texx] es fácil ver que  [texx]\displaystyle\frac{-3}{a^2+b^2+c^2}>-1[/texx]
entonces tenemos que

[texx]\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{a^2}+\displaystyle\frac{1}{b^2}+\displaystyle\frac{1}{c^2}-3}{a^2+b^2+c^2-3}>-1[/texx]

Ahora faltaría ver que es la mejor cota inferior, cosa que no veo como  realizar,
 cualquier ayuda se agradece.
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