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Autor Tema: Otra manera de abordar el UTF: recubrimientos en X^n  (Leído 37216 veces)
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« Respuesta #80 : 09/05/2018, 05:04:04 pm »

[texx]x^n[/texx] se puede descomponer mediante recubrimientos de manera única en suma de potencias de exponente menor, hasta [texx]x^3[/texx], [texx]x^{n-1}[/texx] es una superficie de [texx]x^n[/texx], si [texx]x^a.y^b[/texx] es una superficie de [texx]x^n[/texx] entonces [texx]a+b = n-1[/texx], así hasta [texx]x^2[/texx], veamos un ejemplo: consideremos [texx]3^3 = 3^2 + 2(2^2 +1) + 2.2^2; 4^3 = 4^2 + 2(3^2+2^2+1) +2(3^2+1[/texx] sumando miembro a miembro, tenemos que [texx]3^2+4^2,[/texx] ha de tener solución entera, luego podemos establecer una condición necesaria para que [texx]3^3+4^3[/texx] tenga solución entera es que la tenga [texx]3^2+4^2[/texx] pero es condición suficiente? Si desarrollamos [texx]5^3 = 5^2+ 2(4^2 + 3^2 + 2^2 + 1) +  2(4^2 +2^2)[/texx], comparando vemos que no. Se puede afirmar extendiendo a [texx]3^n + 4^n[/texx] no tiene solución entera?
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« Respuesta #81 : 28/01/2019, 06:25:54 pm »

Os voy a proponer un ejemplo para demostrar  que [texx]x^7+ y^7 = z^7[/texx], no tiene soluciones enteras, para eso utilizamos el polinomio general basado en los recubrimientos para  [texx]x^7[/texx],  así :

[texx] x^7 - 7px^6-21((m+p)^2-m^2)-35((m+p)^3-m^3)-35((m+p)^4-m^4)-21((m+p)^5-m^5)-7((m+p)^6-m^6)-((m+p)^7-m^7) =  0[/texx],

Sabemos que si la ecuación tiene soluciones enteras, también las tiene Fermat para [texx]n = 7[/texx], que se puede extender a cualquier exponente siempre que [texx]n[/texx] sea primo. Vamos a reducir módulo [texx]7[/texx], obtenemos [texx]x^7 - p ^7[/texx], los residuos: [texx]0, 1,2,3,4,5,6[/texx], comprobamos que el polinomio reducido tiene soluciones enteras en [texx]\mathbb Z_7[/texx], las clases [texx]0+7t, 1+7t, 2+7t, 3+7t,....,6+7t[/texx], todos los números para cualquier valor de [texx]m[/texx], [texx]p[/texx] de [texx](m+p)^7 - m^7[/texx], se encuentran en alguna de las clases, ahora construimos el polinomio:

  [texx]x^7 - a7x^6 -,b7x^5 - c7x^4 - d7x^3 - e7x^2 - f7x - (0+7t,  1+7t,....., 6+7t)[/texx],

 es decir buscamos los valores enteros de [texx]a, b, c, d, e, f,[/texx] que hacen que que el polinomio para [texx]0+7t, 1+7t,...., 6+7t[/texx], tenga soluciones enteras, los valores de [texx]a, b, ...,f[/texx], han de ser máximos, puesto que para pasar de un recubrimiento al siguiente el anterior ha de estar lleno( completo). Para [texx]0+7t[/texx], no existen soluciones enteras, para [texx]1+7t, a = b=c =....,f =t[/texx], comparamos con los coeficientes del polinomio de igual grado , resolvemos las ecuaciones resultantes y comprobamos que no hay valores de [texx]m, p[/texx], que satisfaga las ecuaciones, el mismo procedimiento lo hacemos para [texx]2+7t[/texx], los valores de :

[texx]a= t[/texx], [texx]b = 2t[/texx], [texx]c = 1+4t[/texx], [texx]d = t[/texx] [texx]e = 2t[/texx], [texx]f = 1+4t[/texx]

para [texx]3+7t[/texx], [texx]a = t[/texx], [texx]b= 1+3t[/texx], [texx]c = 2t[/texx], [texx]d = 2+6t[/texx], [texx]e = 1+4t[/texx], [texx]f = 2+5t[/texx],

para [texx]4+7t[/texx], [texx]a = t[/texx], [texx]b= 2+4t,[/texx] [texx]c =1+2t[/texx], [texx]d = t[/texx], [texx]e = 2+4t[/texx], [texx]f = 1+2t[/texx]

para [texx]5+7t[/texx], [texx]a = t[/texx], [texx]b = 3+5t[/texx], [texx]c = 2+4t[/texx], [texx]d = 4+6t[/texx], [texx]e = 1+2t,[/texx] [texx]f = 2+3t[/texx],

para [texx]6+7t[/texx], [texx]a = t[/texx], [texx]b = 5+6t[/texx], [texx]c = t[/texx], [texx]d = 9+4t[/texx], [texx]e = t[/texx], [texx]f = 5+6t[/texx],

una vez comprobadas todas las ecuaciones resultantes se constata de la no existencia de valores enteros para [texx]m, p[/texx], de lo que  se deduce que [texx]x^7 + y^7 = z^7[/texx] no tiene soluciones enteras.

 Los cálculos si queréis los podéis hacer vosotros. Saludos.
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« Respuesta #82 : 18/06/2019, 05:10:02 pm »

Vamos a aplicar este procedimiento para [texx]n=2[/texx], que se puede extender a cualquier exponente.

Partimos de [texx]x^2-2tx-(1+2t),[/texx] vamos a calcular el número total de polinomios que tienen como solución entera  [texx]1+2t[/texx];  así: [texx]x^2- 2(t-q)x-(1+2t) (1+2q) [/texx] con [texx]0\leq q\leq t-1[/texx].

El número de polinomios es [texx]t[/texx], el polinomio de recubrimientos para [texx]n=2[/texx], [texx]x^2-2px-(2mp+p^2)[/texx].

Comparando miembro a  miembro, [texx](t-q)= p[/texx], entonces , [texx]1+2q[/texx] ha de ser múltiplo de [texx](t-q)[/texx]; observamos que existe [texx]t[/texx] y [texx]q[/texx] que satisfacen la condición. Es decir existen infinitas soluciones.

 Con este método se obtienen de manera natural para una [texx]x[/texx] determinada, sus ternas pitagóricas asociadas sean primitivas o no.

 Un ejemplo: sea [texx]x^2-2(4-q)x-9(1+2q)[/texx], para [texx]t=4[/texx], [texx]q[/texx] puede tomar los valores [texx]0, 1, 2, 3[/texx]:

- para [texx]q=0[/texx], tenemos [texx]x^2-8x-9[/texx],[texx] p =4[/texx], no.

- para [texx]q=1[/texx], [texx]x^2-6x-27[/texx], [texx]p=3[/texx], [texx]3[/texx] múltiplo de [texx]3[/texx], si, entonces [texx]p= 3[/texx], m se obtiene resolviendo [texx]2mp+p^2= 27[/texx], [texx]m= 3[/texx], la terna es [texx](9, 12, 15)[/texx]-

- para [texx]q=2[/texx],  [texx]x^2-4x-45[/texx], [texx]p=2[/texx], no.

- para [texx]q=3[/texx], [texx]x^2-2x-63[/texx], [texx]p=1[/texx], resolvemos [texx]m[/texx], [texx]m=31[/texx], la terna [texx](9, 40, 41).[/texx]

Para cualquier exponente se procede del mismo modo y aparecen los polinomios ciclotómicos también de manera natural.

Saludos.
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« Respuesta #83 : 26/06/2019, 05:18:51 pm »

Vamos a considerar el caso [texx]n=3[/texx].

 Establecemos una condición, un coeficiente es mayor que el anterior y menor que el posterior.

 El número total de polinomios es [texx]t(t+1)/2[/texx]. 

 Así : [texx]x^3-3(t-q)x^2-3(t+a(1+3t))x-(1+3(q-a )(1+3t))[/texx] con [texx]0\leq a\leq (q-1)[/texx].
 Comparamos miembros miembro con el polinomio de recubrimientos: [texx]x^3-3px^2-3(2mp+p^2)x-(3m^2p+3mp^2+p^3)[/texx], [texx]a[/texx] ha de ser entero.
 Haciendo los cálculos [texx]a[/texx] es de la forma: [texx]3(t-2(m+q))-2/9[/texx], se constata la imposibilidad que [texx]a[/texx] sea entero, se puede afirmar que para [texx]n = 3[/texx], no existen soluciones enteras.

 Una vez separada la parte entera nos queda: [texx]x^2+(1+3q)x+(1+3(q-a)(1+3t))[/texx], las soluciones  conforman la sucesión finita de enteros ciclotómicos, dándole valores a [texx]t, q, a[/texx]. Cuando [texx]q=0[/texx], obtenemos: [texx]x^2+x+[/texx]1, sus raíces son términos de la sucesión.
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