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Autor Tema: Diferencial de una normal  (Leído 1128 veces)
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Julio_fmat
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« : 30/12/2018, 08:23:20 pm »

Sea [texx]S[/texx] la superficie parametrizada por [texx]\varphi(u,v)=(1+u+v,3+u-2v,\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2})[/texx] donde [texx]-1<u<1[/texx] y [texx]-1<v<1.[/texx] Calcular [texx]dN_p(\varphi_u)[/texx]. ¿Cuál es el valor de [texx]dN_p (v)[/texx] en un vector tangente [texx]v[/texx] arbitrario?

Hola, no entiendo como calcular el valor, me pueden ayudar. Muchas Gracias :sonrisa:.
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Julio_fmat
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« Respuesta #1 : 02/01/2019, 07:05:31 pm »

Hola, alguien sabe que me pueda ayudar :¿eh?:. Muchas Gracias.
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« Respuesta #2 : 02/01/2019, 07:12:19 pm »

Hola

Sea [texx]S[/texx] la superficie parametrizada por [texx]\varphi(u,v)=(1+u+v,3+u-2v,\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2})[/texx] donde [texx]-1<u<1[/texx] y [texx]-1<v<1.[/texx] Calcular [texx]dN_p(\varphi_u)[/texx]. ¿Cuál es el valor de [texx]dN_p (v)[/texx] en un vector tangente [texx]v[/texx] arbitrario?

Hola, no entiendo como calcular el valor, me pueden ayudar. Muchas Gracias :sonrisa:.

Es recomendable que muestres tus esfuerzos para indicarte mejor cómo solucionar el problema.

¿Qué representa [texx]p[/texx] y [texx]dN_p(\varphi_u)[/texx]? [texx]N[/texx] pareciera ser un plano pero como la función no es un campo escalar resulta difícil imaginarse gráficamente qué está ocurriendo.

Además [texx]\varphi_u[/texx] no tiene sentido pues las derivadas parciales de [texx]\varphi[/texx] forman una matriz, la matriz jacobiana de [texx]\varphi[/texx]. Si se pide una derivada, ¿cuál, [texx]\varphi_{uu}[/texx] o [texx]\varphi_{uv}[/texx]?

Feliz Año
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Julio_fmat
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« Respuesta #3 : 03/01/2019, 02:58:43 am »

Hola

Sea [texx]S[/texx] la superficie parametrizada por [texx]\varphi(u,v)=(1+u+v,3+u-2v,\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2})[/texx] donde [texx]-1<u<1[/texx] y [texx]-1<v<1.[/texx] Calcular [texx]dN_p(\varphi_u)[/texx]. ¿Cuál es el valor de [texx]dN_p (v)[/texx] en un vector tangente [texx]v[/texx] arbitrario?

Hola, no entiendo como calcular el valor, me pueden ayudar. Muchas Gracias :sonrisa:.

Es recomendable que muestres tus esfuerzos para indicarte mejor cómo solucionar el problema.

¿Qué representa [texx]p[/texx] y [texx]dN_p(\varphi_u)[/texx]? [texx]N[/texx] pareciera ser un plano pero como la función no es un campo escalar resulta difícil imaginarse gráficamente qué está ocurriendo.

Además [texx]\varphi_u[/texx] no tiene sentido pues las derivadas parciales de [texx]\varphi[/texx] forman una matriz, la matriz jacobiana de [texx]\varphi[/texx]. Si se pide una derivada, ¿cuál, [texx]\varphi_{uu}[/texx] o [texx]\varphi_{uv}[/texx]?

Feliz Año

Muchas Gracias, pero sabes que la pauta dice que la solucion es [texx]dN_p(\varphi_u)=\dfrac{1}{5}\varphi_u.[/texx]

El punto [texx]p\in S[/texx] es un punto de la superficie regular. Tengo escrito en mi cuaderno lo siguiente. Sea [texx]\varphi: U\to S[/texx] una carta local y sea [texx]w\in T_p S[/texx]. Se define [texx]dN_p (w)=\lambda(p) w[/texx].
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« Respuesta #4 : 03/01/2019, 06:05:02 am »

Hola

El punto [texx]p\in S[/texx] es un punto de la superficie regular. Tengo escrito en mi cuaderno lo siguiente. Sea [texx]\varphi: U\to S[/texx] una carta local y sea [texx]w\in T_p S[/texx]. Se define [texx]dN_p (w)=\lambda(p) w[/texx].

Eso sólo es cierto si [texx]w[/texx] es una dirección principal en el punto [texx]p[/texx].

Se tiene que [texx]dN_p(\varphi_u)=N_u(p)[/texx], es decir, la parcial respecto de [texx]u[/texx] del normal [texx]N(u,v)[/texx].

Para hallar [texx]N(u,v)[/texx] haz:

[texx]N(u,v)=\dfrac{\varphi_u\times \varphi_v}{\|\varphi_u\times \varphi_v\|}[/texx]

siendo [texx]\varphi_u,\varphi_v[/texx] las parciales de:

[texx]\varphi(u,v)=(1+u+v,3+u-2v,\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2})[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #5 : 03/01/2019, 06:11:45 am »

Hola

(...)

siendo [texx]\varphi_u,\varphi_v[/texx] las parciales de:

[texx]\varphi(u,v)=(1+u+v,3+u-2v,\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2})[/texx]

[texx]\vec\varphi(u,v)=(\varphi_1,\varphi_2)[/texx]. Si se pide [texx]\varphi_u[/texx], ¿a quién hace referencia, a [texx]\varphi_{1_u}[/texx] o [texx]\varphi_{2_u}[/texx]? Las derivadas primeras son cuatro, a diferencia del campo escalar que son dos, donde sí tiene sentido (para mí) hablar de [texx]\varphi_u[/texx] o [texx]\varphi_v[/texx].

Saludos
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« Respuesta #6 : 03/01/2019, 06:22:59 am »

Hola

[texx]\vec\varphi(u,v)=(\varphi_1,\varphi_2)[/texx]. Si se pide [texx]\varphi_u[/texx], ¿a quién hace referencia, a [texx]\varphi_{1_u}[/texx] o [texx]\varphi_{2_u}[/texx]? Las derivadas primeras son cuatro, a diferencia del campo escalar que son dos, donde sí tiene sentido (para mí) hablar de [texx]\varphi_u[/texx] o [texx]\varphi_v[/texx].

En realidad [texx]\varphi[/texx] va de un abierto de [texx]\mathbb{R}^2[/texx] en [texx]\mathbb{R}^3[/texx] así que en todo casó será:

[texx]\varphi(u,v)=(\varphi_1(u,v),\varphi_2(u,v),\varphi_3(u,v))[/texx]

Ahora [texx]\varphi_u[/texx] es un vector: tendrá tres componentes:

[texx]\varphi_u=((\varphi_1)_u,(\varphi_2)_u,(\varphi_3)_u)[/texx]

Por ejemplo en nuestro caso:

[texx]\varphi_u=\left(1,1,\dfrac{v-2u}{\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}}\right)[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #7 : 06/01/2019, 07:42:47 am »

Muchas Gracias el_manco.  Aplauso

Me queda que la normal en [texx](u,v)[/texx] es [texx]N(u,v)=\left(\dfrac{5u-7v}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}},\dfrac{6v-3u}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}},\dfrac{-3\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}}\right)[/texx].

Entonces, [texx]dN_p (\varphi_u)=N_u (p)=\dfrac{d}{du} \left(\dfrac{5u-7v}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}},\dfrac{6v-3u}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}},\dfrac{-3\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}} \right)[/texx].

¿Esta bien?

Creo que hay otra forma de sacarlo... [texx]dN_p(\varphi_u)=N_u(p)=-(a\varphi_u+b\varphi_v)[/texx]. Se deben conocer los valores de [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] respectivamente.
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« Respuesta #8 : 08/01/2019, 07:01:38 am »

Hola

Muchas Gracias el_manco.  Aplauso

Me queda que la normal en [texx](u,v)[/texx] es [texx]N(u,v)=\left(\dfrac{5u-7v}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}},\dfrac{6v-3u}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}},\dfrac{-3\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}}\right)[/texx].

Está mal. Revisa las cuentas. Queda:

[texx]N(u,v)=\dfrac{-1}{5}(u+v,u-2v,\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2})[/texx]

Cita
Entonces, [texx]dN_p (\varphi_u)=N_u (p)=\dfrac{d}{du} \left(\dfrac{5u-7v}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}},\dfrac{6v-3u}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}},\dfrac{-3\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}} \right)[/texx].

¿Esta bien?

Si, pero con la expresión correcta de [texx]N[/texx].

Cita
Creo que hay otra forma de sacarlo... [texx]dN_p(\varphi_u)=N_u(p)=-(a\varphi_u+b\varphi_v)[/texx]. Se deben conocer los valores de [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] respectivamente.

No estoy seguro de a que te refieres.

Saludos.
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« Respuesta #9 : 19/02/2019, 11:02:39 pm »

Hola

Muchas Gracias el_manco.  Aplauso

Me queda que la normal en [texx](u,v)[/texx] es [texx]N(u,v)=\left(\dfrac{5u-7v}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}},\dfrac{6v-3u}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}},\dfrac{-3\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}}\right)[/texx].

Está mal. Revisa las cuentas. Queda:

[texx]N(u,v)=\dfrac{-1}{5}(u+v,u-2v,\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2})[/texx]

Cita
Entonces, [texx]dN_p (\varphi_u)=N_u (p)=\dfrac{d}{du} \left(\dfrac{5u-7v}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}},\dfrac{6v-3u}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}},\dfrac{-3\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}}{\sqrt{16u^2-88uv+40v^2+225}} \right)[/texx].

¿Esta bien?

Si, pero con la expresión correcta de [texx]N[/texx].

Cita
Creo que hay otra forma de sacarlo... [texx]dN_p(\varphi_u)=N_u(p)=-(a\varphi_u+b\varphi_v)[/texx]. Se deben conocer los valores de [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] respectivamente.

No estoy seguro de a que te refieres.

Saludos.

Muchas Gracias, ya noté mi error... El vector normal queda [texx]N(u,v)=-\dfrac{1}{5}\left(u+v,u-2v,\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}\right)[/texx]. Por lo tanto, lo pedido es [texx]dN_p(\varphi_u)=N_u=-\dfrac{1}{5}\varphi_u=-\dfrac{1}{5}\left(1,1,\dfrac{v-2u}{\sqrt{25+2uv-2u^2-5v^2}}\right)[/texx].

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« Respuesta #10 : 20/02/2019, 05:38:04 am »

Hola

 Bien.

Saludos.
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