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Autor Tema: Dada una función por tramos estudiar continuidad y derivabilidad en dos puntos  (Leído 2667 veces)
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manooooh
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« : 29/12/2018, 03:36:25 am »

Hola!

Para la función definida por \[F(x)=\begin{cases}\displaystyle\int_x^{2x}\sin t^2\,\mathrm dt,&x\neq0\\0,&x=0\end{cases}\] analice la continuidad y la derivabilidad en el origen. ¿Es \(F\) derivable en el punto \(x_0=\sqrt{\pi/2}\)? Fundamente la respuesta, y si es posible calcule \(F'(x_0)\).



Para que sea continua en el origen debe ocurrir que \(F(0)=\lim_{x\to0}F(x)\). Sabemos que \(F(0)=0\), y \[\lim_{x\to0}F(x)=\lim_{x\to0}\int_x^{2x}\sin t^2\,\mathrm dt=\int_0^{2\cdot0}\sin t^2\,\mathrm dt=0,\] vemos que coinciden y por tanto \(F\) es continua en el origen.

Para que sea derivable en el origen, debe existir (ser un número finito) \(F'(0)\). Por regla práctica, \[F'(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int_x^{2x}\sin t^2\,\mathrm dt,&x\neq0\\0,&x=0\end{cases}\] observamos que los límites de integración son derivables y \(\sin t^2\) es integrable, entonces aplicando la regla de la cadena: \[F'(0)=\bigl[\sin{(2x)^2}\cdot2-\sin{x^2}\cdot1\bigr]_{x=0}=2\sin0-\sin0=0,\] por lo que \(F\) es derivable en \(0\), cuyo valor es \(0\).

Para analizar la respuesta de si \(F\) es derivable en \(x_0=\sqrt{\pi/2}\) recordemos la función derivada que acabamos de hallar: \[F'(x)=\begin{cases}2\sin{(2x)^2}-\sin x,&x\neq0\\0,&x=0.\end{cases}\] Como \(x_0\neq0\) vamos a la rama de arriba, por lo que existe \(F'(x_0)\) cuyo valor es \(2\sin{(2\sqrt{\pi/2})^2}-\sin\sqrt{\pi/2}=0-\sin\sqrt{\pi/2}=-\sin\sqrt{\pi/2}\).



¿Son correctos tanto el razonamiento como las definiciones aplicadas?

Lo que ocurre es que, si está bien, no puedo justificarlo mediante la definición formal tratando de no usar L'Hopital: \[F'(0)=\lim_{x\to0}\frac{F(x)-F(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{\int_x^{2x}\sin t^2\,\mathrm dt}x\] :¿eh?:.

Tampoco sé si era necesario hallar la función derivada. ¿Qué opinan?

Gracias!
Feliz Año
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 29/12/2018, 06:23:12 am »

Hola

Para que sea continua en el origen debe ocurrir que \(F(0)=\lim_{x\to0}F(x)\). Sabemos que \(F(0)=0\), y \[\lim_{x\to0}F(x)=\lim_{x\to0}\int_x^{2x}\sin t^2\,\mathrm dt\color{red}=\color{black}\int_0^{2\cdot0}\sin t^2\,\mathrm dt=0,\] vemos que coinciden y por tanto \(F\) es continua en el origen.

Ojo. ¿Ahí como justificas exactamente la igualdad en rojo?.

Cita
Para que sea derivable en el origen, debe existir (ser un número finito) \(F'(0)\). Por regla práctica, \[F'(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int_x^{2x}\sin t^2\,\mathrm dt,&x\neq0\\0,&x=0\end{cases}\]


No se muy bien que quieres decir con "por regla práctica". ¿Por qué presupones que en [texx]x=0[/texx] la derivada ha de ser cero?.

Cita
observamos que los límites de integración son derivables y \(\sin t^2\) es integrable, entonces aplicando la regla de la cadena: \[F'(0)\color{red}=\color{black}\bigl[\sin{(2x)^2}\cdot2-\sin{x^2}\cdot1\bigr]_{x=0}=2\sin0-\sin0=0,\] por lo que \(F\) es derivable en \(0\), cuyo valor es \(0\).

Ahí estás ya presuponiendo que [texx]F'(0)[/texx] es igual a [texx]\left(\displaystyle\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int_x^{2x}\sin t^2\,\mathrm dt\right)[/texx] para [texx]x=0[/texx]. ¿Por qué?.

Cita
Para analizar la respuesta de si \(F\) es derivable en \(x_0=\sqrt{\pi/2}\) recordemos la función derivada que acabamos de hallar: \[F'(x)=\begin{cases}2\sin{(2x)^2}-\sin x,&x\neq0\\0,&x=0.\end{cases}\] Como \(x_0\neq0\) vamos a la rama de arriba, por lo que existe \(F'(x_0)\) cuyo valor es \(2\sin{(2\sqrt{\pi/2})^2}-\sin\sqrt{\pi/2}=0-\sin\sqrt{\pi/2}=-\sin\sqrt{\pi/2}\).

Ahí no tienes que porque hallar el valor de la derivada, sino simplemente justificar porqué [texx]F(x)[/texx] es derivable en puntos [texx]x\neq 0[/texx]. Es consecuencia del Teorema fundamental del cálculo integral.

Cita
¿Son correctos tanto el razonamiento como las definiciones aplicadas?

Lo que ocurre es que, si está bien, no puedo justificarlo mediante la definición formal tratando de no usar L'Hopital: \[F'(0)=\lim_{x\to0}\frac{F(x)-F(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{\int_x^{2x}\sin t^2\,\mathrm dt}x\] :¿eh?:.

Es así como debes de hallar la derivada en [texx]x=0[/texx]. Para concluir que tal límite es cero acota [texx]|sin t^2|\leq t^2[/texx].

Saludos.
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« Respuesta #2 : 29/12/2018, 08:02:48 pm »

Hola, muchas gracias

Para que sea continua en el origen debe ocurrir que \(F(0)=\lim_{x\to0}F(x)\). Sabemos que \(F(0)=0\), y \[\lim_{x\to0}F(x)=\lim_{x\to0}\int_x^{2x}\sin t^2\,\mathrm dt\color{red}=\color{black}\int_0^{2\cdot0}\sin t^2\,\mathrm dt=0,\] vemos que coinciden y por tanto \(F\) es continua en el origen.

Ojo. ¿Ahí como justificas exactamente la igualdad en rojo?.

Sé que está mal responder con una pregunta, pero ¿porque [texx]x[/texx] y [texx]2x[/texx] son funciones continuas en todos los reales, en particular para [texx]x=0[/texx]?

Cita
Para que sea derivable en el origen, debe existir (ser un número finito) \(F'(0)\). Por regla práctica, \[F'(x)=\begin{cases}\displaystyle\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int_x^{2x}\sin t^2\,\mathrm dt,&x\neq0\\0,&x=0\end{cases}\]


No se muy bien que quieres decir con "por regla práctica". ¿Por qué presupones que en [texx]x=0[/texx] la derivada ha de ser cero?.

La regla práctica son las derivadas notables, las que no necesitan del límite. Claro está que hay funciones cuya derivada en un punto, mediante regla práctica, no existe, mientras que por la definición del límite sí.

Aquí no estaba seguro de si aplicar la regla o no; justamente si la derivada termina siendo una fracción cuyo denominador se anula en [texx]x=0[/texx], o es un logaritmo que en [texx]x=0[/texx] no se puede aplicar, o cualquier otra cosa, pues no sirve esta regla.

Entonces efectivamente se debe hacer por definición.

Ahí estás ya presuponiendo que [texx]F'(0)[/texx] es igual a [texx]\left(\displaystyle\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\int_x^{2x}\sin t^2\,\mathrm dt\right)[/texx] para [texx]x=0[/texx]. ¿Por qué?.

No sé.

Ahí no tienes que porque hallar el valor de la derivada, sino simplemente justificar porqué [texx]F(x)[/texx] es derivable en puntos [texx]x\neq 0[/texx]. Es consecuencia del Teorema fundamental del cálculo integral.

El enunciado no pide que demos la derivada general; nos piden analizar derivabilidad en dos puntos: [texx]x_0=0[/texx] y [texx]x_1=\sqrt{\pi/2}[/texx] (en este último calcular la derivada si es que existe). No se dice nada de [texx]F'(x)[/texx].

De todas maneras, justificaría que es derivable para todo [texx]x\neq0[/texx] pues [texx]2\sin{(2x)^2}-\sin x[/texx] es continua para todo [texx]x[/texx] distinto de [texx]0[/texx].

Es así como debes de hallar la derivada en [texx]x=0[/texx]. Para concluir que tal límite es cero acota [texx]|sin t^2|\leq t^2[/texx].

¿Así?:

\[F'(0)=\lim_{x\to0}\frac{F(x)-F(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{\int_x^{2x}\sin t^2\,\mathrm dt}x\leq\lim_{x\to0}\frac{\int_x^{2x}t^2\,\mathrm dt}x=\frac13\lim_{x\to0}\frac{(2x)^3-x^3}x=\frac13\lim_{x\to0}\frac{7x^3}x=\frac13\lim_{x\to0}7x^2=0.\]
No me gustaría tener que calcular cosas de más, por lo que deberíamos solamente analizar la existencia del siguiente límite y, si existe, calcular su valor: \begin{align*}
F'\left(\sqrt{\frac\pi2}\right)&=\lim_{x\to\sqrt{\frac\pi2}}\frac{F(x)-F\left(\sqrt{\frac\pi2}\right)}{x-\sqrt{\frac\pi2}}\\
&=\lim_{x\to\sqrt{\frac\pi2}}\frac{\int_x^{2x}\sin t^2\,\mathrm dt-\int_{\sqrt{\pi/2}}^{2\sqrt{\pi/2}}\sin t^2\,\mathrm dt}{x-\sqrt{\frac\pi2}}\\
&\leq\lim_{x\to\sqrt{\frac\pi2}}\frac{\int_x^{2x}t^2\,\mathrm dt-\int_{\sqrt{\pi/2}}^{2\sqrt{\pi/2}}t^2\,\mathrm dt}{x-\sqrt{\frac\pi2}}\\
&\underbrace=_{A=\sqrt{\pi/2}}\lim_{x\to A}\frac{1/3((2x)^3-x^3)-1/3((2A)^3-(A^3))}{x-A}\\
&=\frac73\lim_{x\to A}\frac{x^3-A^3}{x-A}\\
&=\frac73\lim_{x\to A}\frac{(x-A)(x^2+Ax+A^2)}{x-A}\\
&=\frac73(A^2+A^2+A^2)\\
&=7A^2\\
&=\frac{7\pi}2,
\end{align*} que no coincide con [texx]-\sin\sqrt{\pi/2}[/texx]... Quizás sea debido a la acotación [texx]|\sin t^2|\leq t^2[/texx] :¿eh?:.

Saludos
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« Respuesta #3 : 30/12/2018, 06:46:45 pm »

Hola

Sé que está mal responder con una pregunta, pero ¿porque [texx]x[/texx] y [texx]2x[/texx] son funciones continuas en todos los reales, en particular para [texx]x=0[/texx]?

Si, pero ¿por qué?. De manera precisa el teorema fundamental del cálculo integral que enlacé antes garantiza que la función:

[texx]G(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}sin^2(t)dt[/texx]

es continua en todo punto. Entonces [texx]F(x)=g(2x)-g(x)[/texx] es continua en todo punto (en particular en [texx]x=0[/texx]) por ser composición de continuas.

Cita
La regla práctica son las derivadas notables, las que no necesitan del límite. Claro está que hay funciones cuya derivada en un punto, mediante regla práctica, no existe, mientras que por la definición del límite sí.

Aquí no estaba seguro de si aplicar la regla o no; justamente si la derivada termina siendo una fracción cuyo denominador se anula en [texx]x=0[/texx], o es un logaritmo que en [texx]x=0[/texx] no se puede aplicar, o cualquier otra cosa, pues no sirve esta regla.

Si la función está definida de una manera en un punto y de otra en un entorno del punto, entonces tienes que ir a la definición.

Cita
El enunciado no pide que demos la derivada general; nos piden analizar derivabilidad en dos puntos: [texx]x_0=0[/texx] y [texx]x_1=\sqrt{\pi/2}[/texx] (en este último calcular la derivada si es que existe). No se dice nada de [texx]F'(x)[/texx].

Cuesta el mismo esfuerzo justificar la derivabilidad en todo punto [texx]x_0\neq 0[/texx] que en uno concreto.

El Teorema citado antes garantiza que [texx]G(x)[/texx] es derivable en cualquier intervalo [texx](0,b)[/texx] o [texx](a,0)[/texx] y por tanto la composición [texx]G(2x)-G(x)[/texx] también es derivable en cualquier punto [texx]x_0\neq 0[/texx].

Cita
De todas maneras, justificaría que es derivable para todo [texx]x\neq0[/texx] pues [texx]2\sin{(2x)^2}-\sin x[/texx] es continua para todo [texx]x[/texx] distinto de [texx]0[/texx].

La continuidad de [texx]2\sin{(2x)^2}-\sin x[/texx] no tiene nada que ver. Eso ya es una expresión de la derivada.

Es así como debes de hallar la derivada en [texx]x=0[/texx]. Para concluir que tal límite es cero acota [texx]|sin t^2|\leq t^2[/texx].

Cita
¿Así?:

\[F'(0)=\lim_{x\to0}\frac{F(x)-F(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{\int_x^{2x}\sin t^2\,\mathrm dt}x\leq\lim_{x\to0}\frac{\int_x^{2x}t^2\,\mathrm dt}x=\frac13\lim_{x\to0}\frac{(2x)^3-x^3}x=\frac13\lim_{x\to0}\frac{7x^3}x=\frac13\lim_{x\to0}7x^2=0.\]

Si añadiendo valor absoluto a todos los términos.

Cita
No me gustaría tener que calcular cosas de más, por lo que deberíamos solamente analizar la existencia del siguiente límite y, si existe, calcular su valor: \begin{align*}
F'\left(\sqrt{\frac\pi2}\right)&=\lim_{x\to\sqrt{\frac\pi2}}\frac{F(x)-F\left(\sqrt{\frac\pi2}\right)}{x-\sqrt{\frac\pi2}}\\
&=\lim_{x\to\sqrt{\frac\pi2}}\frac{\int_x^{2x}\sin t^2\,\mathrm dt-\int_{\sqrt{\pi/2}}^{2\sqrt{\pi/2}}\sin t^2\,\mathrm dt}{x-\sqrt{\frac\pi2}}\\
&\leq\lim_{x\to\sqrt{\frac\pi2}}\frac{\int_x^{2x}t^2\,\mathrm dt-\int_{\sqrt{\pi/2}}^{2\sqrt{\pi/2}}t^2\,\mathrm dt}{x-\sqrt{\frac\pi2}}\\
&\underbrace=_{A=\sqrt{\pi/2}}\lim_{x\to A}\frac{1/3((2x)^3-x^3)-1/3((2A)^3-(A^3))}{x-A}\\
&=\frac73\lim_{x\to A}\frac{x^3-A^3}{x-A}\\
&=\frac73\lim_{x\to A}\frac{(x-A)(x^2+Ax+A^2)}{x-A}\\
&=\frac73(A^2+A^2+A^2)\\
&=7A^2\\
&=\frac{7\pi}2,
\end{align*} que no coincide con [texx]-\sin\sqrt{\pi/2}[/texx]... Quizás sea debido a la acotación [texx]|\sin t^2|\leq t^2[/texx] :¿eh?:.

Pues ahí has trabajado de más y aun encima llegas a una conclusión errónea. Como te dije el Teorema fundamental del cálculo integral es suficientes para justificar la derivabilidad en un punto [texx]x_0\neq 0.[/texx]

Por otra parte ahí simplemente acotas el límite; lo que obtenemos es una cota superior del mismo suponiendo que tal límite exista. La diferencia con el caso anterior es que antes acotábamos el valor absoluto de l límite por cero. Eso significa que el límite existe y es exactamente cero.

Saludos.
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« Respuesta #4 : 01/01/2019, 08:52:18 pm »

Hola

Si, pero ¿por qué?. De manera precisa el teorema fundamental del cálculo integral que enlacé antes garantiza que la función:

[texx]G(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}sin^2(t)dt[/texx]

es continua en todo punto. Entonces [texx]F(x)=g(2x)-g(x)[/texx] es continua en todo punto (en particular en [texx]x=0[/texx]) por ser composición de continuas.

Es [texx]\sin t^2[/texx]. No entiendo para qué creaste una función [texx]G(x)[/texx] ni de dónde sale [texx]g(x)[/texx] ni por qué decís [texx]F(x)=g(2x)-g(x)[/texx] ya que 1) [texx]F(x)[/texx] es una función a trozos, 2) Los límites de integración de [texx]\int_{0}^{x}\sin t^2dt[/texx] son [texx]0[/texx] y [texx]x[/texx], cuando ponés [texx]x[/texx] y [texx]2x[/texx].

El Teorema citado antes garantiza que [texx]G(x)[/texx] es derivable en cualquier intervalo [texx](0,b)[/texx] o [texx](a,0)[/texx] y por tanto la composición [texx]G(2x)-G(x)[/texx] también es derivable en cualquier punto [texx]x_0\neq 0[/texx].

En realidad el artículo menciona dos teoremas; el primero que es fundamental y el segundo también fundamental (pero que vendría a ser un lema porque es consecuencia del primero). Supongo que te referís al primero.

Ok. Entiendo que, una vez probada que [texx]f(t)[/texx] es continua en [texx]H(x)=\int_a^xf(t)dt[/texx] entonces [texx]H(x)[/texx] es derivable, pero no sé cómo llegás a decir "en cualquier intervalo [texx](0,b)[/texx] o [texx](a,0)[/texx]". ¿Quiénes son [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx]?

Cita
¿Así?:

\[F'(0)=\lim_{x\to0}\frac{F(x)-F(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{\int_x^{2x}\sin t^2\,\mathrm dt}x\leq\lim_{x\to0}\frac{\int_x^{2x}t^2\,\mathrm dt}x=\frac13\lim_{x\to0}\frac{(2x)^3-x^3}x=\frac13\lim_{x\to0}\frac{7x^3}x=\frac13\lim_{x\to0}7x^2=0.\]

Si añadiendo valor absoluto a todos los términos.

¿[texx]\displaystyle F'(0)=\lim_{x\to0}\frac{F(x)-F(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{\int_x^{2x}\sin t^2\,\mathrm dt}x\leq\left|\lim_{x\to0}\frac{\int_x^{2x}t^2\,\mathrm dt}x\right|=\left|\frac13\lim_{x\to0}\frac{(2x)^3-x^3}x\right|=\frac13\left|\lim_{x\to0}\frac{7x^3}x\right|=\frac13\left|\lim_{x\to0}7x^2\right|=\frac13\left|0\right|=0[/texx]?

Pues ahí has trabajado de más y aun encima llegas a una conclusión errónea. Como te dije el Teorema fundamental del cálculo integral es suficientes para justificar la derivabilidad en un punto [texx]x_0\neq 0.[/texx]

Por favor, ¿podrás indicarme exactamente en qué parte lo mencionás? Supongo que en:

Ahí no tienes que porque hallar el valor de la derivada, sino simplemente justificar porqué [texx]F(x)[/texx] es derivable en puntos [texx]x\neq 0[/texx]. Es consecuencia del Teorema fundamental del cálculo integral.

La función [texx]F(x)[/texx] dada en el enunciado es derivable en cualquier punto [texx]x_0\neq0[/texx] ya que [texx]\sin t^2[/texx] es continua para todo [texx]t\in\Bbb R[/texx], ¿bien?

Saludos
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« Respuesta #5 : 04/01/2019, 04:37:58 am »

Hola

 Perdona la tardanza en responder a este mensaje.

 Antes de nada ten en cuenta que en la resolución que te propongo del ejercicio uso el Teorema fundamental del cálculo integral. Así que supongo que lo conoces.

 En general recuerdo que la resolución de cualquier ejercicio depende de que resultados previos uno conozca y pueda usar.

Es [texx]\sin t^2[/texx].

Si, fue una errata. Gracias. Pero no tiene muchas trascendencia.

Cita
No entiendo para qué creaste una función [texx]G(x)[/texx] ni de dónde sale [texx]g(x)[/texx] ni por qué decís [texx]F(x)=g(2x)-g(x)[/texx] ya que 1) [texx]F(x)[/texx] es una función a trozos, 2) Los límites de integración de [texx]\int_{0}^{x}\sin t^2dt[/texx] son [texx]0[/texx] y [texx]x[/texx], cuando ponés [texx]x[/texx] y [texx]2x[/texx].

Trato de escribir la función para poder aplicar el teorema fundamental del cálculo integral tal como viene enunciado en la Wikipedia. Este nos dice que la función:

[texx]G(x)=\displaystyle\int_{0}^xsin(t^2)dt[/texx]

es continua en cualquier intervalo [texx][a,b][/texx] y derivable en [texx](a,b)[/texx].

Entonces:

[texx]\displaystyle\int_{x}^{2x}sin(t^2)dt=\displaystyle\int_{0}^{2x}sin(t^2)dt-\displaystyle\int_{0}^{x}sin(t^2)dt=G(2x)-G(x)[/texx]

Y esto incluso funciona en [texx]x=0[/texx]. Porque [texx]G(2\cdot 0)-G(0)=0[/texx].

Entonces en realidad el Teorema que te indico resuelve por completo el problema: [texx]F(x)[/texx] es continua y derivable en todo punto porque es composición y resta de funciones continuas y derivables en todo punto.

Aun así he querido tratar de manera separada el punto [texx]x=0[/texx] porque sospecho que el ejercicio pretende que así lo hagas. Pero eso es una intuición. Para que estuviese fundamentada tendría que saber exactamente que resultados previos puedes usar, exactamente cómo te lo has enunciado y los convenios y pactos tácitos que tienes con el que ha propuesto el ejercicio.

Cita
Supongo que te referís al primero.

Si.

Cita
Ok. Entiendo que, una vez probada que [texx]f(t)[/texx] es continua en [texx]H(x)=\int_a^xf(t)dt[/texx] entonces [texx]H(x)[/texx] es derivable, pero no sé cómo llegás a decir "en cualquier intervalo [texx](0,b)[/texx] o [texx](a,0)[/texx]". ¿Quiénes son [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx]?

Olvida eso. Estas disquisiciones vienen a cuento solo si el teorema fundamental del cálculo integral está enunciado sólo para intervalos [texx][a,b][/texx] con [texx]a>0[/texx]. Esto viene a cuento porque la integral definida se define en un principio con el límite inferior menor al superior, pero pronto se generaliza al caso inverso con un simple cambio de signo.

Cita
¿Así?:

\[F'(0)=\lim_{x\to0}\frac{F(x)-F(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{\int_x^{2x}\sin t^2\,\mathrm dt}x\leq\lim_{x\to0}\frac{\int_x^{2x}t^2\,\mathrm dt}x=\frac13\lim_{x\to0}\frac{(2x)^3-x^3}x=\frac13\lim_{x\to0}\frac{7x^3}x=\frac13\lim_{x\to0}7x^2=0.\]

Así:

\[0\leq \lim_{x\to0}\frac{|F(x)-F(0)|}{|x-0|}=\lim_{x\to0}\frac{\left|\int_x^{2x}\sin t^2\,\mathrm dt\right|}{|x|}\leq\lim_{x\to0}\frac{\left|\int_x^{2x}t^2\,\mathrm dt\right|}{|x|}=\frac13\lim_{x\to0}\frac{|(2x)^3-x^3|}{|x|}=\frac13\lim_{x\to0}\frac{|7x^3|}{|x|}=\frac13\lim_{x\to0}7x^2=0.\]

De forma que demuestras que:

[texx]\lim_{x\to0}\frac{|F(x)-F(0)|}{|x-0|}=0[/texx]

y por tanto

[texx]\lim_{x\to0}\frac{F(x)-F(0)}{x-0}=0[/texx]

y la derivada en cero existe y es nula.

Cita
Pues ahí has trabajado de más y aun encima llegas a una conclusión errónea. Como te dije el Teorema fundamental del cálculo integral es suficientes para justificar la derivabilidad en un punto [texx]x_0\neq 0.[/texx]

Por favor, ¿podrás indicarme exactamente en qué parte lo mencionás? Supongo que en:

Ahí no tienes que porque hallar el valor de la derivada, sino simplemente justificar porqué [texx]F(x)[/texx] es derivable en puntos [texx]x\neq 0[/texx]. Es consecuencia del Teorema fundamental del cálculo integral.

La función [texx]F(x)[/texx] dada en el enunciado es derivable en cualquier punto [texx]x_0\neq0[/texx] ya que [texx]\sin t^2[/texx] es continua para todo [texx]t\in\Bbb R[/texx], ¿bien?

Esto lo he explicado al principio de este mensaje.

Saludos.
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« Respuesta #6 : 04/01/2019, 04:55:59 am »

Hola, gracias por la respuesta

Bien, acepto que el teorema fundamental del Cálculo Integral resuelve el problema, pero tu mensaje no resuelve todo.

En primer lugar debemos convenir que pedir "analizar la continuidad" y "analizar la derivabilidad" significan estudiar solamente si la función es continua y derivable en [texx]x_0=0[/texx], ¿correcto?

Si es correcto pues entonces yo hice trabajo de más, y

Trato de escribir la función para poder aplicar el teorema fundamental del cálculo integral tal como viene enunciado en la Wikipedia. Este nos dice que la función:

[texx]G(x)=\displaystyle\int_{0}^xsin(t^2)dt[/texx]

es continua en cualquier intervalo [texx][a,b][/texx] y derivable en [texx](a,b)[/texx].

Entonces:

[texx]\displaystyle\int_{x}^{2x}sin(t^2)dt=\displaystyle\int_{0}^{2x}sin(t^2)dt-\displaystyle\int_{0}^{x}sin(t^2)dt=G(2x)-G(x)[/texx]

Y esto incluso funciona en [texx]x=0[/texx]. Porque [texx]G(2\cdot 0)-G(0)=0[/texx].

es justo lo que necesitamos, como mencionabas. Con esto concluís que [texx]F(x)[/texx] es continua y derivable para todo [texx]x\in\Bbb R[/texx], en particular para [texx]x_0=0[/texx].

Como se pregunta si la función [texx]F(x)[/texx] (que ahora viendo mejor, le falta el dominio y codominio, maldita sea nunca se aprende a escribir las patas fundamentales de toda función :BangHead:) es derivable en [texx]x_1=\sqrt{\pi/2}[/texx] (*), la respuesta es que es derivable como mostramos un párrafo anterior.

Lo que nos está faltando es contestar:

(...) si es posible calcule \(F'(x_0)\).

con [texx]x_0=\sqrt{\pi/2}[/texx]. ¿Cómo se llega a esto? Porque en:

[texx]\displaystyle\int_{x}^{2x}sin(t^2)dt=\displaystyle\int_{0}^{2x}sin(t^2)dt-\displaystyle\int_{0}^{x}sin(t^2)dt=G(2x)-G(x)[/texx]

no podemos calcular [texx]G(n)[/texx] si no resolvemos [texx]\int\sin(t^2)dt[/texx] (la cual no se puede resolver mediante operaciones fundamentales). ¿Qué más podemos concluir gracias al teorema fundamental?

Gracias y saludos



(*) ¿Es correcto decir [texx]x_0=\sqrt{\pi/2}[/texx]? No creo, porque ya habíamos usado [texx]x_0[/texx] para decir que era [texx]0[/texx], y [texx]0\neq\sqrt{\pi/2}[/texx]. ¿Creés que el subíndice de [texx]x_1[/texx] es bueno, o por el contrario debería quitar el [texx]i[/texx] en [texx]x_i[/texx] en todas partes del enunciado/respuesta para ser más claros? Incluso podríamos tratar de evitar decir [texx]x_1[/texx] y solamente referirnos al valor [texx]\sqrt{\pi/2}[/texx], ¿qué opción te parece mejor?
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« Respuesta #7 : 04/01/2019, 08:45:48 am »

Hola

En primer lugar debemos convenir que pedir "analizar la continuidad" y "analizar la derivabilidad" significan estudiar solamente si la función es continua y derivable en [texx]x_0=0[/texx], ¿correcto?

Supongo que querías poner  "analizar la continuidad" y "analizar la derivabilidad" en el origen.
. En ese caso, si se refiere claro al punto [texx]x_0=0[/texx]. De todas formas sin con el mismo esfuerzo uno prueba la diferenciabilidad y continuidad en cualquier punto, pues mejor que mejor.

Cita
es justo lo que necesitamos, como mencionabas. Con esto concluís que [texx]F(x)[/texx] es continua y derivable para todo [texx]x\in\Bbb R[/texx], en particular para [texx]x_0=0[/texx].

No sólo en [texx]x_0=0[/texx], sino que el mismo argumento justifica la continuidad y derivabilidad en cualquier punto.

Cita
Como se pregunta si la función [texx]F(x)[/texx] (que ahora viendo mejor, le falta el dominio y codominio, maldita sea nunca se aprende a escribir las patas fundamentales de toda función :BangHead:)


Se sobrentiende del contexto que es una función de [texx]\mathbb{R}[/texx] en [texx]\mathbb{R}[/texx]. Y no hay ningún drama, ni ninguna derrota en esto. ¡Aleluya!, que el contexto, los acuerdos y las convenciones nos permiten escribir matemáticas sin tener que incluir un pliego de 200 hojas de definiciones y notaciones previas.

Cita
es derivable en [texx]x_1=\sqrt{\pi/2}[/texx] (*), la respuesta es que es derivable como mostramos un párrafo anterior.

Es derivable  por el mismo motivo que te dije antes; por el Teorema fundamental del cálculo integral que nos dice que la función [texx]F(x)=G(2x)-G(x)[/texx] es continua y derivable en todo punto.

Cita
Lo que nos está faltando es contestar:

(...) si es posible calcule \(F'(x_0)\).

con [texx]x_0=\sqrt{\pi/2}[/texx]. ¿Cómo se llega a esto? Porque en:

[texx]\displaystyle\int_{x}^{2x}sin(t^2)dt=\displaystyle\int_{0}^{2x}sin(t^2)dt-\displaystyle\int_{0}^{x}sin(t^2)dt=G(2x)-G(x)[/texx]

no podemos calcular [texx]G(n)[/texx] si no resolvemos [texx]\int\sin(t^2)dt[/texx] (la cual no se puede resolver mediante operaciones fundamentales). ¿Qué más podemos concluir gracias al teorema fundamental?

El Teorema nos dice también que: [texx]G'(x)=sin(x^2)[/texx]. Por tanto, por la regla de la cadena:

[texx]F'(x)=2x\color{blue}G'(2x)\color{black}-G'(x)=\color{blue}2sin(4x^2)\color{black}-sin(x^2)[/texx]

y así podemos hallar la derivada en cualquier punto.

Cita
(*) ¿Es correcto decir [texx]x_0=\sqrt{\pi/2}[/texx]? No creo, porque ya habíamos usado [texx]x_0[/texx] para decir que era [texx]0[/texx], y [texx]0\neq\sqrt{\pi/2}[/texx]. ¿Creés que el subíndice de [texx]x_1[/texx] es bueno, o por el contrario debería quitar el [texx]i[/texx] en [texx]x_i[/texx] en todas partes del enunciado/respuesta para ser más claros? Incluso podríamos tratar de evitar decir [texx]x_1[/texx] y solamente referirnos al valor [texx]\sqrt{\pi/2}[/texx], ¿qué opción te parece mejor?

Pues si me obligas a escoger diría que es mejor escoger un nombre distinto para cada punto, es decir usar [texx]x_0=0[/texx] y [texx]x_1=\sqrt{\pi/2}[/texx].

Pero tampoco hay nada de malo ni habría ninguna confusión si en un párrafo estudiamos la diferenciabilidad en [texx]0[/texx] diciendo que trabajamos en [texx]x_0=0[/texx]; y en otro distinto y una vez terminado el estudio anterior estudiamos lo que ocurre en [texx]\sqrt{\pi/2}[/texx] escribiendo [texx]x_0=\sqrt{\pi/2}[/texx]. En cada caso estaría claro en que punto trabajamos.

¡Desdramatiza la notación!.

Saludos.

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« Respuesta #8 : 04/01/2019, 07:09:55 pm »

Hola

Supongo que querías poner  "analizar la continuidad" y "analizar la derivabilidad" en el origen.

Sí, perdón.

En ese caso, si se refiere claro al punto [texx]x_0=0[/texx]. De todas formas sin con el mismo esfuerzo uno prueba la diferenciabilidad y continuidad en cualquier punto, pues mejor que mejor.

Con ese argumento estaría igual de bien dar un contraejemplo genérico cuando se pide dar un contraejemplo. Y, según me han dicho y he entendido, lo mejor es dar un caso concreto, sin constantes adicionales. Por tanto si esto es así, lo que uno debería trabajar es estudiar la diferenciabilidad y continuidad en un sólo punto, no en uno genérico.

Se sobrentiende del contexto que es una función de [texx]\mathbb{R}[/texx] en [texx]\mathbb{R}[/texx]. Y no hay ningún drama, ni ninguna derrota en esto. ¡Aleluya!, que el contexto, los acuerdos y las convenciones nos permiten escribir matemáticas sin tener que incluir un pliego de 200 hojas de definiciones y notaciones previas.

¿Qué contexto?

Mirá qué fácil hago para que el enunciado sea imposible de resolver:

Para la función definida por \[F:\{2\}\to\Bbb R\mid F(x)=\begin{cases}\displaystyle\int_x^{2x}\sin t^2\,\mathrm dt,&x\neq0\\0,&x=0\end{cases}\] analice la continuidad y la derivabilidad en el origen. ¿Es \(F\) derivable en el punto \(x_0=\sqrt{\pi/2}\)? Fundamente la respuesta, y si es posible calcule \(F'(x_0)\).

El enunciado es lógicamente válido; pero lo que se pide es imposible de resolver pues ni [texx]0[/texx] ni [texx]\sqrt{\pi/2}[/texx] pertenecen al dominio, esto es [texx]\{2\}[/texx]. ¿Por qué está mal esta propuesta? En todo caso en nuestra resolución deberíamos aclarar "Supondremos que [texx]F[/texx] va de los reales en reales", y ahí te lo acepto, ¿de acuerdo?

El Teorema nos dice también que: [texx]G'(x)=sin(x^2)[/texx]. Por tanto, por la regla de la cadena:

[texx]F'(x)=2xG'(x)-G'(x)=2xsin(x^2)-sin(x^2)[/texx]

y así podemos hallar la derivada en cualquier punto.

No veo de dónde sale el [texx]x[/texx] en [texx]2x\sin(x^2)[/texx].

Incluso si fuese [texx]2\sin(x^2)[/texx] tendríamos que [texx]F'(x)=2\sin(x^2)-\sin(x^2)[/texx], que no coincide con lo que me dijeron en esta respuesta, que dice que [texx]F'(x) =2\sin (4x^2)-\sin x^2[/texx] :¿eh?:. ¿Concretamente cómo aplicaste la regla de la cadena?

Pero tampoco hay nada de malo ni habría ninguna confusión si en un párrafo estudiamos la diferenciabilidad en [texx]0[/texx] diciendo que trabajamos en [texx]x_0=0[/texx]; y en otro distinto y una vez terminado el estudio anterior estudiamos lo que ocurre en [texx]\sqrt{\pi/2}[/texx] escribiendo [texx]x_0=\sqrt{\pi/2}[/texx]. En cada caso estaría claro en que punto trabajamos.

¡Desdramatiza la notación!.

No, porque lógicamente estaría mal definir con un mismo nombre a dos valores distintos.

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« Respuesta #9 : 07/01/2019, 06:24:45 am »

Hola

Con ese argumento estaría igual de bien dar un contraejemplo genérico cuando se pide dar un contraejemplo. Y, según me han dicho y he entendido, lo mejor es dar un caso concreto, sin constantes adicionales. Por tanto si esto es así, lo que uno debería trabajar es estudiar la diferenciabilidad y continuidad en un sólo punto, no en uno genérico.

Pues no has entendido del todo bien. Tienes la buena costumbre de exigir no sólo un SI o un NO a tus preguntas, sino que éstas se justifiquen. Entonces no te que quedes al final solo con el SI o con el NO. Es más interesante que te quedes con las ideas de las justificaciones. Vuelve a repasar este hilo:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=107358.msg423895#msg423895

En particular recuerda este párrafo:

Evidentemente si das una familia de contraejemplos, y pruebas con total rigurosidad que efectivamente son contraejemplos, entonces también es válida la generalización, ¡claro! ¿Gana? Puedes juzgar que gana porque has dado más contraejemplos que uno sólo, aunque si el objetivo era simplemente probar que algo es falso se hubiera conseguido lo mismo con un contraejemplo concreto. En ese sentido diríamos que empatamos.

Pero el problema está en que normalmente demostrar que esa familia de contraejemplos efectivamente lo son, suele dar mucho más trabajo que hacer lo mismo para un ejemplo concreto y es fácil además dejar algún cabo suelto.

En este caso es igual de trabajoso probar la diferenciabilidad en un punto concreto que en todos. Y el argumento que lo justifica es exactamente el mismo en un sólo punto que en todos.

Por otra parte, aunque es lo de menos, estrictamente no es un ejercicio donde no estén pidiendo contrajemplo alguno.

Cita
¿Qué contexto?

El contexto en el que te proponen el problema. Una asignatura de cálculo; un libro de cálculo; una colección del libros, artículos, apuntes o lo que sea que te ponen en disposición de entender el enunciado y los convenios que subyacen al mismo.

Si tomas el ejercicio de manera absolutamente asilada, debería de venir acompañado como mínimo de una bibliografía que indicase donde mirar que significa la notación y conceptos usados y en el peor de los casos una colección de 400 folios donde se explicase punto por punto todas las matemáticas necesarias para entender el enunciado. ¿Te parecería eso efectivo? ¿Manejable?.

Cita
Mirá qué fácil hago para que el enunciado sea imposible de resolver:

Para la función definida por \[F:\{2\}\to\Bbb R\mid F(x)=\begin{cases}\displaystyle\int_x^{2x}\sin t^2\,\mathrm dt,&x\neq0\\0,&x=0\end{cases}\] analice la continuidad y la derivabilidad en el origen. ¿Es \(F\) derivable en el punto \(x_0=\sqrt{\pi/2}\)? Fundamente la respuesta, y si es posible calcule \(F'(x_0)\).

El enunciado es lógicamente válido; pero lo que se pide es imposible de resolver pues ni [texx]0[/texx] ni [texx]\sqrt{\pi/2}[/texx] pertenecen al dominio, esto es [texx]\{2\}[/texx]. ¿Por qué está mal esta propuesta?


En primer lugar ahí estás modificando el enunciado. No es eso lo que pone.

En segundo lugar el convenio más extendido es, por omisión, cuando se trabaja con una función en un contexto de cálculo, se supone que es de variable real y sobre los reales, con dominio todos los reales o al menos todos donde tiene sentido la expresión que se ha dado.

Mi sensación es que te sientes incómodo o inseguro teniendo que presuponer "convenios más extendidos". Pero realmente éstos son los que agilizan el uso de las matemáticas, ya que en otro caso uno tendría que añadir folios y folios y más folios que explicasen punto por punto toda la notación usada.

Cuando criticas estos convenios, lo haces de manera muy artificial. ¿Realmente tuviste duda de que estamos considerando una función en los reales? ¿Realmente barajas la posibilidad de que como pones en este ejemplo el dominio sea [texx]\{2\}[/texx]?.

En tercer lugar, si fuese el ejercicio como dices si se podría resolver. La respuesta sería: ni [texx]0[/texx], ni [texx]\sqrt{2}[/texx] pertenecen al dominio por tanto no tiene sentido plantearse ni la continuidad ni la diferenciabilidad de la función en tales puntos. Y el buen profesor te pondria un [texx]10[/texx].

Cita
En todo caso en nuestra resolución deberíamos aclarar "Supondremos que [texx]F[/texx] va de los reales en reales", y ahí te lo acepto, ¿de acuerdo?

Como te he dicho no hace falta especificar eso, porque es el convenio usual. O en todo caso el que haga falta especificarlo depende de los convenios previamente establecidos.

También podría aclarase que el "gusanito" significa integral de Riemann, que los números que se ponen al lado arriba y abajo son los límites de integración, que un dos de superíndice significa elevado a cuadrado, y poco a poco convertir un enunciado de tres líneas en un libro.

Cita
El Teorema nos dice también que: [texx]G'(x)=sin(x^2)[/texx]. Por tanto, por la regla de la cadena:

[texx]F'(x)=2xG'(x)-G'(x)=2xsin(x^2)-sin(x^2)[/texx]

y así podemos hallar la derivada en cualquier punto.

No veo de dónde sale el [texx]x[/texx] en [texx]2x\sin(x^2)[/texx].

Incluso si fuese [texx]2\sin(x^2)[/texx] tendríamos que [texx]F'(x)=2\sin(x^2)-\sin(x^2)[/texx], que no coincide con lo que me dijeron en esta respuesta, que dice que [texx]F'(x) =2\sin (4x^2)-\sin x^2[/texx] :¿eh?:. ¿Concretamente cómo aplicaste la regla de la cadena?

Ahí tenía una errata. Es:

[texx]F'(x)=2x\color{blue}G'(2x)\color{black}-G'(x)=\color{blue}2sin(4x^2)\color{black}-sin(x^2)[/texx]

Ya que:

[texx](G(2x)-G(x))'=G'(2x)\cdot (2x)'-G'(x)=G'(2x)\cdot 2-G'(x)=2sin((2x)^2)-sin(x^2)[/texx]


Cita
Pero tampoco hay nada de malo ni habría ninguna confusión si en un párrafo estudiamos la diferenciabilidad en [texx]0[/texx] diciendo que trabajamos en [texx]x_0=0[/texx]; y en otro distinto y una vez terminado el estudio anterior estudiamos lo que ocurre en [texx]\sqrt{\pi/2}[/texx] escribiendo [texx]x_0=\sqrt{\pi/2}[/texx]. En cada caso estaría claro en que punto trabajamos.

¡Desdramatiza la notación!.

No, porque lógicamente estaría mal definir con un mismo nombre a dos valores distintos.

Insisto. Si en un párrafo trabajamos con [texx]x_0=0[/texx]. Y concluimos. Y en otro párrafo distinto trabajamos con [texx]x_0=\sqrt{\pi/2}[/texx] y concluimos, no hay posibilidad alguna de confusión y por tanto no hay ningún problema en haber usado la misma letra.

E insisto en mi consejo. Es sincero y lo digo muy seriamente: ¡Desdramatiza la notación!.

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« Respuesta #10 : 07/01/2019, 12:46:40 pm »

Hola

Pues no has entendido del todo bien. Tienes la buena costumbre de exigir no sólo un SI o un NO a tus preguntas, sino que éstas se justifiquen. Entonces no te que quedes al final solo con el SI o con el NO. Es más interesante que te quedes con las ideas de las justificaciones. Vuelve a repasar este hilo:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=107358.msg423895#msg423895

En particular recuerda este párrafo:

Evidentemente si das una familia de contraejemplos, y pruebas con total rigurosidad que efectivamente son contraejemplos, entonces también es válida la generalización, ¡claro! ¿Gana? Puedes juzgar que gana porque has dado más contraejemplos que uno sólo, aunque si el objetivo era simplemente probar que algo es falso se hubiera conseguido lo mismo con un contraejemplo concreto. En ese sentido diríamos que empatamos.

Pero el problema está en que normalmente demostrar que esa familia de contraejemplos efectivamente lo son, suele dar mucho más trabajo que hacer lo mismo para un ejemplo concreto y es fácil además dejar algún cabo suelto.

En este caso es igual de trabajoso probar la diferenciabilidad en un punto concreto que en todos. Y el argumento que lo justifica es exactamente el mismo en un sólo punto que en todos.

Por otra parte, aunque es lo de menos, estrictamente no es un ejercicio donde no estén pidiendo contrajemplo alguno.

De acuerdo.

Mi sensación es que te sientes incómodo o inseguro teniendo que presuponer "convenios más extendidos". (...)

Cierto. Fraseándote, siempre voy a considerar que "es fácil además dejar algún cabo suelto" hasta cuando lógicamente sea todo escrito rigurosamente.

Cuando criticas estos convenios, lo haces de manera muy artificial. ¿Realmente tuviste duda de que estamos considerando una función en los reales? ¿Realmente barajas la posibilidad de que como pones en este ejemplo el dominio sea [texx]\{2\}[/texx]?.

No creo que sea artificial, sino de manera inteligente. Sí, lo barajo. Hay cosas que no se discuten, como el símbolo de la integral (no digo "signo" como Carlos Ivorra me enseñó porque sino quedaría como que discutimos si la integral es positiva o negativa) o como el diferencial, o como cualquier otra cosa que se sepa muy bien qué significa. En nuestro caso, si no hay dominio puedo suponer el que quiera; elegí el que "destruye" al enunciado, y nadie puede criticarme nada porque está bien, incluso en el contexto del Cálculo de variable real, puesto que [texx]\{2\}[/texx] es un subconjunto de [texx]\Bbb R[/texx]. Ninguna falta.

Ahí tenía una errata. Es:

[texx]F'(x)=2x\color{blue}G'(2x)\color{black}-G'(x)=\color{blue}2sin(4x^2)\color{black}-sin(x^2)[/texx]

Ya que:

[texx](G(2x)-G(x))'=G'(2x)\cdot (2x)'-G'(x)=G'(2x)\cdot 2-G'(x)=2sin((2x)^2)-sin(x^2)[/texx]

¡Gracias!

En tercer lugar, si fuese el ejercicio como dices si se podría resolver. La respuesta sería: ni [texx]0[/texx], ni [texx]\sqrt{2}[/texx] pertenecen al dominio por tanto no tiene sentido plantearse ni la continuidad ni la diferenciabilidad de la función en tales puntos. Y el buen profesor te pondria un [texx]10[/texx].

No. El enunciado está incompleto e incluso mal armado; como da rienda suelta al dominio se puede escribir cualquier conjunto; pero el mismo enunciado da a entender que los puntos a analizar pertenecen al dominio. Contradicción, por tanto está mal armado.

E insisto en mi consejo. Es sincero y lo digo muy seriamente: ¡Desdramatiza la notación!.

Yo también soy sincero y serio: ¡jamás, voy a criticar todo hasta ganar o perder, pero entender finalmente!

Saludos
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« Respuesta #11 : 07/01/2019, 03:12:58 pm »

Hola

No creo que sea artificial, sino de manera inteligente.

No acabo de entender el uso que haces aquí de "inteligente". ¿En qué sentido?.

Cita
Sí, lo barajo.


O sea leíste el enunciado y te pareció tan pausible presuponer que el dominio es [texx]\mathbb{R}[/texx] como presuponer que es [texx]\{2\}[/texx]. Nada te lleva a decantarte por una u otra opción. ¿Es así?.

Si es así, tienes que leer mas libros de matemáticas, sinceramente. Como te digo el convenio usual es suponer funciones reales de variable real. Otro ejercicio típico de cualquier libro de cálculo básico es.

Calcular las integrales indefinidas de las siguientes funciones:

[texx]f_1(x)=sin^2(x),\qquad f_2(x)=\sqrt{1-x^2}[/texx]


y en ningún momento aparece cuál es su dominio ni nada.

Cita
Hay cosas que no se discuten, como el símbolo de la integral (no digo "signo" como Carlos Ivorra me enseñó porque sino quedaría como que discutimos si la integral es positiva o negativa) o como el diferencial, o como cualquier otra cosa que se sepa muy bien qué significa.

Pero eso es subjetivo. Y ojo, yo no critico que lo sea. Necesariamente la notación es subjetiva, es arbitraria y como te vengo diciendo repetidamente simplemente se trata de conocer la notación usual, estándar para poder entender los textos de matemáticas.

Pero objetivamente no hay más razón ni menos razón en presuponer el domino de las funciones, que el significado de la integral (se podría integrar respecto a una medida que no fuese la de Lebesgue), o por ejemplo que la función [texx]sin(t)[/texx] tiene el argumento en radianes. ¿Por qué no en grados?.

Es decir tu sigues criterios arbitrarios para criticar que se no se detallen algunas cosas y sin embargo permites que otras si se den por supuesto. ¿Por qué?.

Sinceramente en todo lo que llevas preguntado en varios hilos, solo en uno he visto que realmente entendieses mal el enunciado por culpa de no entender la notación (luego lo busco). En los demás (como en este) realmente haces la interpretación más razonable del enunciado y luego abres la puerta...¿y por qué no podría entederlo así o asá? Y eso es lo que me parece artificial.

Las notaciones realmente confusas suelen crear claramente confusión. Cuando toques el fuego sabrás realmente que te estás quemando.

Cita
En nuestro caso, si no hay dominio puedo suponer el que quiera;

No; ese no es el convenio. El convenio (que ojo, se complementa con el contexto) en el ámbito del cálculo es suponer que son funciones reales de variable real.

Cita
elegí el que "destruye" al enunciado, y nadie puede criticarme nada porque está bien, incluso en el contexto del Cálculo de variable real, puesto que [texx]\{2\}[/texx] es un subconjunto de [texx]\Bbb R[/texx]. Ninguna falta.

A mi me sigue pareciendo una elección claramente artificial.

Cita
No. El enunciado está incompleto e incluso mal armado;

El enunciado con tu modificación especifica el dominio. En ese caso no estaría incompleto según tu criterio. Y como te he dicho tiene una respuesta.

Cita
como da rienda suelta al dominio se puede escribir cualquier conjunto; pero el mismo enunciado da a entender que los puntos a analizar pertenecen al dominio. Contradicción, por tanto está mal armado.

Otra vez:  :cara_de_queso: No; ese no es el convenio. El convenio (que ojo, se complementa con el contexto) en el ámbito del cálculo es suponer que son funciones reales de variable real. 

Cita
Yo también soy sincero y serio: ¡jamás, voy a criticar todo hasta ganar o perder, pero entender finalmente!

Continuará...

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« Respuesta #12 : 09/01/2019, 04:25:36 am »

Hola

No creo que sea artificial, sino de manera inteligente.

No acabo de entender el uso que haces aquí de "inteligente". ¿En qué sentido?.

En el sentido de usar la frase "Cuestíonalo todo".

O sea leíste el enunciado y te pareció tan pausible presuponer que el dominio es [texx]\mathbb{R}[/texx] como presuponer que es [texx]\{2\}[/texx]. Nada te lleva a decantarte por una u otra opción. ¿Es así?.

No se trata de pensar cuán pausible es un dominio o cuán imposible es otro... ¡Se trata de entorpecer estúpidamente el enunciado porque dejó un agujero muy grande!

Nadie puede objetar que el dominio de la función es a lo sumo todos los reales... pero tampoco nadie puede objetar que sea un subconjunto de él. NADIE. El contexto no sirve en este caso; sirve para identificar que si se dice [texx]x[/texx] es porque es de variable real, si aparece [texx]\int[/texx] es porque se trata de una integral; si hay [texx]\{[/texx] es porque es una función a trozos, y así. Pero el dominio puede ser tan restrictivo como queramos, total el enunciado no dice nada.

Calcular las integrales indefinidas de las siguientes funciones:

[texx]f_1(x)=sin^2(x),\qquad f_2(x)=\sqrt{1-x^2}[/texx]


y en ningún momento aparece cuál es su dominio ni nada.

Supongo que la integral indefinida de cualquier función es siempre la misma independientemente de cuán restrictivo sea el dominio que ésta tenga. Si no es así el enunciado debería aclararlo.

Pero objetivamente no hay más razón ni menos razón en presuponer el domino de las funciones, que el significado de la integral (se podría integrar respecto a una medida que no fuese la de Lebesgue), o por ejemplo que la función [texx]sin(t)[/texx] tiene el argumento en radianes. ¿Por qué no en grados?.

Porque el resultado no cambia; y si un alumno lo escribe en grados estaría igual de bien. Son notaciones equivalentes, no así no especificar un dominio, porque sino ya vemos lo que sucede... el ejercicio no se puede resolver.

No; ese no es el convenio. El convenio (que ojo, se complementa con el contexto) en el ámbito del cálculo es suponer que son funciones reales de variable real.

Nadie contradice eso; yo digo que no especificar el dominio es un error tan grave como no decir lo que se quiere hallar claramente. Pero claro que el dominio es un subconjunto de los reales en sentido amplio.

Sinceramente en todo lo que llevas preguntado en varios hilos, solo en uno he visto que realmente entendieses mal el enunciado por culpa de no entender la notación (luego lo busco). En los demás (como en este) realmente haces la interpretación más razonable del enunciado y luego abres la puerta...¿y por qué no podría entederlo así o asá? Y eso es lo que me parece artificial.

Entiendo que hablando un mismo lenguaje todos nos podemos entender mucho mejor; lo que pasa es que acá no hay manera de saber qué dominio tomamos, independientemente que ya sabemos que es un subconjunto de los reales en sentido amplio.

El enunciado con tu modificación especifica el dominio. En ese caso no estaría incompleto según tu criterio. Y como te he dicho tiene una respuesta.

Es una respuesta tramposa. Con ese criterio, todo tendría respuesta, y sabemos que no es todo así.

Es como si te preguntara si Dios existe. Para algunas creencias sí y para otras no, y dependiendo de lo que VOS creas o lo que VOS hayas estudiado responderás una u otra cosa. Acá pasa lo mismo; para ciertos dominios la respuesta tiene sentido y para otros no.

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« Respuesta #13 : 09/01/2019, 06:40:21 am »

Hola

En el sentido de usar la frase "Cuestíonalo todo".

Buffff... esto llevaría a otro debate. En un sentido demasiado amplio.. cuestionarlo todo puede ser muy inteligente (dando una acepción positiva al término) si a medida que se va haciendo se van fijando ideas que, salvo de manera excepcional o justificada no se volverán a cuestionar. En otro caso en la búsqueda de una verdad indudable terminarás en el "pienso, luego existo" de Descartes; y llegar ahí está bien. Terminar ahí, no; es muy desolador.

Cita
No se trata de pensar cuán pausible es un dominio o cuán imposible es otro... ¡Se trata de entorpecer estúpidamente el enunciado porque dejó un agujero muy grande!

El problema es que el concepto de "muy grande" es subjetivo.

Cita
Nadie puede objetar que el dominio de la función es a lo sumo todos los reales... pero tampoco nadie puede objetar que sea un subconjunto de él. NADIE. El contexto no sirve en este caso; sirve para identificar que si se dice [texx]x[/texx] es porque es de variable real, si aparece [texx]\int[/texx] es porque se trata de una integral; si hay [texx]\{[/texx] es porque es una función a trozos, y así. Pero el dominio puede ser tan restrictivo como queramos, total el enunciado no dice nada.

No. La diferencia que haces entre presuponer un dominio y presuponer el significado de otros símbolos no es real. Evidentemente tu puedes cerrarte en banda y decir que para ti no existe tal convenio de considerar por omisión como dominio los reales. Pero lo que no es discutible es que cualquier otra notación es también es un convenio; y es arbitrario que tu aceptes unos y otros no. No parece que lo bases en nada más que en el hecho de que tu los tengas más o menos interiorizados. Contra eso no puedo luchar. Allá tu. Por eso te dije en otro hilo (y espero que no suene prepotente) que en ese caso deberías de leer más libros de matemáticas, porque es la forma de conocer los convenios más extendidos.

Como ilustración de que otras notaciones son convenios y de que tienes ideas erróneas sobre ellas:

Cita
Pero objetivamente no hay más razón ni menos razón en presuponer el domino de las funciones, que el significado de la integral (se podría integrar respecto a una medida que no fuese la de Lebesgue), o por ejemplo que la función [texx]sin(t)[/texx] tiene el argumento en radianes. ¿Por qué no en grados?.

Porque el resultado no cambia; y si un alumno lo escribe en grados estaría igual de bien. Son notaciones equivalentes, no así no especificar un dominio, porque sino ya vemos lo que sucede... el ejercicio no se puede resolver.

Si; el resultado si cambia. No es lo mismo la función [texx]sin(t)[/texx] si el ángulo es en radianes o si es en grados (¿no es obvio eso?); no es lo mismo la integral de una función si se integra respecto a una medida que no sea la de Lebesgue (la integral podría dar un resultado diferente o incluso non exisitir).

Ahora la conclusión sobre esto no debe de ser. "¡Uf!, entonces el enunciado está peor de lo que pensaba, porque no me dice si el seno es en radianes o grado o si la integral es de Lebesgue o no". No. La conclusión es que inevitablemente en la comprensión del enunciado necesitas admitir convenios previamente establecidos pero que no aparecen explícitamente en el mismo (porque lo harían interminable).

A partir de ahí, que me te convenzas o no de que el convenio sobre el dominio en estos casos es considerarlo los reales o el mayor subconjunto de los reales donde la expresión tiene sentido, depende de:

- Que creas mi palabra.
- Que leas muchos textos de matemáticas y compruebes si es así o no.
- Que consultes a otros matemáticos.

Pero tienes que entender que nunca encontrarás una razón objetiva para un convenio (quizá una motivación, una explicación de porque es útil); pero finalmente siempre será algo arbtitrario que podría haber sido convenido de otra manera.

Cita
No; ese no es el convenio. El convenio (que ojo, se complementa con el contexto) en el ámbito del cálculo es suponer que son funciones reales de variable real.

Nadie contradice eso; yo digo que no especificar el dominio es un error tan grave como no decir lo que se quiere hallar claramente.

No lo entiendo. No contradices que: "el convenio es suponer que el dominio son los reales", pero consideras un error grave no especificar el dominio.  :¿eh?: :¿eh?: :¿eh?: :¿eh?:

Cita
Entiendo que hablando un mismo lenguaje todos nos podemos entender mucho mejor; lo que pasa es que acá no hay manera de saber qué dominio tomamos, independientemente que ya sabemos que es un subconjunto de los reales en sentido amplio.

Mi respuesta a esto ya deberías de conocerla a estas alturas. La manera de saber el dominio es acudir a los convenios establecidos.

Cita
Es una respuesta tramposa.

¿Cuál es la trampa?.

Cita
Con ese criterio, todo tendría respuesta, y sabemos que no es todo así.

Esa afirmación de "todo tendría respuesta" me parece vaga. Simplemente si un enunciado pide estudiar la continuidad en un punto que no es del dominio, la respuesta razonable es contestar que no se puede porque el punto no está en el domino. Y no hay ningún problema.

Cita
Es como si te preguntara si Dios existe. Para algunas creencias sí y para otras no, y dependiendo de lo que VOS creas o lo que VOS hayas estudiado responderás una u otra cosa.

Pensé que este párrafo iba a acabar de otra manera. Ciertamente el entender bien un enunciado y juzgar que está o no incompleto depende de la notación y convenios que previamente conozcamos, hayamos estudiado. Sospecho que esto es lo que te resulta incómodo.

Cita
Acá pasa lo mismo; para ciertos dominios la respuesta tiene sentido y para otros no.

Pero no veo mucha relación entre como iniciaste el párrafo y como lo terminas. Bajo tu supuesto, ¿no tiene sentido la respuesta: "no se puede estudiar la continuidad en tal punto porque éste no está en el domino"?. Yo la veo totalmente correcta.

Saludos.
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« Respuesta #14 : 09/01/2019, 01:38:39 pm »

No había visto este hilo. Ahora no tengo tiempo para entrar en ello, aunque en realidad no creo que pueda añadir gran cosa a lo que ya ha dicho Luis. Sólo quiero hacer un apunte sobre un detalle que podría darte algún disgusto si no reparas en él:

Pero objetivamente no hay más razón ni menos razón en presuponer el domino de las funciones, que el significado de la integral (se podría integrar respecto a una medida que no fuese la de Lebesgue), o por ejemplo que la función [texx]sin(t)[/texx] tiene el argumento en radianes. ¿Por qué no en grados?.

Porque el resultado no cambia; y si un alumno lo escribe en grados estaría igual de bien. Son notaciones equivalentes, no así no especificar un dominio, porque sino ya vemos lo que sucede... el ejercicio no se puede resolver.

No sé si te he entendido bien, pero pareces creer que eso de que la derivada del seno es el coseno (o la integral del seno es menos el coseno) es verdad tanto si el seno está en grados como si está en radianes, pero no es así.

Ejercicio: Sea [texx]seng(x)[/texx] la función que a cada [texx]x[/texx] le asigna el seno del ángulo de [texx]x[/texx] grados (sexagesimales). Demuestra que es derivable y calcula su derivada.
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« Respuesta #15 : 09/01/2019, 08:59:42 pm »

Hola

No lo entiendo. No contradices que: "el convenio es suponer que el dominio son los reales", pero consideras un error grave no especificar el dominio.  :¿eh?: :¿eh?: :¿eh?: :¿eh?:

Efectivamente.

Esa afirmación de "todo tendría respuesta" me parece vaga. Simplemente si un enunciado pide estudiar la continuidad en un punto que no es del dominio, la respuesta razonable es contestar que no se puede porque el punto no está en el domino. Y no hay ningún problema.

(...) Bajo tu supuesto, ¿no tiene sentido la respuesta: "no se puede estudiar la continuidad en tal punto porque éste no está en el domino"?. Yo la veo totalmente correcta.

Ok ok, veo dónde está mi problema... Yo pensaba que decir "En el punto X" era decir implícitamente un punto del dominio, pero ahora veo que ese punto se trata de uno de la recta real. Entonces, en ese caso, el enunciado tiene una respuesta afirmativa o negativa.

(...) No es lo mismo la integral de una función si se integra respecto a una medida que no sea la de Lebesgue (la integral podría dar un resultado diferente o incluso non exisitir).

Pues no lo sabía y quizás por ese motivo no pensé en criticar al enunciado con ese argumento.

Si; el resultado si cambia. No es lo mismo la función [texx]sin(t)[/texx] si el ángulo es en radianes o si es en grados (¿no es obvio eso?) (...)

Para mí no es obvio :¿eh?:.

No sé si te he entendido bien, pero pareces creer que eso de que la derivada del seno es el coseno (o la integral del seno es menos el coseno) es verdad tanto si el seno está en grados como si está en radianes, pero no es así.

¿Por qué no son iguales? [texx]\sin180^\circ=\sin\pi=[/texx] [texx]\sin\tau/2[/texx] [texx]=0[/texx].

Ejercicio: Sea [texx]seng(x)[/texx] la función que a cada [texx]x[/texx] le asigna el seno del ángulo de [texx]x[/texx] grados (sexagesimales). Demuestra que es derivable y calcula su derivada.

En primer lugar no puedo demostrarlo pues no sé qué fórmula tiene o cómo tratar la función [texx]\operatorname{seng}x[/texx]; en segundo no sé para qué pedís estudiar la derivabilidad si podés desmentir lo que dije poniendo un ejemplo del tipo [texx]\sin180^\circ\;\text?\;\sin\pi\;\text?\;\operatorname{seng}180^\circ\;\text?\;0[/texx].

Saludos
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« Respuesta #16 : 09/01/2019, 10:51:04 pm »

¿Por qué no son iguales? [texx]\sin180^\circ=\sin\pi=[/texx] [texx]\sin\tau/2[/texx] [texx]=0[/texx].

Sí, eso es cierto, pero porque entiendes que [texx]180^\circ = \pi[/texx], pero ahí en todo momento estás considerando el seno en radianes. Lo que te planteaba Luis, y luego yo, es considerar la función seno en grados, es decir, la función a la que tú le das [texx]x = 180[/texx] y te calcula el seno de [texx]180[/texx] grados, que es [texx]0[/texx]. Ésa no es la función seno usual, a la que tú le das [texx]x = 180[/texx] y te devuelve [texx]-0.8011...[/texx]

En primer lugar no puedo demostrarlo pues no sé qué fórmula tiene o cómo tratar la función [texx]\operatorname{seng}x[/texx];

Tenemos que [texx]x[/texx] grados son [texx]\frac\pi{180}x[/texx] radianes, luego [texx]\operatorname{seng}(x)=\sen \frac\pi{180}\,x[/texx].

¿Ahora ya sabes calcular la derivada?

en segundo no sé para qué pedís estudiar la derivabilidad si podés desmentir lo que dije poniendo un ejemplo del tipo [texx]\sin180^\circ\;\text?\;\sin\pi\;\text?\;\operatorname{seng}180^\circ\;\text?\;0[/texx].

Supuse que tendrías claro que el seno de 180 grados no es igual al seno de 180 radianes, pero pensé que tal vez creías que la derivada del seno era el coseno tanto si la función está en grados o en radianes, que es un error más frecuente.

Por cierto:

Hay cosas que no se discuten, como el símbolo de la integral (no digo "signo" como Carlos Ivorra me enseñó porque sino quedaría como que discutimos si la integral es positiva o negativa)

No es lo mismo el signo de la integral que el signo integral.  :sonrisa_amplia:
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« Respuesta #17 : 10/01/2019, 06:54:18 am »

Hola

No lo entiendo. No contradices que: "el convenio es suponer que el dominio son los reales", pero consideras un error grave no especificar el dominio.  :¿eh?: :¿eh?: :¿eh?: :¿eh?:

Efectivamente.

¿Pero no es contradictorio eso? Aceptas un convenio y luego te parece un error aplicarlo.

Cita
Pues no lo sabía y quizás por ese motivo no pensé en criticar al enunciado con ese argumento.

¡Pero no vayas ahora en caer en esto!:

Cita
Ahora la conclusión sobre esto no debe de ser. "¡Uf!, entonces el enunciado está peor de lo que pensaba, porque no me dice si el seno es en radianes o grado o si la integral es de Lebesgue o no". No. La conclusión es que inevitablemente en la comprensión del enunciado necesitas admitir convenios previamente establecidos pero que no aparecen explícitamente en el mismo (porque lo harían interminable).

Saludos.
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« Respuesta #18 : 10/01/2019, 04:42:14 pm »

Hola

Siento que puedo aprovecharlos más durante esta temporada que no hay clases pero no tengo las mejores ideas, lo que conlleva a que yo haga preguntas estúpidas :triste:. De todas formas se aprecia muchísimo toda la ayuda brindada.

Supuse que tendrías claro que el seno de 180 grados no es igual al seno de 180 radianes, pero pensé que tal vez creías que la derivada del seno era el coseno tanto si la función está en grados o en radianes, que es un error más frecuente.

Totalmente cierto. De hecho hubiera calculado la derivada de [texx]\sin x[/texx] y hubiera cometido ese error si no me desvelabas lo que no entendía. No es lo mismo [texx]\sin3.1415\dots[/texx] en radianes (lo habitual) que [texx]\sin3.1415\dots[/texx] en grados. Ahora me surge la duda de que si ese es un convenio o no, porque si no se aclara eso el alumno puede dar a entender cualquiera de los dos sistemas... :risa:. Gracias.

¿Pero no es contradictorio eso? Aceptas un convenio y luego te parece un error aplicarlo.

No son los mismos convenios. Se discutía qué convenios se usaban y cuáles no.

¡Pero no vayas ahora en caer en esto!:

Cita
Ahora la conclusión sobre esto no debe de ser. "¡Uf!, entonces el enunciado está peor de lo que pensaba, porque no me dice si el seno es en radianes o grado o si la integral es de Lebesgue o no". No. La conclusión es que inevitablemente en la comprensión del enunciado necesitas admitir convenios previamente establecidos pero que no aparecen explícitamente en el mismo (porque lo harían interminable).

Es demasiado demasiado tentador caer en eso (a propósito)... :rodando_los_ojos: :risa:.

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« Respuesta #19 : 10/01/2019, 05:09:41 pm »

Ahora me surge la duda de que si ese es un convenio o no, porque si no se aclara eso el alumno puede dar a entender cualquiera de los dos sistemas... :risa:. Gracias.

Allí donde veas que se toma el coseno como la derivada del seno, o el menos coseno como su integral, o que [texx]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sen x}x = 1[/texx] (o sea, prácticamente en todas partes) está adoptado el convenio implícito de que las funciones trigonométricas toman los ángulos en radianes.
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