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Autor Tema: Curioso problema.  (Leído 584 veces)
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zimbawe
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« : 03/01/2019, 01:54:50 am »

Hola, me encontré el siguiente problema (husmeando), que me ha tenido pensando, pude con algunos apartes, pero hay unos que no; de pronto hay propiedades que desconozco o algo que no veo.
Agradezco su ayuda.
Sea [texx]f:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}} [/texx] una función continúa tal que [texx]f"(x)+xf'(x)=cos(x^3f'(x))[/texx] preguntan
¿Es [texx]f(x)[/texx] impar? Si asumo que lo es, termino demostrando que [texx]f"(x)[/texx] lo es. ¿Se puede probar sin asumirlo? Suena bobo decir que si asumo que lo es, lo pruebo. O sea, a modo me verificación lo es.
Lo otro es ¿[texx]\exists{r>0}[/texx] tal que [texx]f(x)[/texx] es cóncava hacia arriba en el intervalo [texx](-r, r) [/texx]?
¿Cómo puedo probar ambas cosas?
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 03/01/2019, 03:53:01 am »

Hola

Hola, me encontré el siguiente problema (husmeando), que me ha tenido pensando, pude con algunos apartes, pero hay unos que no; depronto hay propiedades que desconozco o algo que no veo.
Agradezco su ayuda.
Sea [texx]f:\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}} [/texx] una función continúa tal que [texx]f"(x)+xf'(x)=cos(x^3f'(x))[/texx] preguntan
¿Es [texx]f(x)[/texx] impar? Si asumo que lo es, termino demostrando que [texx]f"(x)[/texx] lo es. ¿Se puede probar sin asumirlo? Suena bobo decir que si asumo que lo es, lo pruebo. O sea, a modo me verificación lo es.

Evidentemente para probar que es impar no puedes ya suponer que es impar. En todo caso podrías probar que NO es impar si suponiendo que lo es llegas a una contradicción. En esa línea. ¿Cuando vale en [texx]x=0[/texx] una función impar?¿Qué pasa si en tu ecuación diferencial tomas [texx]x=0[/texx]?.

Reflexiona sobre eso y podrás responder a las dos preguntas.

Saludos.
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zimbawe
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« Respuesta #2 : 03/01/2019, 10:44:21 am »

Hola Luis, pues en [texx]x=0[/texx] una función impar vale 0. No entiendo la primera sugerencia que me haces, en cambio, si tomo [texx]x=0[/texx] en la ecuación diferencial obtengo [texx]f''(0)=1>0[/texx] ¿Esto termina significando que en una vecindad de 0, [texx]f''(x)>0[/texx]?
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Luis Fuentes
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« Respuesta #3 : 03/01/2019, 12:07:05 pm »

Hola

Hola Luis, pues en [texx]x=0[/texx] una función impar vale 0.

Correcto.

Cita
No entiendo la primera sugerencia que me haces, en cambio, si tomo [texx]x=0[/texx] en la ecuación diferencial obtengo [texx]f''(0)=1>0[/texx]

Pues tu mismo has demostrado que si [texx]f(x)[/texx] es impar entonces [texx]f''(x)[/texx] también lo es. Pero en ese caso debería de ocurrir que [texx]f''(0)=0[/texx]. Pero [texx]f''(0)=1[/texx]; por lo que [texx]f''(x)[/texx] no es impar y [texx]f(x)[/texx] tampoco.

Cita
¿Esto termina significando que en una vecindad de 0, [texx]f''(x)>0[/texx]?

Si, ya que [texx]f''(x)[/texx] es continua.

Saludos.
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zimbawe
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« Respuesta #4 : 03/01/2019, 12:23:48 pm »

Si, es cierto. El problema, es que en las alternativas (que encontré después)  decía que si era impar y por eso me estaba rayando en coco. Gracias.
Pdt: ¿Cómo se hacen las citas en el foro? Llevo aňos aquí y no había pensado en eso.
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sugata
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« Respuesta #5 : 03/01/2019, 01:02:50 pm »

Arriba a la derecha de cada mensaje tienes un botón que pone "cita"
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zimbawe
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« Respuesta #6 : 03/01/2019, 01:09:50 pm »

Me mandan a buscar la felicidad y la pierdo.   :sonrisa_amplia:
Gracias Sugata.
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sugata
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« Respuesta #7 : 03/01/2019, 04:58:02 pm »

Y cuando contestas aparecen los mensajes abajo con "añadir cita", que vale mucho si vas a citar varios mensajes.
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