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Autor Tema: Espacio de Hilbert y subespacio cerrado  (Leído 405 veces)
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llanten
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« : 20 Diciembre, 2018, 19:56 »

Hola a todos, quisiera que por favor me dieran ideas sobre el siguiente ejercicio. Gracias.

Sea [texx]H[/texx]  un espacio de Hilbert y [texx]M[/texx]  un subespacio cerrado. Sea [texx]g:M\longrightarrow K[/texx] un funcional lineal y continuo. Sea [texx]{ h }\in { H }^{ \ast  }[/texx] una extensión continua de [texx]g[/texx] según el teorema de Hahn Banach.

(a) Muestre que  [texx]h\left( x \right) =\left< x,z \right> [/texx] para todo [texx]x\in H[/texx] y algún [texx]z\in H[/texx].
(b) Muestre que [texx]h\left( x \right) =g\left( x \right) =\left< x,{ P }_{ M }\left( z \right)  \right> [/texx] para todo [texx]x\in M[/texx].
(c) Muestre que [texx]{ { P }^{  } }_{ { M }^{ \bot  } }\left( z \right) =0[/texx] y por tanto [texx]h\left( x \right) =g\left( { { P }^{  } }_{ { M } }\left( x \right)  \right) [/texx].
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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 21 Diciembre, 2018, 05:42 »

Hola

Hola a todos, quisiera que por favor me dieran ideas sobre el siguiente ejercicio. Gracias.

Sea [texx]H[/texx]  un espacio de Hilbert y [texx]M[/texx]  un subespacio cerrado. Sea [texx]g:M\longrightarrow K[/texx] un funcional lineal y continuo. Sea [texx]{ h }\in { H }^{ \ast  }[/texx] una extensión continua de [texx]g[/texx] según el teorema de Hahn Banach.

(a) Muestre que  [texx]g\left( x \right) =\left< x,y \right> [/texx] para todo [texx]x\in H[/texx] y algún [texx]z\in H[/texx].

[texx]g[/texx] está definido sólo en [texx]M[/texx] y no dices quien es y. Así que supongo que es una errata y en realidad querías poner:

Muestre que  [texx]h\left( x \right) =\left< x,z \right> [/texx] para todo [texx]x\in H[/texx] y algún [texx]z\in H[/texx].

Esto es tal cual el Teorema de representación de Riesz-Frèchet.

Cita
(b) Muestre que [texx]g\left( x \right) =f\left( x \right) =\left< x,{ P }_{ M }\left( z \right)  \right> [/texx] para todo [texx]x\in M[/texx].

Se tiene que [texx]z=P_M(z)+z'[/texx] donde [texx]z'\bot M[/texx]. Por tanto (usando (a)):

[texx]g(x)=h(x)=<x,z>=<x,P_m(z)>+<x,z'>[/texx]

Pero [texx]<x,z'>=0[/texx] porque [texx]x\in M[/texx] y [texx]z'\bot M[/texx].

Cita
(c) Muestre que [texx]{ { P }^{  } }_{ { M }^{ \bot  } }\left( z \right) =0[/texx] y por tanto [texx]g\left( x \right) =f\left( { { P }^{  } }_{ { M } }\left( x \right)  \right) [/texx].

Dado que el operador proyección es autoadjunto:

[texx]g(x)=<x,P_M(z)>=<P_M(x),z>=h(P_M(x))[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #2 : 21 Diciembre, 2018, 09:52 »

Gracias amigo Luis Fuentes por la explicación. Tienes razón tengo algunos errores en la redacción, ya los corrijo.
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