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Autor Tema: Cuando hay que dar ejemplos, ¿se pueden dar como un caso general?  (Leído 306 veces)
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manooooh
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« : 20/12/2018, 07:45:33 am »

Hola

No sé dónde puedo colocar este hilo, sepan disculpar.

Cuando se nos pide dar un ejemplo de cualquier objeto matemático, ¿hay algún criterio para hacerlo?

No recuerdo el ejemplo que me traía problemas pero propongo otro que puede suplantarlo:

"Proponga una función de variable real lineal".



Es claro que [texx]f:\Bbb R\to\Bbb R\mid f(x)=x[/texx] es aceptable, pero... ¿también es válido proponer [texx]f:\Bbb R\to\Bbb R\mid f(x)=x+b,b\in[0,1][/texx] o más general aun [texx]f:\Bbb R\to\Bbb R\mid f(x)=ax+b,a,b\in\Bbb R[/texx]?

Pregunto esto porque a veces se presentan situaciones donde nos piden poner un contraejemplo o simplemente dar algún ejemplo; entonces me surge la disyuntiva de si realmente proponer el caso "más general" sirve mejor como ejemplo. ¿Es esto así o se prefiere un ejemplo concreto?

Spoiler: Mi opinión (click para mostrar u ocultar)

Gracias!
Saludos
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geómetracat
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« Respuesta #1 : 20/12/2018, 08:25:12 am »

Esta es una pregunta muy recurrente entre gente que empieza a estudiar matemáticas "en serio", y que creen que frente a un problema o ejercicio siempre hay que ir a la respuesta más general posible. En mi opinión, a lo que hay que ir es a la respuesta más clara (y que se ajuste mejor a lo que te piden) posible.

En particular, cuando te piden un contraejemplo hay que dar uno lo más concreto posible, pues es la manera más clara de ver que un enunciado es falso (nos basta saber que es falso para un caso concreto, así que cuanto más claro sea el contraejemplo mejor).

Sobre ejemplos, depende del contexto y de lo que quieras ejemplificar. Puede ser interesante dar como ejemplo de funciones de variable real las funciones lineales o las funciones afines, como pones tú.
De todas formas, si es un ejercicio y te piden dar un ejemplo de lo que sea, mejor ceñirse al enunciado y dar un ejemplo concreto, y no una familia de ejemplos.
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La ecuación más bonita de las matemáticas: [texx]d^2=0[/texx]
feriva
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« Respuesta #2 : 20/12/2018, 08:29:01 am »

Hola

Spoiler: Mi opinión (click para mostrar u ocultar)


Disiento (hoy vengo guerrero :sonrisa: ) si algo es falso, lo mejor es mostrar el ejemplo más simple, el más elegante o rápido de ver.

Saludos.
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Fernando Revilla
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Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).


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« Respuesta #3 : 20/12/2018, 08:43:15 am »

No recuerdo el ejemplo que me traía problemas pero propongo otro que puede suplantarlo: "Proponga una función de variable real lineal".

Te piden sólo una ¿no?

Yo creo que lo mejor sería proponer el caso general (cuando obviamente sabemos que es válido para esas constantes).

Entonces, estás resolviendo un problema distinto al que propone el enunciado. Te podrían tachar de "listillo".  :sonrisa:
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manooooh
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« Respuesta #4 : 21/12/2018, 04:37:35 am »

Hola

No recuerdo el ejemplo que me traía problemas pero propongo otro que puede suplantarlo: "Proponga una función de variable real lineal".

Te piden sólo una ¿no?

Yo creo que lo mejor sería proponer el caso general (cuando obviamente sabemos que es válido para esas constantes).

Entonces, estás resolviendo un problema distinto al que propone el enunciado. Te podrían tachar de "listillo".  :sonrisa:

Totalmente de acuerdo, tenés razón.

A ver si este ejemplo va:

"¿Es cierto que todo polinomio de primer grado con coeficientes reales es de segundo grado?"

La respuesta es no (justificación aparte). En este caso se debe poner un ejemplo donde la implicación tenga hipótesis verdadera (existe un polinomio de primer grado con coeficientes reales) pero tesis falsa (probar que ese polinomio no es de segundo grado); ¿se demuestra generalizando o particularizando? Quizás la clave esté en la palabra "todo".

Si encuentro algún ejemplo de verdad donde tenga dudas trataré de publicarlo para discutirlo con ustedes.

Saludos
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feriva
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« Respuesta #5 : 21/12/2018, 05:08:46 am »


A ver si este ejemplo va:

"¿Es cierto que todo polinomio de primer grado con coeficientes reales es de segundo grado?"

La respuesta es no (justificación aparte).
Saludos

Hola, manooooh, buenos días.

Es que ese ejemplo es como intentar demostrar con un contraejemplo que una circunferencia no es un cuadrado; es por definición, porque ¿qué ejemplo poner, dibujar ambas cosas, citar la definición para que se vea que no es lo mismo? Simplemente, es así porque es así, como un polinomio de primer grado no es de segundo :sonrisa:

Saludos.
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manooooh
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« Respuesta #6 : 21/12/2018, 05:44:57 am »

Hola feriva, buenos días

Es que ese ejemplo es como intentar demostrar con un contraejemplo que una circunferencia no es un cuadrado; es por definición, porque ¿qué ejemplo poner, dibujar ambas cosas, citar la definición para que se vea que no es lo mismo? Simplemente, es así porque es así, como un polinomio de primer grado no es de segundo :sonrisa:

Claro, me sonaba raro poner el "(justificación aparte)" :risa:. Trataré de buscar uno mejor.

Saludos
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Luis Fuentes
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« Respuesta #7 : 21/12/2018, 05:50:20 am »

Hola

 Suscribo todo lo dicho por geómetracat.

 Te recomiendo al respecto de todo esto que eches un vistazo con calma a este hilo:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=91420.0

 Allí se discute la conveniencia de, para probar que un conjunto NO es subespacio dar un ejemplo concreto de que propiedad de la definición de subespacio está fallando frente al intento de dar un razonamiento aparentemente más general.

Saludos.
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« Respuesta #8 : 21/12/2018, 06:14:06 am »

Hola

Allí se discute la conveniencia de, para probar que un conjunto NO es subespacio dar un ejemplo concreto de que propiedad de la definición de subespacio está fallando frente al intento de dar un razonamiento aparentemente más general.

Leyendo por encima el interesante hilo parece que no tienen la seguridad de que la generalización realmente vale para todas las constantes que metamos. O sea, es muy probable que siempre "(...) alguien podría argumentar que quizá no estas usando completamente las hipótesis o que quizá desconoces alguna maravillosa transformación algebraica que podría transformar la expresión final a la que llegaste en la deseada".

En tal caso estoy de acuerdo con dar un ejemplo concreto, particular.

Sin embargo, aclaré que:

(...) (cuando obviamente sabemos que es válido para esas constantes).

por lo que esta pregunta puede dividirse en dos:

1) Cuando NO podemos probar que la generalización se cumple (el caso de tu hilo citado que lo entendí).
2) Cuando podemos probar que efectivamente la generalización se cumple (este caso ideal).

Si se cumple 2), ¿podemos asegurar que tanto dar un caso particular como uno general son formas equivalentes de probar algo o aquí es cuando la generalización gana?

Saludos
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Luis Fuentes
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« Respuesta #9 : 21/12/2018, 06:25:37 am »

Hola

Leyendo por encima el interesante hilo parece que no tienen la seguridad de que la generalización realmente vale para todas las constantes que metamos. O sea, es muy probable que siempre "(...) alguien podría argumentar que quizá no estas usando completamente las hipótesis o que quizá desconoces alguna maravillosa transformación algebraica que podría transformar la expresión final a la que llegaste en la deseada".

Merece la pena (creo) que leas el hilo completo y con calma y no solo por encima.

Cita
por lo que esta pregunta puede dividirse en dos:

1) Cuando NO podemos probar que la generalización se cumple (el caso de tu hilo citado que lo entendí).
2) Cuando podemos probar que efectivamente la generalización se cumple (este caso ideal).

Si se cumple 2), ¿podemos asegurar que tanto dar un caso particular como uno general son formas equivalentes de probar algo o aquí es cuando la generalización gana?

Evidentemente si das una familia de contraejemplos, y pruebas con total rigurosidad que efectivamente son contraejemplos, entonces también es válida la generalización, ¡claro! ¿Gana? Puedes juzgar que gana porque has dado más contraejemplos que uno sólo, aunque si el objetivo era simplemente probar que algo es falso se hubiera conseguido lo mismo con un contraejemplo concreto. En ese sentido diríamos que empatamos.

Pero el problema está en que normalmente demostrar que esa familia de contraejemplos efectivamente lo son, suele dar mucho más trabajo que hacer lo mismo para un ejemplo concreto y es fácil además dejar algún cabo suelto.

Para entender mejor esto vuelvo a remitirte al hilo que te comenté. En concreto un mensaje "resumen" podría ser este. Del cuál rescato estos párrafos:

Con todo esto resumo un poco la cuestión:

1- No se trata de que sea imposible sin poner un ejemplo concreto, probar que un conjunto NO es subespacio. No tengo dudas que las objecciones que he puesto a lo que has escrito puedes corregirlas hasta completar una buena demostración, evitando el ejemplo.

2- El problema es que si uno se empeña en hacerlo sin poner tal ejemplo, es muy fácil que caiga en razonamientos incompletos, y lo que es peor, en razonamientos erróneos.

3- Y hecho importante. La alternativa que te sugerimos, dar el ejemplo donde falla la propiedad, es mucho más rápida y sencilla que empeñarse en el otro tipo de razonamiento y 100% riguroso; con muy poco esfuerzo uno tiene la seguridad de no haber dejado ningún cabo suelto.


Saludos.
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« Respuesta #10 : 21/12/2018, 06:31:42 am »

Hola

Siendo rigurosos, pregunté por "¿Se puede..?", a lo que la respuesta debe ser "Sí/No"; y no explayarse porque sino "es muy fácil que caiga en razonamientos incompletos, y lo que es peor, en razonamientos erróneos".

:risa: :risa: :risa:

Evidentemente si das una familia de contraejemplos, y pruebas con total rigurosidad que efectivamente son contraejemplos, entonces también es válida la generalización, ¡claro! ¿Gana? Puedes juzgar que gana porque has dado más contraejemplos que uno sólo, aunque si el objetivo era simplemente probar que algo es falso se hubiera conseguido lo mismo con un contraejemplo concreto. En ese sentido diríamos que empatamos.

Pero el problema está en que normalmente demostrar que esa familia de contraejemplos efectivamente lo son, suele dar mucho más trabajo que hacer lo mismo para un ejemplo concreto y es fácil además dejar algún cabo suelto.

Para entender mejor esto vuelvo a remitirte al hilo que te comenté. En concreto un mensaje "resumen" podría ser este. Del cuál rescato estos párrafos:

Con todo esto resumo un poco la cuestión:

1- No se trata de que sea imposible sin poner un ejemplo concreto, probar que un conjunto NO es subespacio. No tengo dudas que las objecciones que he puesto a lo que has escrito puedes corregirlas hasta completar una buena demostración, evitando el ejemplo.

2- El problema es que si uno se empeña en hacerlo sin poner tal ejemplo, es muy fácil que caiga en razonamientos incompletos, y lo que es peor, en razonamientos erróneos.

3- Y hecho importante. La alternativa que te sugerimos, dar el ejemplo donde falla la propiedad, es mucho más rápida y sencilla que empeñarse en el otro tipo de razonamiento y 100% riguroso; con muy poco esfuerzo uno tiene la seguridad de no haber dejado ningún cabo suelto.


¡Gracias! Súper claro.

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« Respuesta #11 : 21/12/2018, 06:50:55 am »



1) Cuando NO podemos probar que la generalización se cumple (el caso de tu hilo citado que lo entendí).
2) Cuando podemos probar que efectivamente la generalización se cumple (este caso ideal).

Si se cumple 2), ¿podemos asegurar que tanto dar un caso particular como uno general son formas equivalentes de probar algo o aquí es cuando la generalización gana?


 
Un caso real (no demasiado exacto ni en la asignatura de matemáticas, pero real).

Profesor amigo mío a punto de irse de vacaciones (como loco por irse; agosto en Madrid y calor asfixiante). Pero antes de irse tiene que poner las notas (que le apetece tanto como tirarse a una piscina de ácido sulfúrico).
Exámenes con contestaciones cortas y claras, valorables a un golpe de vista, y otros con una manta de letras. ¿Quiénes crees que obtuvieron más aprobados?

No sé si la demostración en sí gana o pierde, pero como le pilles al profesor de “humor”... de lo que dudo es de que ganes nota haciendo eso :cara_de_queso:

Saludos.
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« Respuesta #12 : 21/12/2018, 06:56:55 am »

Un caso real (no demasiado exacto ni en la asignatura de matemáticas, pero real).

Profesor amigo mío a punto de irse de vacaciones (como loco por irse; agosto en Madrid y calor asfixiante). Pero antes de irse tiene que poner las notas (que le apetece tanto como tirarse a una piscina de ácido sulfúrico).
Exámenes con contestaciones cortas y claras, valorables a un golpe de vista, y otros con una manta de letras. ¿Quiénes crees que obtuvieron más aprobados?

No sé si la demostración en sí gana o pierde, pero como le pilles al profesor de “humor”... de lo que dudo es de que ganes nota haciendo eso :cara_de_queso:

Jajaja, es cierto lo que decís. Esta debiera ser una de las principales reformas del nuevo sistema educativo que proponemos; ponerle dedicación a la corrección de exámenes.

Igualmente es factible que la manta de letras esté mal por lo comentado en este y el otro hilo; los alumnos no somos capaces de probar rigurosamente un contraejemplo genérico (muchos ni lo intentan).

Saludos
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