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Autor Tema: Transformación lineal continua pero su inversa no lo es.  (Leído 496 veces)
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lindtaylor
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« : 16 Diciembre, 2018, 19:02 »

Una consulta.
Leyendo el Teorema de la aplicación abierta. ¿Qué contraejemplo se puede tomar de una transformación lineal invertible continua tal que su inversa no sea continua?
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 17 Diciembre, 2018, 03:38 »

Hola

Una consulta.
Leyendo el Teorema de la aplicación abierta. ¿Qué contraejemplo se puede tomar de una transformación lineal invertible continua tal que su inversa no sea continua?

Si [texx]C([0,1])[/texx] es el espacio de funciones continuas considera:

[texx]\phi:(C[0,1],\|\cdot\|_\infty)\to (C[0,1],\|\cdot\|_1),\qquad \phi(f)=f[/texx]

Saludos.
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lindtaylor
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« Respuesta #2 : 17 Diciembre, 2018, 18:37 »

Hola

Una consulta.
Leyendo el Teorema de la aplicación abierta. ¿Qué contraejemplo se puede tomar de una transformación lineal invertible continua tal que su inversa no sea continua?

Si [texx]C([0,1])[/texx] es el espacio de funciones continuas considera:

[texx]\phi:(C[0,1],\|\cdot\|_\infty)\to (C[0,1],\|\cdot\|_1),\qquad \phi(f)=f[/texx]

Saludos.

Pero el dominio y codominio de esa transformación lineal biyectiva son Banach, luego por el teorema de aplicación abierta su inversa debe ser continua. ¿O me equivoco?
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #3 : 18 Diciembre, 2018, 06:07 »

Hola

Pero el dominio y codominio de esa transformación lineal biyectiva son Banach, luego por el teorema de aplicación abierta su inversa debe ser continua. ¿O me equivoco?

[texx](C[0,1],\|\cdot\|_1)[/texx] no es Banach.

Toma funciones [texx]f_n[/texx] que valgan [texx]0[/texx] en [texx][0,1/2-1/(n+2)][/texx], 1 en [texx][1/2+1/(n+2),1][/texx] y en el tramo intermedio el segmento que une ambas partes de la función con continuidad. Converge con la norma [texx]1[/texx] a una función no continua; por tanto es de Cauchy pero no tienen límite en [texx]C[0,1][/texx].

Saludos.
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