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Autor Tema: Lema de Fatou con funciones no necesariamente no negativas.  (Leído 287 veces)
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lindtaylor
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« : 08/12/2018, 09:51:21 pm »

Sea [texx]g[/texx] función integrable sobre un conjunto [texx]E[/texx] y suponga que [texx](f_n) [/texx]es una sucesión de funciones medibles tal que [texx]|f_n|\leq g[/texx] c.t.p sobre [texx]E.[/texx]
Entonces [texx]\int_{E} \liminf f_n\leq \liminf \int_{E}f_n\leq \limsup \int_{E}f_n\leq \int_{E}\limsup f_n[/texx].

En la solución de este ejercicio en una parte afirman que [texx]\int_{E}\liminf f_n+\int g\leq \int \liminf (f_n+g)[/texx]. ¿Cómo puedo justificar esto?
Yo lo justifiqué de esta forma: [texx]\inf f_n+g\leq f_n+g, \liminf f_n+g\leq \liminf(f_n+g)[/texx] luego [texx]\int\liminf f_n+g\leq  \int \liminf(f_n+g)[/texx]. ¿Estaría correcto?

También no sé como justificar que [texx]\liminf \int (f_n+g)\leq \liminf \int f_n+\int g.[/texx] ¿Cómo se puede justificar esto?
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« Respuesta #1 : 08/12/2018, 10:42:37 pm »

No veo como esto [texx]\inf f_n+g\leq f_n+g[/texx] justifica esto otro [texx]\liminf f_n+g\leq \liminf(f_n+g)[/texx], en todo caso tendrías que aclarar algo más esa parte.

La desigualdad ahí no es necesaria ya que [texx]\liminf_n (f_n(x)+g(x))=g(x)+\liminf_n f_n(x)[/texx], ya que [texx]g[/texx] es constante ahí dado un [texx]x\in E[/texx] cualquiera.

Lo que pasa es que sí es cierto, en general, que [texx]\liminf_n a_n+\liminf_n b_n\le\liminf_n (a_n+b_n)[/texx] para cualquiera par de sucesiones (reales) [texx](a_k),(b_k)[/texx].

La igualdad de antes se puede demostrar así: si llamamos [texx]A:=\{f_n(x):n\in\Bbb N\}[/texx] para un [texx]x\in E[/texx] dado, denotamos [texx]c:=g(x)[/texx] entonces [texx]\inf (A+c)=c+\inf A[/texx], lo que se puede demostrar por contradicción de la definición de [texx]A+c:=\{x+c: x\in A\}[/texx] y de la de ínfimo, y por tanto la igualdad anteriormente citada.

Tu última desigualdad también se puede escribir como una igualdad por las mismas razones.
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