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Autor Tema: Ecuación exponencial y logaritmos  (Leído 1195 veces)
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johandh_
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« : 08/12/2018, 17:04:32 pm »

Aquí no me queda claro si debo llevar los radicales a mínimo común índice, expresar 9 como potencia de 3 e igualar los exponentes, por esta razón vengo a aclarar mis dudas, el libro expresa que el resultado es [texx]x = -11[/texx]

[texx]\sqrt[ ]{3^{x-1}}[/texx] = [texx]\sqrt[3 ]{9^{x+2}}[/texx]

Por último estos dos ejercicios de logaritmos

[texx]x^{log_2 x-3}= x[/texx]

[texx]x^{log x}= 100x[/texx] con x > 0

No me terminan de quedar claros porque no se cumple la propiedad de que un número elevado a un logaritmo en base el mismo número es igual al número del logaritmo. Estoy atento a las respuestas, saludos a todos.
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statistic_man
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« Respuesta #1 : 08/12/2018, 17:40:50 pm »

Para la primera cuestión lo más sencillo es escribir ambos miembros de la ecuación en la misma base (3) e igualar los exponentes.

En cuánto a la segunda ecuación no sé si el -3 queda dentro del logaritmo o no. Yo lo que haría es lo siguiente. Como las bases son  iguales igualaría los exponentes para sacar la x.

En el tercero escribiría lo siguiente:  [texx]\frac{x^{log x}}{100}=x[/texx] aplico propiedad de los logaritmos y resuelvo como el caso previo. Inténtalos y nos cuentas. Saludos.
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oveka
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« Respuesta #2 : 08/12/2018, 17:52:18 pm »

A la segunda ecuación necesario logaritmizar por base 2.
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statistic_man
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« Respuesta #3 : 08/12/2018, 17:56:17 pm »

A la segunda ecuación necesario logaritmizar por base 2.

Es irrelevante, iguala exponentes y listo, las bases son iguales. Saludos.
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feriva
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« Respuesta #4 : 08/12/2018, 18:38:00 pm »

Aquí no me queda claro si debo llevar los radicales a mínimo común índice, expresar 9 como potencia de 3 e igualar los exponentes, por esta razón vengo a aclarar mis dudas, el libro expresa que el resultado es [texx]x = -11[/texx]

[texx]\sqrt[ ]{3^{x-1}}[/texx] = [texx]\sqrt[3 ]{9^{x+2}}[/texx]

Por último estos dos ejercicios de logaritmos

[texx]x^{log_2 x-3}= x[/texx]

[texx]x^{log x}= 100x[/texx] con x > 0

No me terminan de quedar claros porque no se cumple la propiedad de que un número elevado a un logaritmo en base el mismo número es igual al número del logaritmo. Estoy atento a las respuestas

Hola.

Te detallo el primero; escríbelo así

[texx](3^{x-1})^{\frac{1}{2}}=(9^{x+2})^{\frac{1}{3}}
 [/texx]

Ahora, logaritmo a los dos lados y regla de las potencias

[texx]\dfrac{1}{2}log(3^{x-1})=\dfrac{1}{3}log(9^{x+2})
 [/texx]

podemos despejar, por ejemplo así

[texx]\dfrac{3}{2}log(3^{x-1})=log(9^{x+2})
 [/texx]

volvemos a aplicar la regla de la potencia y expresamos el 9 como tres al cuadrado

[texx]\dfrac{3(x-1)}{2}log3=(x+2)log(3^{2})
 [/texx]

aplicamos la regla de la potencia con ese cuadrado

[texx]\dfrac{3(x-1)}{2}log3=(2x+4)log(3)
 [/texx]

y cancelamos log3

[texx]\dfrac{3(x-1)}{2}=(2x+4)
 [/texx]

[texx]x=-11[/texx]

...

Te detallo también el del logaritmo en base 2:

[texx]x^{(log_{2}x-3)}=x
 [/texx]

Logaritmo a ambos lados y regla de las potencias

[texx](log_{2}x-3)logx=logx
 [/texx]

Divides a ambos lados por log(x)

[texx]log_{2}x-3=1
 [/texx]

[texx]log_{2}x=4
 [/texx]

y ahí ya está, se hace sin calculadora:

[texx]x=2^{4}=16
 [/texx]

También es solución x=1, como ha indicado Bobby Fischer

A ver si puedes hacer el que queda.

Saludos.
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sugata
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« Respuesta #5 : 08/12/2018, 19:01:02 pm »

Feriva, para el primero es más fácil escribir [texx]9=3^2[/texx] e igualar exponentes como ha dicho statistic_man.
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Bobby Fischer
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« Respuesta #6 : 08/12/2018, 20:14:40 pm »

Buenas tardes.

A la segunda ecuación necesario logaritmizar por base 2.

Es irrelevante, iguala exponentes y listo, las bases son iguales. Saludos.


No es irrelevante. Las soluciones de [texx]f(x)^{g(x)}=f(x)^{h(x)}[/texx] en general no son las de [texx]g(x)=h(x)[/texx].



Te detallo también el del logaritmo en base 2:

[texx]x^{(log_{2}x-3)}=x
 [/texx]

Logaritmo a ambos lados y regla de las potencias

[texx](log_{2}x-3)logx=logx
 [/texx]

Divides a ambos lados por log(x)

[texx]log_{2}x-3=1
 [/texx]

[texx]log_{2}x=4
 [/texx]

y ahí ya está, se hace sin calculadora:

[texx]x=2^{4}=16[/texx]

A ver si puedes hacer el que queda.

Saludos.

Al dividir entre [texx]\log(x)[/texx] hay que considerar el caso en que [texx]\log(x)=0\Rightarrow{x=1}[/texx] que, de hecho, también es solución.

Saludos.
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feriva
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« Respuesta #7 : 08/12/2018, 20:55:25 pm »




Al dividir entre [texx]\log(x)[/texx] hay que considerar el caso en que [texx]\log(x)=0\Rightarrow{x=1}[/texx] que, de hecho, también es solución.

Saludos.

Cierto, muchas gracias; voy a editar para añadirlo.

Saludos.
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feriva
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« Respuesta #8 : 08/12/2018, 20:59:38 pm »

Feriva, para el primero es más fácil escribir [texx]9=3^2[/texx] e igualar exponentes como ha dicho statistic_man.


Hola, Sugata. Está en la línea cuarta o quinta puesto como tres al cuadrado; es que lo he hecho detallando los pasos para que se vea todo bien.

Saludos, buenas noches.
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EduardoA
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« Respuesta #9 : 17/01/2019, 03:46:37 am »

Aquí no me queda claro si debo llevar los radicales a mínimo común índice, expresar 9 como potencia de 3 e igualar los exponentes, por esta razón vengo a aclarar mis dudas, el libro expresa que el resultado es [texx]x = -11[/texx]

[texx]\sqrt[ ]{3^{x-1}}[/texx] = [texx]\sqrt[3 ]{9^{x+2}}[/texx]

Por último estos dos ejercicios de logaritmos

[texx]x^{log_2 x-3}= x[/texx]

[texx]x^{log x}= 100x[/texx] con x > 0

No me terminan de quedar claros porque no se cumple la propiedad de que un número elevado a un logaritmo en base el mismo número es igual al número del logaritmo. Estoy atento a las respuestas, saludos a todos.

¡Hola! Con respecto a la primera ecuación, ibas por buen camino con ese razonamiento; te presento la forma en  la que lo desarrollé:

[texx]
\sqrt{3^{x-1}} = \sqrt[3]{9^{x+2}} \\
(\sqrt{3^{x-1}})^{6} = (\sqrt[3]{9^{x+2}})^{6} \\
3^{3x-3} = 9^{2x+4} \\
3^{3x-3} = 3^{4x+8} \\
3x-3 = 4x+8 \\
x = -11
[/texx]

Ahora bien, con respecto a las logarítmicas, te comparto mi solución de la segunda ya que la primera ha quedado muy bien resuelta en las demás respuestas:

[texx]
x^{\log{x}}=100x \\
\frac {x^{\log{x}}} {100} = x \\
\log{x}^{\log{x}} - 2 = \log{x} \\
(\log{x})^{2} - \log{x} - 2 = 0 \\
[/texx]

Donde resolviendo esa cuadrática, y terminando de despejar [texx] x [/texx], tendremos que: [texx] x = 100 [/texx] ó [texx] x = \frac {1}{10} [/texx].

Espero te sea de ayuda y si ves que algo anda mal te agradezco me lo hagas saber, saludos.
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