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Autor Tema: Probabilidades  (Leído 511 veces)
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LuisCdC
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« : 07/12/2018, 18:41:00 pm »

Hola, necesito ayuda con este problema
Para una sucesión de eventos ([texx]n\geq 2[/texx]) Bernoulli, V victoria con probabilidad [texx]p[/texx] y D derrota con [texx]1-p[/texx], sea [texx]Y_n[/texx] la variable aleatoria que indica el numero de veces que aparece la secuencia (V,V).

Ejemplo: en la secuencia para [texx]n=10[/texx], {V,V,D,V,V,V,D,V,V,D}, [texx]Y_{10}= 4[/texx].
Me piden dar una expresión para la esperanza [texx]E[Y_n][/texx] y la varianza [texx]Var[Y_n][/texx] en fincion de [texx]p[/texx] y [texx]n[/texx].
Necesito una idea de cómo hacerlo, que distribución se puede aplicar acá.
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« Respuesta #1 : 08/12/2018, 21:36:59 pm »

Lo cierto es que no veía el modo de plantear el problema en una fórmula sencilla de abordar, y sin embargo la solución es tremendamente sencilla. La solución la tienes aquí:

https://math.stackexchange.com/questions/1722306/find-the-expected-number-of-two-consecutive-1s-in-a-random-binary-string

La clave está en definir [texx]Y_n:=\sum_{k=1}^{n-1}X_k[/texx], donde cada [texx]X_k[/texx] representa un par de experimentos de Bernoulli. Los [texx]X_k[/texx] no son independientes unos de otros, sin embargo la esperanza al ser lineal tendríamos que [texx]\Bbb E[Y_n]=\sum_{k=1}^{n-1}\Bbb E[X_k][/texx].

Para calcular la varianza podemos usar la identidad [texx]\Bbb V[Y_n]=\Bbb E[Y_n^2]-(\Bbb E[Y_n])^2[/texx] y

[texx]\displaystyle \Bbb E[Y_n^2]=\Bbb E\left(\sum_{k=1}^{n-1} X_k\right)^2=\sum_{1\le k<j\le n-1}2\Bbb E[X_kX_j]+\sum_{k=1}^{n-1}\Bbb E[X_k^2][/texx]

sabiendo además que [texx]\Bbb E[X_kX_j]=\Bbb E[X_j]\Bbb E[X_k][/texx] cuando [texx]X_j[/texx] y [texx]X_k[/texx] son independientes, que en este caso ocurre cuando [texx]|j-k|\ge 2[/texx].
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LuisCdC
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« Respuesta #2 : 09/12/2018, 03:53:10 am »

Muchas gracias, lo entendí todo.
Sabia que tenía su truco porque para hallar su PMF esta fregado.  :cara_de_queso:
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