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Autor Tema: Superficies  (Leído 81 veces)
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zaida
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« : 06/12/2018, 01:53:08 pm »

Necesito saber cómo hallar la intersección de las superficies:
x^2+y^2 -2xz=6 , 3x^2-y^2+3z=0, para poder hallar el vector director de la intersección en la dirección de z creciente y así poder hacer la derivada direccional en un punto dado.
No sé cómo hacerlo y lo necesito para un trabajo.
Gracias
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Bobby Fischer
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« Respuesta #1 : 06/12/2018, 08:30:53 pm »

Hola,

Según creo, sería:

[texx]\begin{cases} x^2+y^2-2xz-6=0  \qquad (i) \\ 3x^2-y^2+3z=0  \qquad (ii) \end{cases}[/texx]

[texx]F(x,y,z)=x^2+y^2-2xz-6[/texx]

[texx]G(x,y,z)=3x^2-y^2+3z[/texx]

Las superficies estarían definidas de manera implícita: [texx]F(x,y,z)=0; \qquad G(x,y,z)=0;[/texx]

[texx]\vec{\nabla}F=\left[\begin{array}{ccc}{2x-2z}\\{2y}\\{-2x}\end{array}\right]\parallel \vec{n_F}=\left[\begin{array}{ccc}{x-z}\\{y}\\{-x}\end{array}\right][/texx]

[texx]\vec{\nabla}G=\left[\begin{array}{ccc}{6x}\\{-2y}\\{6z}\end{array}\right]\parallel \vec{n_G}=\left[\begin{array}{ccc}{3x}\\{-y}\\{3z}\end{array}\right][/texx]

[texx]\vec{n_F}\times \vec{n_G}=det\begin{bmatrix}{\vec{i}}&{\vec{j}}&{\vec{k}}\\{x-z}&{y}&{-x}\\{3x}&{-y}&{3z}\end{bmatrix}=\left[\begin{array}{ccc}{(3z-x)y}\\{3(-x^2-xz+z^2)}\\{y(z-4x)}\end{array}\right]=\vec{d}[/texx]

[texx]\vec{d}[/texx] es el vector tangente a la curva intersección de las superficies.

Si [texx]\vec{d}=\left[\begin{array}{ccc}{d_x}\\{d_y}\\{d_z}\end{array}\right][/texx], entonces la componente [texx]z[/texx] de [texx]\vec{d}[/texx] es:

[texx]d_z=y(z-4x)[/texx]

[texx]\dfrac{\partial d_z}{\partial z}=\dfrac{\partial d_z}{\partial x}\cdot \dfrac{\partial x}{\partial z}=\dfrac{\partial d_z}{\partial x}\cdot \dfrac{1}{\dfrac{\partial z}{\partial x}}[/texx] (Pendiente de confirmación.)

[texx]\dfrac{\partial d_z}{\partial z}=\dfrac{1}{\dfrac{\partial z}{\partial x}}\cdot \dfrac{\partial}{\partial x}[y(z-4x)]=\dfrac{1}{\dfrac{\partial z}{\partial x}}\cdot \left[\dfrac{\partial y}{\partial x}\cdot (z-4x)+y\cdot (\dfrac{\partial z}{\partial x}-4)\right];[/texx]

[texx]\begin{cases} x^2+y^2-2xz=6  \qquad (i) \\ 3x^2-y^2+3z=0  \qquad (ii) \end{cases}[/texx]

[texx]4x^2+(3-2x)z=6\qquad (i)+(ii)[/texx]

[texx]z=\dfrac{4x^2-6}{2x-3}[/texx] (Despejar [texx]z[/texx] de [texx](i)+(ii)[/texx])

Sustituir en [texx](i)[/texx]:

[texx]y^2=\dfrac{6x^3+3x^2-18}{2x-3}[/texx]

(Sustituir en [texx](ii)[/texx], por supuesto, tiene que dar la misma expresión para [texx]y[/texx])

[texx]x[/texx] es un parámetro libre.

La curva dada en forma paramétrica es:

[texx]\left[\begin{array}{ccc}{x}\\{y}\\{z}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{x}\\{\pm \displaystyle \sqrt{\dfrac{6x^3+3x^2-18}{2x-3}}}\\{\dfrac{4x^2-6}{2x-3}}\end{array}\right][/texx] (lo cual nos da las expresiones de [texx]y[/texx] y [texx]z[/texx] para poder calcular las derivadas parciales anteriores)

El contenido del spoiler contiene un error muy grande. No le presten atención. Fallo de principiante que puede resumirse en:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=107194.msg423256#msg423256

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« Respuesta #2 : 07/12/2018, 09:27:47 am »

La curva intersección de las superficies dadas es:






ParametricPlot3D[{{x, Sqrt[(6 x^3 + 3 x^2 - 18)/(2 x - 3)], (4 x^2 - 6)/(2 x - 3)}, {x, -Sqrt[(6 x^3 + 3 x^2 - 18)/(2 x - 3)], (4 x^2 - 6)/(2 x - 3)}}, {x, -50, 50}, Exclusions -> {x == 3/2}, PlotStyle -> {Red, Green}, BoxRatios -> True]


Saludos.

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