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Autor Tema: Demostración conjunto cerrado  (Leído 56 veces)
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DanielSantosPol
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« : 05/12/2018, 09:18:28 pm »

Buenos días. Mi nombre es Daniel, soy un estudiante de Misiones. Terminando con la materia de topología general, nos dieron unas demostraciones para preparar el final. Me está yendo bien con las que fui haciendo, pero estoy con problemas con una que la profesora me dio unos tips pero no me entero como escribir:

"Demostrar que todo cerrado en [texx]\mathbb{R}[/texx] es intersección de una familia numerable de abiertos."

Me dijo la profesora que debo utilizar la definición de que todo cerrado es complemento de un abierto, y me sugirió que use de Morgan.... Y no, no me está saliendo. alguien puede ayudarme? a mí me va a tocar explicarla, así que verla hecha me va a ayudar mucho. Gracias infinitas
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« Respuesta #1 : 05/12/2018, 10:03:31 pm »

Yo lo haría así: considera la unión de todas las bolas abiertas de radio [texx]1/n[/texx] centradas en cada punto de un conjunto cerrado cualquiera. Entonces ese conjunto es abierto por definición. Llamemos a ese conjunto abierto [texx]O_n[/texx].

Ahora bien, ¿qué pasa con [texx]\bigcap_{n\in\Bbb N}O_n[/texx]? :guiño:
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DanielSantosPol
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« Respuesta #2 : 05/12/2018, 10:11:01 pm »

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« Respuesta #3 : 05/12/2018, 10:46:46 pm »

:indeciso:



Supongamos tengo un cerrado [texx]C[/texx], entonces como decía antes defino [texx]O_n:=\bigcup_{x\in C}(x-1/n,x+1/n)[/texx] para cada [texx]n\in\Bbb N_{\ge 1}[/texx]. Está claro que [texx]C\subset O_n[/texx] para cada [texx]n\in\Bbb N[/texx], lo que implica que [texx]C\subset\bigcap_{n\in\Bbb N}O_n[/texx].

Ahora se trataría de demostrar que [texx]\bigcap_{n\in\Bbb N}O_n\subset C[/texx] para tener la igualdad, es decir, si [texx]A\subset B[/texx] y [texx]B\subset A[/texx] entonces [texx]A=B[/texx].

(Aquí la notación [texx]\subset[/texx] es la generalmente usada, es decir, significa lo mismo que [texx]\subseteq[/texx].)

Para demostrar que [texx]\bigcap_{n\in\Bbb N}O_n\subset C[/texx] se puede hacer por contradicción, es decir, asumir que existe un [texx]x\in\bigcap_{n\in\Bbb N}O_n[/texx] tal que [texx]x\notin C[/texx]. Pero entonces la distancia entre ese [texx]x[/texx] y [texx]C[/texx] es positiva, ya que de otro modo sería un punto límite de [texx]C[/texx] (y como [texx]C[/texx] es cerrado entonces pertenecería a [texx]C[/texx]) o sería un punto aislado de [texx]C[/texx].

Sea esa distancia [texx]d[/texx], entonces para un [texx]n_0\in\Bbb N[/texx] suficientemente grande tenemos que [texx]1/n_0<d[/texx], lo que implicaría que [texx]x\notin O_{n_0}[/texx]. Contradicción.

No sé lo que te han enseñado así que no sé si esta demostración es adecuada a la teoría que hayas recibido (yo creo que es bastante elemental, aunque quizá haya alguna otra demostración más simple).

Quizá para demostrar que [texx]\bigcap_{n\in\Bbb N}O_n\subset C[/texx] sea más fácil lo siguiente: [texx]A\subset B[/texx] si y solo si [texx]A^\complement\supset B^\complement[/texx], en este caso nos queda la expresión a demostrar equivalente de

[texx]\displaystyle\left(\bigcap_{n\in\Bbb N}O_n\right)^\complement\supset C^\complement[/texx]

aunque no sé si esto será más difícil de demostrar que el método por contradicción anterior.
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DanielSantosPol
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« Respuesta #4 : 05/12/2018, 11:58:25 pm »

 Aplauso :risa:
Creo que si mi profesora hubiera explicado así estos temas, hoy no tendría tantas lagunas conceptuales en esta materia. Hemos visto muy poca demostración y mucha definición, y me he esforzado por entender lo del libro, pero usted ha sido muy claro y me ayuda a hacer otras dos que me doy cuenta ahora como hacerlas.
Infinitas gracias
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