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Autor Tema: Recta tangente a una curva incluida en una superficie  (Leído 140 veces)
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alucard
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« : 05/12/2018, 07:19:51 pm »

Hola tengo este enunciado

Sea[texx] \bar X=(x,x^2,z(x))[/texx] con [texx] x \in E(2)[/texx] , es la ecuación de una curva incluida en

[texx]F(x,y,z)=0[/texx].

Analice  si la recta tangente  a C en A intersecta al  eje z, sabiendo que [texx]A(2,4,3)\in C[/texx] y que

[texx]\nabla F(A)=(2,1,5)[/texx]

Intente lo siguiente , sea dr el director de la recta tangente a C, entonces

[texx]dr\approx X'(2)=(1,4,z'(2))[/texx]

este director es perpendicular a la normal del plano tangente a [texx]F(A)[/texx] por lo que

[texx]\nabla F(A)\cdot dr=0\to z'(2)=-\dfrac{6}{5}[/texx]

La ecuación de la recta es por lo tanto

[texx]r(t)=(2+t,1+4t,5-6/5 t)[/texx]

si interesecta al eje z entonces

[texx]2+t=0 \to t=-2\quad 1+4t=0\quad 5-6/5t=\alpha[/texx]

quedando un SI, por lo tanto no existe intersección , ¿está bien?

Tengo dudas en si halle de forma correcta el director de la recta tangente imponiendo la perpendicularidad con la normal del plano tangente a F
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Un camino de 1000 km se empieza a recorrer cuando se da el primer paso
Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 10/12/2018, 07:36:22 am »

Hola

 Tienes mal dos cosas:

 1) Si la ecuación de la recta fuese correcta, la conclusión estaría mal:

[texx]r(t)=(2+t,1+4t,5-6/5 t)[/texx]

si interesecta al eje z entonces

[texx]2+t=0 \to t=-2\quad 1+4t=0\quad 5-6/5t=\alpha[/texx]

quedando un SI, por lo tanto no existe intersección , ¿está bien?

 Para que cortase al eje [texx]OZ[/texx] la recta indicada tendría que intersecar a [texx]X=Y=0[/texx], es decir, existir un valor de [texx]t[/texx] que simultánemente verifique [texx]2+t=0[/texx] y [texx]1+4t=0[/texx]. Pero no existe.

2) La recta está mal. El vector director está bien calculado pero has colocado mal el punto (lo has confundido con el gradiente).

No es:

[texx]r(t)=(\color{red}2\color{black}+t,\color{red}1\color{black}+4t,\color{red}5\color{black}-6/5 t)[/texx]

sino:

[texx]r(t)=(\color{red}2\color{black}+t,\color{red}4\color{black}+4t,\color{red}3\color{black}-6/5 t)[/texx]

Saludos.
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alucard
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« Respuesta #2 : 10/12/2018, 01:52:05 pm »

Gracias luis  Aplauso
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