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Autor Tema: Ayuda con problema de variable bidimensional!  (Leído 65 veces)
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MaryJay
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« : 05/12/2018, 05:36:32 pm »

Hola! Les comento, hoy un ejercicio prácticamente idéntico estuvo en la prueba que me tomaron, lastimosamente, no supe ni siquiera como encararlo... Necesitaría de su ayuda por si toca en el recuperatorio saber que hacer! Por favor!

[texx]f(x,y)= c e^{ -\frac{1}{2} [ (x-1)^{2}+ (y-1)^{2} ]}[/texx]

para [texx]-\infty  < x < \infty , -\infty < y < \infty[/texx]

(a) Determine el valor de c.
(b) ¿Son X e Y independientes? Justifique.
(c) Calcule [texx]E(XY)[/texx].
(d) Encuentre la probabilidad [texx]P( \frac{X}{Y} > 0)[/texx]
(e) Encuentre la probabilidad [texx]P( XY > 0)[/texx]
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pierrot
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« Respuesta #1 : 05/12/2018, 08:19:03 pm »

Hola,

  • Debes imponer la condición [texx]\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty f(x,y)dxdy=1[/texx]

  • Recuerda que para que [texx]X[/texx] e [texx]Y[/texx] sean independientes una condición necesaria y suficiente es que [texx]f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)[/texx] donde [texx]f_X(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x,y)dy[/texx] y [texx]f_Y(y)=\int_{-\infty}^\infty f(x,y)dx[/texx]

  • [texx]E[XY]=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty xyf(x,y)dxdy[/texx]

  • [texx]P(\frac{X}{Y}>0)=\iint_U f(x,y)dxdy[/texx] con [texx]U=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2|\frac{x}{y}>0\}[/texx]

  • [texx]P(XY>0)=\iint_U f(x,y)dxdy[/texx] con [texx]U=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2|xy>0\}[/texx]

Saludos
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« Respuesta #2 : 05/12/2018, 09:08:33 pm »

Hola! Gracias por la respuestas! Me faltó aclarar que eso digamos que "lo sabía" y lo intenté, pero la integral no la pude resolver :triste: (En teoría se podía haciendo siete veces por partes después me enteré...)

Agrego que el profesor aclaró que integrar no era la idea, sino usar el hecho de que esto es una "distribución conocida". A mi entendimiento es como una distribución normal, pero no estoy segura de que aunque lo fuese, poder encarar el resto...
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« Respuesta #3 : 05/12/2018, 09:34:24 pm »

Hola! Gracias por la respuestas! Me faltó aclarar que eso digamos que "lo sabía" y lo intenté, pero la integral no la pude resolver :triste: (En teoría se podía haciendo siete veces por partes después me enteré...)

Agrego que el profesor aclaró que integrar no era la idea, sino usar el hecho de que esto es una "distribución conocida". A mi entendimiento es como una distribución normal, pero no estoy segura de que aunque lo fuese, poder encarar el resto...

Ah, yo creí que tu problema era que no sabías qué hacer a nivel conceptual, no las cuentas. Bueno, ten presente que si haces el cambio de variable

[texx](u,v)\mapsto (u+1,v+1)=(x,y)[/texx]

se tiene que el determinante de dicha transformación es 1 y por tanto la integral se reduce a

[texx]\begin{align*}
\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^{\infty} c e^{ -\frac{1}{2} (u^2+v^2) }du dv &= c \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{ -\frac{1}{2}u^2}e^{ -\frac{1}{2}v^2}dudv\\
& = \dots = c \left(\int_{-\infty}^\infty e^{ -\frac{1}{2}u^2}\right)^2
\end{align*}[/texx]

Por otra parte, sabes que [texx]\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty e^{ -\frac{1}{2}u^2 }du = 1[/texx] por tanto [texx]\int_{-\infty}^\infty e^{ -\frac{1}{2}u^2 }du=\sqrt{2\pi}[/texx].
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« Respuesta #4 : 05/12/2018, 10:00:15 pm »

Muchas gracias!!! Creo que ahora puedo encarar todo lo demás  Aplauso

Ojalá se me hubiera ocurrido en la evaluación :indeciso:
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