Duda conceptual con la matriz asociada

[alucard]

Hola , tengo el siguiente ejercicio

Sea la [texx]T:R^3 \longrightarrow R^4 [/texx] que verifica

[texx]T(1,1,1)=(1,1,1,1)\\ T(-1,0,0)=(0,-1,2,1)\\ T(0,0,1)=(2,1,k,k-1)[/texx]

Hallar los valores de k (si es posible) para que la dimensión de la imagen sea 2, para el valor obtenido obtener una base la la dimensión del núcleo.

El ejercicio lo se hacer , quería saber si es correcto lo que expreso a continuación

Una base del dominio es

[texx]B=\left\{{(1,1,1)(-,1,0,0)(0,0,1)}\right\}[/texx] E la base del codominio, ¿es correcto plantear lo siguiente?

[texx]M_{BE}=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{2}\\{1}&{-1}&{1}\\{1}&{2}&{k}\\{1}&{1}&{k-1}\end{bmatrix}[/texx]

[sugata]

Yo lo veo bien.
Pero espera a que conteste alguien que sepa más.....

[Luis Fuentes]

Hola

 Correcto.

Saludos.

[alucard]

Gracias

[Bobby Fischer]

Hola,

Me ha costado trabajo, pero al final lo he visto:

[texx]B=\left\{\vec{v_1},\vec{v_2},\vec{v_3}\right\}[/texx]

[texx]\vec{v}=\alpha_1\cdot \vec{v_1}+\alpha_2\cdot \vec{v_2}+\alpha_3\cdot \vec{v_3}[/texx]

[texx]T(\vec{v})=T(\alpha_1\cdot \vec{v_1}+\alpha_2\cdot \vec{v_2}+\alpha_3\cdot \vec{v_3})=\alpha_1\cdot T(\vec{v_1})+\alpha_2\cdot T(\vec{v_2})+\alpha_3\cdot T(\vec{v_3})[/texx]

[texx]T(\vec{v})=M \vec{v}=M(\alpha_1\cdot \vec{v_1}+\alpha_2\cdot \vec{v_2}+\alpha_3\cdot \vec{v_3})=\alpha_1\cdot M(\vec{v_1})+\alpha_2\cdot M(\vec{v_2})+\alpha_3\cdot M(\vec{v_3})[/texx]

[texx]M \vec{v}=\alpha_1 \! \left[\begin{array}{ccc}{1}\\{1}\\{1}\\{1}\end{array}\right]+\alpha_2 \! \left[\begin{array}{ccc}{0}\\{-1}\\{2}\\{1}\end{array}\right]+\alpha_3 \! \left[\begin{array}{ccc}{2}\\{1}\\{k}\\{k-1}\end{array}\right]=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{2}\\{1}&{-1}&{1}\\{1}&{2}&{k}\\{1}&{1}&{k-1}\end{bmatrix}\!\! \left[\begin{array}{ccc}{\alpha_1}\\{\alpha_2}\\{\alpha_3}\end{array}\right][/texx]

[texx]M \vec{v}=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{2}\\{1}&{-1}&{1}\\{1}&{2}&{k}\\{1}&{1}&{k-1}\end{bmatrix}\!\! \left[\begin{array}{ccc}{\alpha_1}\\{\alpha_2}\\{\alpha_3}\end{array}\right][/texx]

[texx]M \vec{v}[/texx] es el transformado de [texx]\vec{v}[/texx] por la matriz [texx]M[/texx].

[texx]\left[\begin{array}{ccc}{\alpha_1}\\{\alpha_2}\\{\alpha_3}\end{array}\right][/texx] son las coordenadas de [texx]\vec{v}[/texx] en base [texx]B[/texx].

No queda más opción que la matriz [texx]4\times{3}[/texx], cuyas columnas son los transformados de los vectores de [texx]B[/texx], sea [texx]M_{T, B,E4}[/texx], la matriz que toma vectores en base [texx]B[/texx] y devuelve sus transformados en la base canónica de [texx]\mathbb{R}^4[/texx].



Ahora bien:

[texx]M \vec{v}=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{2}\\{1}&{-1}&{1}\\{1}&{2}&{k}\\{1}&{1}&{k-1}\end{bmatrix}\!\! \left[\begin{array}{ccc}{\alpha_1}\\{\alpha_2}\\{\alpha_3}\end{array}\right][/texx] (como hemos dicho antes.)

Al mismo tiempo: [texx]\begin{bmatrix}{}&{}&{}\\{\vec{v_1}}&{\vec{v_2}}&{\vec{v_3}}\\{}&{}&{}\end{bmatrix}\!\! \left[\begin{array}{ccc}{\alpha_1}\\{\alpha_2}\\{\alpha_3}\end{array}\right]=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}\!\! \left[\begin{array}{ccc}{\varepsilon_1}\\{\varepsilon_2}\\{\varepsilon_3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\varepsilon_1}\\{\varepsilon_2}\\{\varepsilon_3}\end{array}\right] \quad \Longrightarrow \quad \left[\begin{array}{ccc}{\alpha_1}\\{\alpha_2}\\{\alpha_3}\end{array}\right]=\begin{bmatrix}{}&{}&{}\\{\vec{v_1}}&{\vec{v_2}}&{\vec{v_3}}\\{}&{}&{}\end{bmatrix}^{-1}\!\! \left[\begin{array}{ccc}{\varepsilon_1}\\{\varepsilon_2}\\{\varepsilon_3}\end{array}\right][/texx]

Entonces:

[texx]M \vec{v}=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{2}\\{1}&{-1}&{1}\\{1}&{2}&{k}\\{1}&{1}&{k-1}\end{bmatrix}\!\! \left[\begin{array}{ccc}{\alpha_1}\\{\alpha_2}\\{\alpha_3}\end{array}\right]=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{2}\\{1}&{-1}&{1}\\{1}&{2}&{k}\\{1}&{1}&{k-1}\end{bmatrix}\!\! \begin{bmatrix}{}&{}&{}\\{\vec{v_1}}&{\vec{v_2}}&{\vec{v_3}}\\{}&{}&{}\end{bmatrix}^{-1}\!\! \left[\begin{array}{ccc}{\varepsilon_1}\\{\varepsilon_2}\\{\varepsilon_3}\end{array}\right][/texx]



[texx]\begin{bmatrix}{1}&{0}&{2}\\{1}&{-1}&{1}\\{1}&{2}&{k}\\{1}&{1}&{k-1}\end{bmatrix}\!\! \begin{bmatrix}{}&{}&{}\\{\vec{v_1}}&{\vec{v_2}}&{\vec{v_3}}\\{}&{}&{}\end{bmatrix}^{-1}[/texx]

no es otra que [texx]M_{T, E3,E4}[/texx], la matriz que toma vectores en base canónica de [texx]\mathbb{R}^3[/texx] y devuelve sus transformados en la base canónica de [texx]\mathbb{R}^4[/texx].

[texx]M_{T, E3,E4}=M_{T, B,E4}\cdot M_{E3,B}[/texx]

[texx]M_{E3,B}=M_{B,E3}^{-1}[/texx]

Saludos.

[alucard]

Gracias Bobby Fische, un trabajo hacer todo eso el latex ,