29 Febrero, 2020, 10:28 *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Homenaje a NUMERARIUS
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Diferencia de elementos de U(I)  (Leído 554 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
Luxeet
Pleno
****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Femenino
Perú Perú

Mensajes: 94



Ver Perfil
« : 05 Diciembre, 2018, 04:57 »

El ejercicio que debo resolver empieza definiendo el conjunto [texx]U(I)[/texx] el cual es llamado conjunto de funciones superiores definidas en [texx]I[/texx], cuyos elementos tienen la siguiente definición:

 [texx]f \in U(I)[/texx] si existe una sucesión creciente [texx]\left\{{s_n}\right\}[/texx] de funciones escalonadas en [texx]I \subseteq{\mathbb{R}}[/texx] tales que:

(1) [texx]s_n(x) \longrightarrow{ f(x)}[/texx] c.t.p. [texx]I[/texx]

(2) [texx]\displaystyle\lim\displaystyle\int_{I}s_n[/texx] es finito


Lo que debo probar es que dados dos elementos [texx]u[/texx]  y [texx]v[/texx] de [texx]U(I)[/texx] entonces no necesariamente se tiene que [texx]u-v \in U(I)[/texx]
 
Creo que una idea de resolución está en el ejercicio 10.4 del archivo que adjunto y que encontré por internet, pero la cual aún así no consigo terminar, el item (a) (del ejercicio del archivo) se demuestra fácil, el resto no entiendo bien.  :BangHead: :BangHead: 
Les agradezco como siempre por su atención y apoyo. Saludos cordiales

* 361965836-matem014589738372.pdf (87.96 KB - descargado 57 veces.)
En línea

Ss.
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 46.042


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 05 Diciembre, 2018, 07:30 »

Hola

El ejercicio que debo resolver empieza definiendo el conjunto [texx]U(I)[/texx] el cual es llamado conjunto de funciones superiores definidas en [texx]I[/texx], cuyos elementos tienen la siguiente definición:

 [texx]f \in U(I)[/texx] si existe una sucesión creciente [texx]\left\{{s_n}\right\}[/texx] de funciones escalonadas en [texx]I \subseteq{\mathbb{R}}[/texx] tales que:

(1) [texx]s_n(x) \longrightarrow{ f(x)}[/texx] c.t.p. [texx]I[/texx]

(2) [texx]\displaystyle\lim\displaystyle\int_{I}s_n[/texx] es finito


Lo que debo probar es que dados dos elementos [texx]u[/texx]  y [texx]v[/texx] de [texx]U(I)[/texx] entonces no necesariamente se tiene que [texx]u-v \in U(I)[/texx]
 
Creo que una idea de resolución está en el ejercicio 10.4 del archivo que adjunto y que encontré por internet, pero la cual aún así no consigo terminar, el item (a) (del ejercicio del archivo) se demuestra fácil, el resto no entiendo bien.  :BangHead: :BangHead: 
Les agradezco como siempre por su atención y apoyo. Saludos cordiales

Para (b) ten en cuenta que [texx]f(x)[/texx] vale [texx]1[/texx] exactamente sobre la unión de todos los [texx]I_n=[r_n-4^{-n},r_n+4^{-n}]\cap I.[/texx] La longitud de esos intervalos cumple [texx]l(I_n)\leq 2\cdot 4^{-n}.[/texx]

Por tanto la integral de [texx]f(x)[/texx] está acotada por la suma de las longitudes de todos esos intervalos:

[texx]\displaystyle\int_{I}f(x)\leq \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}2\cdot 4^{-n}=\dfrac{2\cdot 4^{-1}}{1-4^{-1}}=\dfrac{2}{3}[/texx]

Para (c) una función escalonada [texx]s[/texx] toma valores en un conjunto finito de intervalos disjuntos, en los cuales es constante. Todos esos intervalos contienen un racional [texx]r_i[/texx] y por tanto cortan a [texx]I_k[/texx]. Por tanto si esa función cumple [texx]s\leq -f[/texx] cumple [texx]s\leq -1[/texx] salvo quizá en un número finito de puntos.

¿Puedes terminar?.

Saludos.
En línea
Luxeet
Pleno
****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Femenino
Perú Perú

Mensajes: 94



Ver Perfil
« Respuesta #2 : 07 Diciembre, 2018, 03:35 »

Para (b) ten en cuenta que [texx]f(x)[/texx] vale [texx]1[/texx] exactamente sobre la unión de todos los [texx]I_n=[r_n-4^{-n},r_n+4^{-n}]\cap I.[/texx] La longitud de esos intervalos cumple [texx]l(I_n)\leq 2\cdot 4^{-n}.[/texx]

Por tanto la integral de [texx]f(x)[/texx] está acotada por la suma de las longitudes de todos esos intervalos:

[texx]\displaystyle\int_{I}f(x)\leq \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}2\cdot 4^{-n}=\dfrac{2\cdot 4^{-1}}{1-4^{-1}}=\dfrac{2}{3}[/texx]

Para (c) una función escalonada [texx]s[/texx] toma valores en un conjunto finito de intervalos disjuntos, en los cuales es constante. Todos esos intervalos contienen un racional [texx]r_i[/texx] y por tanto cortan a [texx]I_k[/texx]. Por tanto si esa función cumple [texx]s\leq -f[/texx] cumple [texx]s\leq -1[/texx] salvo quizá en un número finito de puntos.

Para el item (d) asumo que [texx]-f \in U(I)[/texx] entonces por definición existe una sucesión creciente [texx]\left\{{r_n}\right\}[/texx] de funciones escalonadas en [texx]I \subseteq{\mathbb{R}}[/texx] tales que:

(1) [texx]r_n(x) \longrightarrow{ -f(x)}[/texx] c.t.p. [texx]I[/texx]

(2) [texx]\displaystyle\lim\displaystyle\int_{I}r_n[/texx] es finito

Y me parece que para concluir debo recordar que la integral de [texx]-f[/texx] en [texx]I[/texx], en este caso, se define por la ecuación:

[texx]\displaystyle\int_{I}-f=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\int_{I}r_n}[/texx]

Luego de (b) y (c) tendría que: [texx]-2/3\leq{\displaystyle\int_{I}-f=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\int_{I}r_n}}\leq{-1}[/texx]
lo cual es una contradicción
En línea

Ss.
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 46.042


Ver Perfil
« Respuesta #3 : 10 Diciembre, 2018, 07:01 »

Hola

 Bien.

Saludos.
En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!