09/12/2018, 08:21:56 pm *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Renovado el procedimiento de inserción de archivos GEOGEBRA en los mensajes.
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Medida del conjunto de los números irracionales  (Leído 57 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
Luxeet
Pleno
****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Femenino
Perú Perú

Mensajes: 90



Ver Perfil
« : 05/12/2018, 12:18:49 am »

Debo demostrar que [texx]m(\mathbb{I})\neq{0}[/texx].
Teniendo en cuenta que [texx]\mathbb{I}=\mathbb{R}-\mathbb{Q}[/texx] ¿basta saber que [texx]m(\mathbb{Q})=0[/texx] para demostrar lo pedido?  Donde [texx]m(A)[/texx] denota medida del conjunto [texx]A[/texx]

Creo que es trivial mi pregunta, pero he estado buscando al respecto algo más detallado y he entendido la demostración de que [texx]\mathbb{Q}[/texx] tiene medida nula, y para abordar que [texx]\mathbb{I} [/texx] tenga medida no nula entonces empezaría suponiendo lo contrario, es decir asumiría como hipótesis auxiliar que [texx]m(\mathbb{I}) =0[/texx] sin embargo creo que primero debo probar que [texx]\mathbb{I}[/texx] es un conjunto medible y luego ver el valor de [texx]m(\mathbb{I})[/texx]
Son esos detalles que no veo como dar forma a partir de la definición de conjunto medible. Les agradezco de antemano por su ayuda. Saludos cordiales.
En línea

Ss.
Masacroso
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 1.104


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 05/12/2018, 01:48:58 am »

Debo demostrar que [texx]m(\mathbb{I})\neq{0}[/texx].
Teniendo en cuenta que [texx]\mathbb{I}=\mathbb{R}-\mathbb{Q}[/texx] ¿basta saber que [texx]m(\mathbb{Q})=0[/texx] para demostrar lo pedido?  Donde [texx]m(A)[/texx] denota medida del conjunto [texx]A[/texx]

Creo que es trivial mi pregunta, pero he estado buscando al respecto algo más detallado y he entendido la demostración de que [texx]\mathbb{Q}[/texx] tiene medida nula, y para abordar que [texx]\mathbb{I} [/texx] tenga medida no nula entonces empezaría suponiendo lo contrario, es decir asumiría como hipótesis auxiliar que [texx]m(\mathbb{I}) =0[/texx] sin embargo creo que primero debo probar que [texx]\mathbb{I}[/texx] es un conjunto medible y luego ver el valor de [texx]m(\mathbb{I})[/texx]
Son esos detalles que no veo como dar forma a partir de la definición de conjunto medible. Les agradezco de antemano por su ayuda. Saludos cordiales.

Asumo que nos referimos a la medida de Lebesgue. La medida de [texx]\Bbb R[/texx] es infinita, y como [texx]\Bbb Q[/texx] y [texx]\Bbb I[/texx] son complementarios, y por ende disjuntos, entonces usando la propiedad aditiva de toda medida tenemos que

[texx]\displaystyle m(\Bbb R)=m(\Bbb Q)+m(\Bbb I)[/texx]

y como [texx]m(\Bbb R)=\infty[/texx] y [texx]m(\Bbb Q)=0[/texx] entonces necesariamente [texx]m(\Bbb I)=\infty[/texx].

También fíjate que si [texx]\Bbb Q[/texx] es medible entonces su complementario también lo es, por definición de [texx]\sigma[/texx]-álgebra. De todo esto no he demostrado que [texx]m(\Bbb R)=\infty[/texx]. Para demostrar esto nos podemos basar en otra propiedad de las medidas no-negativas: que son funciones crecientes respecto a la inclusión, es decir, que si [texx]A\subset B[/texx] entonces [texx]m(A)\le m(B)[/texx] (asumiendo que ambos conjuntos son medibles).

Y como [texx][a,b]\subset\Bbb R[/texx] y [texx]m([a,b])=b-a[/texx] basta con tomar una sucesión de intervalos cada vez más grandes para ver que [texx]\Bbb R[/texx] tiene medida infinita.

CORRECCIÓN: faltaba añadir eso, ya que hay medidas con imagen compleja o en otros espacios.
En línea
Luxeet
Pleno
****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Femenino
Perú Perú

Mensajes: 90



Ver Perfil
« Respuesta #2 : 05/12/2018, 02:15:59 am »

Gracias por la explicación. no tuve en cuenta la aditividad como propiedad y finalmente la medida de [texx]\mathbb{R}[/texx] quedó claro.

Muchas gracias.
En línea

Ss.
Masacroso
Pleno*
*****

Karma: +1/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 1.104


Ver Perfil
« Respuesta #3 : 05/12/2018, 03:21:07 pm »

Una manera más directa de demostrar que [texx]m(\Bbb I)>0[/texx] sin hacer mención a la medida de [texx]\Bbb R[/texx] sería así: primero, como dije en la respuesta anterior, notar que [texx]\Bbb I[/texx] es medible por ser el complementario de un conjunto medible.

De la propiedad aditiva tenemos entonces

[texx]\displaystyle m([0,1])=m(\Bbb Q\cap [0,1])+m(\Bbb I\cap [0,1])[/texx]

ya que [texx]\Bbb Q\cap [0,1][/texx] y [texx]\Bbb I\cap [0,1][/texx] son disjuntos y su unión es [texx][0,1][/texx], y como [texx]m([0,1])=1[/texx] y [texx]m(\Bbb Q\cap[0,1])=m(\Bbb Q)=0[/texx] (porque la medida de Lebesgue es una función creciente, como mencioné en mi respuesta anterior) entonces deducimos que [texx]m(\Bbb I\cap[0,1])=1[/texx], de lo que deducimos a su vez que [texx]m(\Bbb I)\ge 1[/texx], ya que [texx]\Bbb I\supset\Bbb I\cap[0,1][/texx].
En línea
Luxeet
Pleno
****

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Femenino
Perú Perú

Mensajes: 90



Ver Perfil
« Respuesta #4 : 07/12/2018, 02:22:10 am »

entonces deducimos que [texx]m(\Bbb I\cap[0,1])=1[/texx], de lo que deducimos a su vez que [texx]m(\Bbb I)\ge 1[/texx], ya que [texx]\Bbb I\supset\Bbb I\cap[0,1][/texx].

Se entendió todo. Gracias infinitas por tu ayuda y aporte.   Aplauso Aplauso Aplauso Aplauso
En línea

Ss.
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!