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zaida
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« : 04/12/2018, 02:13:15 pm »

Halla el punto más próximo al origen de [texx]z=xy-1.[/texx]
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 04/12/2018, 02:40:29 pm »

Hola

 Bienvenida al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Halla el punto más próximo al origen de [texx]z=xy-1.[/texx]

 Sería bueno que indicases que has intentado y las dudas concretas que encuentras.

 Se trata de minimizar la función:

 [texx]f(x,y,z)=d((x,y,z),(0,0,0)=\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2+(z-0)^2}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}[/texx]

 restringida a la superficie [texx]z=xy-1[/texx].

 Nota que dado que la función distancia toma valores positivos y para valores positivos [texx]x^2[/texx] es estrictamente creciente el problema equivale a minimizar:

[texx] g(x,y,z)=f(x,y,z)^2=x^2+y^2+z^2[/texx]

 Eso simplifica algo las cuentas.

 Puedes hacerlo al menos de dos formas:

1) En la función objetivo sutituyes [texx]z[/texx] por [texx]xy-1[/texx] convirtiendo el problema en uno de optimización sin restricciones en dos variables. La función objetivo pasa a ser:

[texx]h(x,y)=x^2+y^2+(xy-1)^2[/texx]

 Los candidatos a mínimo son aquellos puntos donde se anulan simultánemente las parciales.

2) Usando multiplicadores de Lagrange. Planteas la función:

[texx]F(x,y,z,\lambda)=x^2+y^2+z^2-\lambda(xy-1)[/texx]

 De nuevo los candidatos a mínimo son aquellos puntos donde se anulan simultánemente las cuatro parciales.

Intenta completar alguna de las dos ideas y pregunta las dudas que te surjan.

Saludos.

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