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Autor Tema: Sobre el símbolo \(\therefore\) ("Por tanto")  (Leído 250 veces)
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manooooh
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« : 03/12/2018, 10:21:33 pm »

Hola!

Estoy interesado (muy interesado) sobre el símbolo "Por tanto" [texx]\therefore[/texx]

Si bien es un símbolo que nadie lo quiere usar (seamos sinceros), yo lo quiero.

No puedo encontrar mucha información sobre cuándo utilizarlo, pero yo lo hago única y exclusivamente en el último paso de una demostración matemática (también informalmente, cuando hay que ahorrar tiempo de escritura). ¿Es correcto?

Digo que nadie quiere utilizarlo porque el argumento es "¿Para qué usar algo distinto cuando puedes poner [texx]\implies[/texx]?", y tienen razón, ya que me parece que [texx]\implies[/texx] y [texx]\therefore[/texx] en el último paso de una demostración, ambas formas son válidas, pero al poner este último la demostración queda "completa"... Por eso lo uso.

¿Es [texx]\therefore[/texx] un conectivo lógico? ¿Por qué?

¿Podría afirmarse que "Por tanto" es equivalente al conectivo "Si... entonces"? ¿O mas bien el primero es más "abarcativo" que el segundo?


¿Es un símbolo primitivo de la Lógica?

¿Cómo se lo define lógicamente (si la respuesta anterior es "No")?

¿Se lo puede descomponer en otros símbolos más "pequeños" (como por ejemplo el [texx]\veebar[/texx])?

¿En qué casos se puede utilizar y en qué casos no?
Por ejemplo, uno jamás pondría [texx]x+1=2+1\therefore x+1=3\therefore x=2[/texx] porque es feo a los ojos jaja (el primer [texx]\therefore[/texx] no da paso al final de ninguna demostración).

Gracias!
Saludos

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« Respuesta #1 : 04/12/2018, 12:45:32 am »

Hola manooooh,

Comentaré en base a mi experiencia, no sé si hay fundamentos de la lógica más formales.

El símbolo [texx]\Rightarrow[/texx] conecta una proposición con otra, por eso es correcto usarlo en cada línea línea de una demostración, de principio a fin.

En cambio [texx]\therefore[/texx] es para una conclusión. No necesariamente estás conectando la última proposición con la que sigue (la final en este caso), sino que estás indicando que de acuerdo a todo lo anterior concluyes un resultado.

Así que, según lo veo yo, el símbolo [texx]\therefore[/texx] no es un conectivo lógico, sino que es sólo una abreviación de lo que se entiende con la frase "por lo tanto".
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manooooh
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« Respuesta #2 : 04/12/2018, 12:52:03 am »

Hola mathtruco

Gracias por tu respuesta.

El símbolo [texx]\Rightarrow[/texx] conecta una proposición con otra, por eso es correcto usarlo en cada línea línea de una demostración, de principio a fin.

Bien, en eso estamos de acuerdo.

En cambio [texx]\therefore[/texx] es para una conclusión. No necesariamente estás conectando la última proposición con la que sigue (la final en este caso), sino que estás indicando que de acuerdo a todo lo anterior concluyes un resultado.

Ajá, interesante. Me había olvidado mencionar, y gracias a vos, que el [texx]\therefore[/texx] se utiliza a menudo en razonamientos, donde tenemos un conjunto de premisas y uno de conclusión. En estos casos se lo utiliza al final de la validez del razonamiento, para indicar si es válido o no.

Respecto a la frase, no la entiendo. ¿Cómo que "necesariamente estás conectando la última con la final"? Una demostración tiene hipótesis y tesis, yo me refiero que antes de deducir lógicamente la tesis a partir de las hipótesis deberíamos poner un [texx]\therefore[/texx] en vez de [texx]\implies[/texx], por lo que comentás. Pero este es el único caso. ¿En qué demostración hemos visto que se utilice más de un [texx]\therefore[/texx]?

Así que, según lo veo yo, el símbolo [texx]\therefore[/texx] no es un conectivo lógico, sino que es sólo una abreviación de lo que se entiende con la frase "por lo tanto".

¡Gracias! Esa pregunta para compartir me gusta. Yo creo que sí es un conectivo lógico, porque conecta dos proposiciones lógicas. Aunque claro, no podemos armar una tabla de verdad de [texx]\therefore[/texx] porque como que suena raro, aunque si dijimos que "[texx]\therefore\;\subseteq\;\Longrightarrow[/texx]" luego creo que se podría armar la tabla de verdad :¿eh?:.

Saludos
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« Respuesta #3 : 04/12/2018, 12:59:26 am »

En estos casos se lo utiliza al final de la validez del razonamiento, para indicar si es válido o no.

Te encuentro la razón que sirve para decidir si el resultado es verdadero o falso, así que sí un conectivo lógico.

A lo que voy es que el [texx]\Rightarrow[/texx] indica que la proposición a su izquierda implica la proposición a su derecha. No indica que todas las líneas antes implican la conclusión, aunque informalmente alguien puede usarlo así.

En cambio, se usa el [texx]\therefore[/texx] para indicar que con todo lo anterior (que pueden ser muchas líneas) se obtiene el resultado.

Yo creo que [texx]\therefore[/texx] es informal, perfecto para la pizarra, el cuaderno o quizás algún apunte, pero en textos formales me parece que no aparece, o al menos se prefiere escribir direcamente "por lo tanto" antes que usarlo.

Toma esto sólo como una opinión, seguro alguien más experto en lógica puede explicarlo más formalmente.
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« Respuesta #4 : 04/12/2018, 01:09:22 am »

Hola

Te encuentro la razón que sirve para decidir si el resultado es verdadero o falso, así que sí un conectivo lógico.

Pero si es un conectivo más, debería tener una tabla de verdad asociada.

Imaginemos que [texx]\Longrightarrow[/texx] es equivalente a [texx]\therefore[/texx], por tanto sus tablas de verdad coinciden:

[texx]\begin{array}{ccccc}
\begin{array}{cc|c}p&q&p\color{red}\implies\color{black}q\\\hline\mathrm V&\mathrm V&\mathrm V\\\mathrm V&\mathrm F&\mathrm F\\\mathrm F&\mathrm V&\mathrm V\\\mathrm F&\mathrm F&\mathrm V\end{array}&&\equiv&&\begin{array}{cc|c}p&q&p\color{red}\therefore\color{black}q\\\hline\mathrm V&\mathrm V&\mathrm V\\\mathrm V&\mathrm F&\mathrm F\\\mathrm F&\mathrm V&\mathrm V\\\mathrm F&\mathrm F&\mathrm V\end{array}
\end{array}[/texx]

pero nunca he visto algo así.

A lo que voy es que el [texx]\Rightarrow[/texx] indica que la proposición a su izquierda implica la proposición a su derecha. No indica que todas las líneas antes implican la conclusión, aunque informalmente alguien puede usarlo así.

En cambio, se usa el [texx]\therefore[/texx] para indicar que con todo lo anterior (que pueden ser muchas líneas) se obtiene el resultado.

Wow, nunca lo había pensado así. Así que el [texx]\Longrightarrow[/texx] no indica que todas las anteriores proposiciones previas a la hipótesis [texx]p[/texx] impliquen su tesis [texx]q[/texx]. Me lo guardo.

Yo creo que [texx]\therefore[/texx] es informal, perfecto para la pizarra, el cuaderno o quizás algún apunte, pero en textos formales me parece que no aparece, o al menos se prefiere escribir direcamente "por lo tanto" antes que usarlo.

Exacto, cuando andamos cortos de tiempo es mucho mejor escribir [texx]\therefore[/texx]. También llevás razón en que los matemáticos (incluso los más grandes) hacen uso de la palabra directamente. ¿Por qué será no? Uno que quiere economizar con símbolos y termina escribiendo...

Saludos
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #5 : 04/12/2018, 06:44:50 am »

Estoy interesado (muy interesado) sobre el símbolo "Por tanto" [texx]\therefore[/texx]

Si bien es un símbolo que nadie lo quiere usar (seamos sinceros), yo lo quiero.

No es cierto que nadie lo quiera usar, sólo que muchos usamos [texx]\vdash[/texx] en su lugar. No tengo datos estadísticos, pero diría que es el más habitual en los libros de lógica serios.

No puedo encontrar mucha información sobre cuándo utilizarlo, pero yo lo hago única y exclusivamente en el último paso de una demostración matemática (también informalmente, cuando hay que ahorrar tiempo de escritura). ¿Es correcto?

Digo que nadie quiere utilizarlo porque el argumento es "¿Para qué usar algo distinto cuando puedes poner [texx]\implies[/texx]?", y tienen razón, ya que me parece que [texx]\implies[/texx] y [texx]\therefore[/texx] en el último paso de una demostración, ambas formas son válidas, pero al poner este último la demostración queda "completa"... Por eso lo uso.

En una demostración expresada en un lenguaje natural, como las que vienen en todos los libros serios de matemáticas que no traten específicamente de cuestiones lógicas, puedes usar lo que quieras y como quieras con tal de que no haya duda de lo que quieres decir. Otra cosa es el uso técnico de [texx]\therefore[/texx] o [texx]\vdash[/texx] en el contexto de la lógica formal rigurosa.

¿Es [texx]\therefore[/texx] un conectivo lógico? ¿Por qué?

No, no lo es. Es algo completamente distinto que requiere una notación distinta a la de cualquier conectivo lógico.

¿Podría afirmarse que "Por tanto" es equivalente al conectivo "Si... entonces"? ¿O mas bien el primero es más "abarcativo" que el segundo?[/color]

No, no son equivalentes. No tiene nada que ver uno con el otro, por lo que tampoco se puede decir que uno sea un caso particular del otro.

¿Es un símbolo primitivo de la Lógica?

Es un signo metamatemático, no un signo de un lenguaje formal, como lo son los conectores lógicos. Para entender la diferencia, te sugiero que leas este cuento de Lewis Carroll:

http://analyticadelsur.com.ar/lo-que-la-tortuga-le-dijo-a-aquiles/

Puedes saltarte el párrafo que hay al principio de la página, que no es del Carroll. El cuento empieza donde dice: Aquiles había dado alcance a la Tortuga...

Si la tortuga pone en apuros al pobre Aquiles es precisamente porque éste no distingue entre [texx]\vdash[/texx] y [texx]\rightarrow[/texx]. El resultado de ello es que no es capaz de concluir ningún razonamiento, por elemental que sea.
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mathtruco
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« Respuesta #6 : 04/12/2018, 05:10:39 pm »

Cuando leo respuestas como las de Carlos, me asombro de mi ignorancia  :avergonzado:

Gracias por la aclaración.
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #7 : 04/12/2018, 06:26:19 pm »

Cuando leo respuestas como las de Carlos, me asombro de mi ignorancia  :avergonzado:

Todos ignoramos el 99% de lo que podríamos saber. Lo importante es compartir el 1% conocido y tratar de ampliarlo.

Gracias por la aclaración.

En realidad he eludido deliberadamente las preguntas principales de manooooh para usar el cuento de Carroll como base para entrar en ellas, cuando lo haya leído, pues me parece que ilustra muy bien la diferencia sutil, pero esencial, entre ambos signos.
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manooooh
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« Respuesta #8 : 04/12/2018, 07:16:44 pm »

Hola Carlos

Gracias por citar una fuente de nacionalidad argentina.

Pensé que el cuento trataba del mítico "Empiezo antes, llevo más velocidad por mi condición física y a cada paso que doy es la mitad de lo que me falta, al cabo de un tiempo infinito, llego a la meta", pero parece que esto es una versión posterior, luego de que se planteara esta polémica por el infinito en acto y en potencia.

Parece que el cuento termina diciendo que Aquiles le pide a la Tortuga que escriba en su libreta infinitas proposiciones con el fin de que cada nueva proposición sea consecuencia de la anterior, para así validar la tesis como verdadera. Pero a falta de tiempo infinito, esto nunca lo va a lograr, no habrá alfabeto infinito que contenga la etiqueta de todas las proposiciones que escriban.

Esto supongo que debe ocurrir por el comentario (ya guardado por parte mía) de mathtruco:

A lo que voy es que el [texx]\Rightarrow[/texx] indica que la proposición a su izquierda implica la proposición a su derecha. No indica que todas las líneas antes implican la conclusión, aunque informalmente alguien puede usarlo así.

En cambio, se usa el [texx]\therefore[/texx] para indicar que con todo lo anterior (que pueden ser muchas líneas) se obtiene el resultado.

Aquiles y la Tortuga nunca concluían lo que querían, siempre acaban con la última proposición sin tener en cuenta las otras. Esta es precisamente la ¿única? diferencia entre [texx]\Longrightarrow[/texx] y [texx]\therefore[/texx], ¿correcto?

Si esto es así, vaya que es importante usar el símbolo. Cuando terminamos una demostración siempre escribimos "Por lo tanto..." en vez de "Entonces...". Esto es habitual incluso en los enunciados de los problemas: "Sean... ENTONCES...". Jamás dice "Sean... POR LO TANTO..." porque sería un absurdo, al todavía no haberse demostrado nada.



Dicho esto,

No es cierto que nadie lo quiera usar, sólo que muchos usamos [texx]\vdash[/texx] en su lugar. No tengo datos estadísticos, pero diría que es el más habitual en los libros de lógica serios.

Por algún motivo muchos de ustedes no quieren usar [texx]\therefore[/texx]. Esto demuestra claramente que le tienen desprecio (justificado). Seamos sinceros.

En una demostración expresada en un lenguaje natural, como las que vienen en todos los libros serios de matemáticas que no traten específicamente de cuestiones lógicas, puedes usar lo que quieras y como quieras con tal de que no haya duda de lo que quieres decir. Otra cosa es el uso técnico de [texx]\therefore[/texx] o [texx]\vdash[/texx] en el contexto de la lógica formal rigurosa.

Pregunto casi como una afirmación, ¿entonces da exactamente lo mismo escribir "Por tanto"/"Por lo tanto" que [texx]\therefore[/texx]?

Cabe destacar que usar uno u otro (de ser iguales en importancia) modifica el formato de cómo se escribe una demostración. La única diferencia que creo notar es que si queremos usar palabras, estas estarán alineadas a la izquierda, en lo posible fuera de un contexto con símbolos matemáticos. En cambio, si se prefiere usar [texx]\therefore[/texx] este símbolo deberá estar centrado, puramente con símbolos matemáticos a su alrededor.

¿Es [texx]\therefore[/texx] un conectivo lógico? ¿Por qué?

No, no lo es. Es algo completamente distinto que requiere una notación distinta a la de cualquier conectivo lógico.

¿Por qué?

¿Podría afirmarse que "Por tanto" es equivalente al conectivo "Si... entonces"? ¿O mas bien el primero es más "abarcativo" que el segundo?

No, no son equivalentes. No tiene nada que ver uno con el otro, por lo que tampoco se puede decir que uno sea un caso particular del otro.

El fin es el mismo. Muchas personas utilizan muy a menudo el conectivo lógico (*) [texx]\Longrightarrow[/texx] para concluir una demostración (mayormente en las clases universitarias, he tenido un profesor que escribía TODO con los tres puntitos y otro completamente distinto que jamás lo escribía, y usaba la flechita) y algunas otras [texx]\therefore[/texx]. El fin común que tienen ambos es "terminar una demostración". Pero claro, si hilamos fino podría suceder "Lo que la tortuga le dijo a Aquiles"...

Es un signo metamatemático, no un signo de un lenguaje formal, como lo son los conectores lógicos. (...)

Me interesa eso. ¿Podrías explicar un poco más, por favor?

Googleando "metamathematical sign" lo único bueno que sale es "Meaning of symbols [texx]\vdash[/texx] and [texx]\models[/texx]". Parece que no hay mucha bibliografía al respecto.

Saludos



(*) Veo que a veces escribís "conectivo lógico" como "conector lógico". ¿Son ambas formas iguales, con el mismo significado? ¿Cuál me recomendás usar?
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« Respuesta #9 : 04/12/2018, 08:20:04 pm »

Esto supongo que debe ocurrir por el comentario (ya guardado por parte mía) de mathtruco:

A lo que voy es que el [texx]\Rightarrow[/texx] indica que la proposición a su izquierda implica la proposición a su derecha. No indica que todas las líneas antes implican la conclusión, aunque informalmente alguien puede usarlo así.

En cambio, se usa el [texx]\therefore[/texx] para indicar que con todo lo anterior (que pueden ser muchas líneas) se obtiene el resultado.

Aquiles y la Tortuga nunca concluían lo que querían, siempre acaban con la última proposición sin tener en cuenta las otras. Esta es precisamente la ¿única? diferencia entre [texx]\Longrightarrow[/texx] y [texx]\therefore[/texx], ¿correcto?

No es cuestión de si es la última o no. Lo que Aquiles intenta que la tortuga acepte es que si tienes [texx]A[/texx] y [texx]A\rightarrow Z[/texx], entonces puedes afirmar [texx]Z[/texx]. Eso, formalmente se expresa así:

(1) [texx]A, A\rightarrow Z\vdash Z[/texx]

Y significa lo dicho, que si tienes [texx]A[/texx] y [texx]A\rightarrow Z[/texx], entonces puedes afirmar [texx]Z[/texx] sin necesidad de ningún paso adicional. Sin embargo, muy maliciosamente, la tortuga engaña a Aquiles y le hace creer que lo que Aquiles propone es esto otro:

(2) [texx]A\land (A\rightarrow Z)\rightarrow Z[/texx].

En este punto, Aquiles debería protestar y decirle a la tortuga: No, no es eso lo que quiero decir, yo lo que afirmo es (1), está usted confundiendo [texx]\rightarrow[/texx] con [texx]\vdash[/texx], y es fundamental que entienda la diferencia.

Desde el momento en que Aquiles acepta ingenuamente escribir (2) en la libreta en lugar de (1), que es lo que debería escribir, ya ha perdido, porque (2) no es más que una fórmula más con la que no puede hacerse otra cosa sino tomarla como premisa de un razonamiento que pretende llegar hasta [texx]Z[/texx], pero que en realidad no hace más que alejarlos de la conclusión.

(2) es una fórmula de un lenguaje formal, una verdad lógica, mientras que (1) no es una formula de ese mismo lenguaje formal, sino una afirmación metamatemática, lo que se llama una regla de inferencia, una regla que nos dice que de las dos premisas es lícito deducir la conclusión. No puedes confundir las reglas de inferencia como (1) con fórmulas como (2) porque sólo con fórmulas no puedes llegar a ninguna parte. Necesitas reglas que digan qué puede hacerse con las fórmulas y qué no. Y si tratas de expresar esas reglas como fórmulas, es como si tratas de aprender chino con un libro escrito íntegramente en chino y sin dibujos. Es imposible. Las leyes de la lógica no pueden expresarse mediante fórmulas lógicas, porque las leyes de la lógica son las instrucciones para manejar las fórmulas, y no se puede hacer nada con fórmulas sin instrucciones, o con instrucciones codificadas en las propias fórmulas, porque entonces necesitaríamos instrucciones para interpretar las instrucciones codificadas en las fórmulas, y la tortuga nos llevaría a codificar también esas instrucciones como fórmulas, lo que nos llevaría a necesitar instrucciones para entender las instrucciones, etc.

En resumen, la diferencia entre [texx]\rightarrow[/texx] y [texx]\vdash[/texx] es que lo primero es un signo para construir fórmulas lógicas (un signo de un lenguaje formal) y lo segundo es un signo metamatemático para expresar que es correcto pasar de unas fórmulas a otras. No es necestario que lo que vaya detrás del [texx]\vdash[/texx] sea la conclusión final de un razonamiento. Lo importante es que [texx]\vdash[/texx] significa que "tienes derecho a escribir lo que viene luego sin entrar en tortuguismos".

Si esto es así, vaya que es importante usar el símbolo. Cuando terminamos una demostración siempre escribimos "Por lo tanto..." en vez de "Entonces...". Esto es habitual incluso en los enunciados de los problemas: "Sean... ENTONCES...". Jamás dice "Sean... POR LO TANTO..." porque sería un absurdo, al todavía no haberse demostrado nada.

Insisto que no es cuestión de si acabamos o no. [texx]\vdash[/texx] significa "tienes derecho a escribir lo que sigue sin que nadie te exija más argumentos", mientras que [texx]\rightarrow[/texx] simplemente es una conexión lógica entre dos fórmulas. Nada que ver.

No es cierto que nadie lo quiera usar, sólo que muchos usamos [texx]\vdash[/texx] en su lugar. No tengo datos estadísticos, pero diría que es el más habitual en los libros de lógica serios.

Por algún motivo mucho de ustedes no quieren usar [texx]\therefore[/texx]. Esto demuestra claramente que le tienen desprecio (justificado). Seamos sinceros.

Pero eso es como decir que los ingleses desprecian el número cinco porque nunca escriben cinco, sino que escriben five. Si existen las notaciones alternativas y equivalentes [texx]\therefore[/texx] y [texx]\vdash[/texx], optar por una u otra es una cuestión estética. Una cosa es despreciar algo y no hablar de ello y otra muy distinta elegir el signo que usamos para hablar de ello entre varias alternativas equivalentes.

Pregunto casi como una afirmación, ¿entonces da exactamente lo mismo escribir "Por tanto"/"Por lo tanto" que [texx]\therefore[/texx]?

Sí, aunque se considera de mal gusto usar chirimbolitos, no sólo [texx]\therefore[/texx] sino cualquier otro [texx]\forall[/texx], [texx]\land[/texx], [texx]\lor[/texx], etc. en una demostración salvo que realmente sea necesario por algún motivo. Si lees cualquier manual de estilo de escritura matemática, o si hojeas cualquier libro de matemáticas serio que no trate de lógica matemática o de algo muy estrechamente relacionado con ella, nunca veras esa clase de patitas de mosca. Usarlos sin una buena justificación se considera una pedantería, y lo cierto es que no contribuyen a aclarar nada, al contrario, codificar las ideas sólo contribuye a dificultar la comprensión.

Cabe destacar que usar uno u otro (de ser iguales en importancia) modifica el formato de cómo se escribe una demostración. La única diferencia que creo notar es que si queremos usar palabras, estas estarán alineadas a la izquierda, fuera de un contexto con símbolos matemáticos. En cambio, si se prefiere usar [texx]\therefore[/texx] este símbolo deberá estar centrado, puramente con símbolos matemáticos a su alrededor.

No sé en qué demostraciones estás pensando, pero el estándar de cualquier libro de matemáticas que no esté dedicado específicamente a la lógica es que las demostraciones se escriben en el mejor inglés, o español, o chino, que uno sea capaz de escribir, restringiendo la notación matemática a aquellas expresiones que realmente se entienden mejor con tal notación, como [texx]3x^2+1[/texx], que se entiende mejor que "tres equis al cuadrado más uno". Eso excluye a todas las patitas de mosca lógicas, pues las lenguas naturales están muy bien equipadas para expresar relaciones lógicas, no así relaciones numéricas y de otra índole.

¿Es [texx]\therefore[/texx] un conectivo lógico? ¿Por qué?

No, no lo es. Es algo completamente distinto que requiere una notación distinta a la de cualquier conectivo lógico.

¿Por qué?

Por lo que te estoy explicando en este mensaje: porque uno indica que algo es una regla de inferencia entre fórmulas, algo que es lícito escribir después de haber escrito lo dicho antes, mientras que el otro es un conector que permite construir fórmulas.

El fin es el mismo. Muchas personas utilizan muy a menudo el conectivo lógico (*) [texx]\Longrightarrow[/texx] para concluir una demostración (mayormente en las clases universitarias, he tenido un profesor que escribía TODO con los tres puntitos y otro completamente distinto que jamás lo escribía, y usaba la flechita). El fin común que tienen ambos es "terminar una demostración". Pero claro, si hilamos fino podría suceder "Lo que la tortuga de dijo a Aquiles"...

Eso ya son usos coloquiales que poco tienen que ver con las sutilezas de las que estamos hablando aquí. Es como si alguien adopta la costumbre de escribir un cuadradito al final de una prueba, o de poner QED, etc. Eso sólo son florituras con más o menos gracia, pero a las que no tiene sentido buscar un significado profundo.

Es un signo metamatemático, no un signo de un lenguaje formal, como lo son los conectores lógicos. (...)

Me interesa eso. ¿Podrías explicar un poco más, por favor?

Los signos del lenguaje matemático son las variables y [texx]\lnot, \rightarrow, \lor, \land, \leftrightarrow, \forall, \exists, =, \in[/texx] más los que puedes ir definiendo a partir de ellos, como [texx]\subset, \cup, \cap[/texx], etc. Ninguno de ellos es [texx]\vdash[/texx]. Éste es un signo que se usa para explicar cuándo una fórmula construida con los signos precedentes es consecuencia de otras construidas igualmente con dichos signos.

Si dices: "de los axiomas de Peano se deduce que la suma es conmutativa". Eso no es una afirmación que puedas escribir en el lenguaje de la aritmética. Es una afirmación que dice que de ciertas afirmaciones aritméticas se deduce otra afirmación aritmética, pero ella en sí no es una afirmación aritmética. Las afirmaciones aritméticas se escriben con signos lógicos y los signos "más", "por", etc., mientras que la afirmación anterior se formalizaría con [texx]\vdash[/texx], poniendo delante los axiomas de Peano (fórmulas aritméticas) y detrás la fórmula que expresa la conmutatividad de la suma (otra fórmula aritmética), pero [texx]\vdash[/texx] no es ni un signo lógico ni un signo aritmético ni nada parecido. Es un signo metalógico.

Googleando "metamathematical sign" lo único bueno que sale es "Meaning of symbols [texx]\vdash[/texx] and [texx]\models[/texx]". Parece que no hay mucha bibliografía al respecto.

[texx]\vdash[/texx] lo verás definido y usado en cualquier libro de lógica formal. Su definición es la que te he dicho:

[texx]\alpha_1,\ldots, \alpha_n\vdash\alpha[/texx]

significa que es posible deducir [texx]\alpha[/texx] de las fórmulas precedentes.

Mientras que [texx]\vDash[/texx] lo verás definido y usado en cualquier libro de teoría de modelos. Significa que [texx]\alpha[/texx] es verdadero en cualquier modelo en el que sean verdaderas las fórmulas precedentes.

(*) Veo que a veces escribís "conectivo lógico" como "conector lógico". ¿Son ambas formas iguales, con el mismo significado? ¿Cuál me recomendás usar?

Pues no sé. Yo uso "conector" porque es algo que conecta, mientras que "conectivo" es un adjetivo que parece presuponer un antecedente implícito, como "signo conectivo". Creo que las dos formas son razonables.
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« Respuesta #10 : 05/12/2018, 05:58:58 am »


Hola, Manooooh. De la única manera que puedo participar en este hilo es preguntando (ya que, me sugieres que participe en el otro hilo del Latex).

No tengo ni idea del significado de muchos símbolos; a veces sí que he leído lo que quieren decir algunos, pero se me olvida, porque no los uso; como ésos que ha explicado Carlos.

Éstos vienen y bastantes más vienen en mi editor:

[texx]\doteqdot
 [/texx]

[texx]\risingdotseq
 [/texx]

[texx]\fallingdotseq
 [/texx]

[texx]\because
 [/texx]

[texx]\between
 [/texx]

[texx]\curlyeqprec
 [/texx]

[texx]\Vvdash
 [/texx]

[texx]\Bumpeq
 [/texx]

[texx]\bumpeq
 [/texx]

[texx]\triangleq
 [/texx]

[texx]\bowtie
 [/texx]

(es como chino)

De la mayoría no tengo ni la menor idea y otros no los recuerdo. Tampoco es que tenga especial curiosidad, porque no los voy a usar en mi vida, seguramente; pero, ya que estamos, aquí los pongo por si me puedes decir los que tú conozcas (que si no quieres perder el tiempo tampoco pasa nada, es por participar, por preguntar algo :sonrisa: ).

Una curiosdidad fuera del contexto matemático

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Saludos.
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« Respuesta #11 : 05/12/2018, 12:07:52 pm »

Éstos vienen y bastantes más vienen en mi editor:

[texx]\doteqdot
 [/texx]

[texx]\risingdotseq
 [/texx]

[texx]\fallingdotseq
 [/texx]

[texx]\because
 [/texx]

[texx]\between
 [/texx]

[texx]\curlyeqprec
 [/texx]

[texx]\Vvdash
 [/texx]

[texx]\Bumpeq
 [/texx]

[texx]\bumpeq
 [/texx]

[texx]\triangleq
 [/texx]

[texx]\bowtie
 [/texx]

(es como chino)

Yo, personalmente, nunca he tratado con ninguno de ellos, y no sabría asociarles ningún significado.
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« Respuesta #12 : 05/12/2018, 12:22:39 pm »

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Yo, personalmente, nunca he tratado con ninguno de ellos, y no sabría asociarles ningún significado.

Muchas gracias, Carlos. Entonces supongo que no me pierdo nada demasiado importante.

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manooooh
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« Respuesta #13 : 05/12/2018, 10:20:36 pm »

Hola, gracias, muy interesante y poco puedo procesar en un tiempo razonable de ¿una, dos horas? tal caudal de información :risa:

Lo que Aquiles intenta que la tortuga acepte es que si tienes [texx]A[/texx] y [texx]A\rightarrow Z[/texx], entonces puedes afirmar [texx]Z[/texx]. Eso, formalmente se expresa así:

(1) [texx]A, A\rightarrow Z\vdash Z[/texx]

De acuerdo, el modus ponens.

Carlos, ¿de todo lo anterior se deduce que estás de acuerdo con la proposición de mathtruco?:

El símbolo [texx]\Rightarrow[/texx] conecta una proposición con otra, por eso es correcto usarlo en cada línea línea de una demostración, de principio a fin.

En cambio [texx]\therefore[/texx] es para una conclusión. No necesariamente estás conectando la última proposición con la que sigue (la final en este caso), sino que estás indicando que de acuerdo a todo lo anterior concluyes un resultado.

Así que, según lo veo yo, el símbolo [texx]\therefore[/texx] no es un conectivo lógico, sino que es sólo una abreviación de lo que se entiende con la frase "por lo tanto".

Los signos del lenguaje matemático son las variables y [texx]\lnot, \rightarrow, \lor, \land, \leftrightarrow, \forall, \exists, =, \in[/texx] más los que puedes ir definiendo a partir de ellos, como [texx]\subset, \cup, \cap[/texx], etc. Ninguno de ellos es [texx]\vdash[/texx]. Éste es un signo que se usa para explicar cuándo una fórmula construida con los signos precedentes es consecuencia de otras construidas igualmente con dichos signos.

¿Por qué a las nueve "cosas" se las llama variables? ¿No es que la lógica es consistente, perdurará por el resto de los siglos y es válida en cualquier parte del universo? ¿Por qué no se las llama "constantes"? ¿O por qué no simplemente "símbolos"?

Éstos vienen y bastantes más vienen en mi editor:

Spoiler: Símbolos (click para mostrar u ocultar)

(es como chino)

Yo, personalmente, nunca he tratado con ninguno de ellos, y no sabría asociarles ningún significado.

Menos que menos. Lo único conocido que creí haber visto fue el primer "[texx]\doteqdot[/texx]" símbolo de la lista con uno que vi en la guía de Cálculo de varias variables que dispongo, pero me los confundí con [texx]\doteq[/texx], que viene a significar, según ese texto, "Igual por definición. Por ejemplo, [texx]\bar n=\bar0,\breve n\doteq\bar n/\|\bar n\|[/texx]".
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pierrot
pabloN
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« Respuesta #14 : 05/12/2018, 10:39:20 pm »

Éstos vienen y bastantes más vienen en mi editor:

[texx]\doteqdot
 [/texx]

[texx]\risingdotseq
 [/texx]

[texx]\fallingdotseq
 [/texx]

[texx]\because
 [/texx]

[texx]\between
 [/texx]

[texx]\curlyeqprec
 [/texx]

[texx]\Vvdash
 [/texx]

[texx]\Bumpeq
 [/texx]

[texx]\bumpeq
 [/texx]

[texx]\triangleq
 [/texx]

[texx]\bowtie
 [/texx]

(es como chino)

Yo, personalmente, nunca he tratado con ninguno de ellos, y no sabría asociarles ningún significado.

El último (o sea, la moña [texx]\bowtie[/texx]) es el símbolo del join de dos tablas en el álgebra relacional.
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$_="loe  hnachaPkr erttes,urJ";$j=0;for($i=0;s/(.)(.{$j})$//;$i++){$_=$2.$_,$j+=1-$i%2,print$1}print
Carlos Ivorra
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« Respuesta #15 : 05/12/2018, 10:43:06 pm »

Carlos, ¿de todo lo anterior se deduce que estás de acuerdo con la proposición de mathtruco?:

El símbolo [texx]\Rightarrow[/texx] conecta una proposición con otra, por eso es correcto usarlo en cada línea línea de una demostración, de principio a fin.

En cambio [texx]\therefore[/texx] es para una conclusión. No necesariamente estás conectando la última proposición con la que sigue (la final en este caso), sino que estás indicando que de acuerdo a todo lo anterior concluyes un resultado.

Así que, según lo veo yo, el símbolo [texx]\therefore[/texx] no es un conectivo lógico, sino que es sólo una abreviación de lo que se entiende con la frase "por lo tanto".

Sí, así es.

Los signos del lenguaje matemático son las variables y [texx]\lnot, \rightarrow, \lor, \land, \leftrightarrow, \forall, \exists, =, \in[/texx] más los que puedes ir definiendo a partir de ellos, como [texx]\subset, \cup, \cap[/texx], etc. Ninguno de ellos es [texx]\vdash[/texx]. Éste es un signo que se usa para explicar cuándo una fórmula construida con los signos precedentes es consecuencia de otras construidas igualmente con dichos signos.

¿Por qué a las nueve "cosas" se las llama variables? ¿No es que la lógica es consistente, perdurará por el resto de los siglos y es válida en cualquier parte del universo? ¿Por qué no se las llama "constantes"? ¿O por qué no simplemente "símbolos"?

No has leído bien la frase. Digo que los signos son las variables y [además] los signos que enumero luego. Esos signos no son variables. Las variables son [texx]x, y, z, \alpha, \beta, \ldots[/texx]

"Símbolo" diría que es un abuso de traducción del inglés "symbol". Me parece mucho más apropiado "signo". Un símbolo es una bandera como representación de un país, una paloma como representación de la paz, etc. Un signo es un garabato.
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