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Autor Tema: Soluciones de una matriz AX=B y AX=N  (Leído 133 veces)
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alucard
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« : 03/12/2018, 10:46:15 am »

Hola tengo dudas con respecto a este tema, me dan los siguientes enunciados

1)

Si [texx]A\in R^{3x3}/ A\left[\begin{array}{ccc}{1}\\{2}\\{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{5}\\{6}\\{7}\end{array}\right]\quad A\left[\begin{array}{ccc}{3}\\{2}\\{1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{1}\\{2}\\{3}\end{array}\right][/texx]

Entonces la solución de

[texx]A^2\cdot X=\left[\begin{array}{ccc}{5}\\{6}\\{7}\end{array}\right][/texx]

es....

2) Sea

[texx]A\in R^{3x3}\quad B\in R^{3x1}/ A\left[\begin{array}{ccc}{1}\\{0}\\{0}\end{array}\right]=B\quad  A\left[\begin{array}{ccc}{1}\\{-1}\\{3}\end{array}\right]=B\quad A\left[\begin{array}{ccc}{2}\\{1}\\{2}\end{array}\right]=B[/texx]

Entonces las coordenadas  de [texx]AX=B[/texx] son....

Básicamente no recuerdo bien como operar con los espacios solución de matrices del tipo AX=B y AX=N, ¿se suman o se restan las mismas? me pueden orientar por favor

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delmar
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« Respuesta #1 : 03/12/2018, 03:23:39 pm »

Hola

1) La primera expresión, utilizando la segunda expresión se convierte en :

[texx]A \ \left[\begin{array}{ccc}{1}\\{2}\\{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{5}\\{6}\\{7}\end{array}\right]\Rightarrow{A \ (A \ \left[\begin{array}{ccc}{3}\\{2}\\{1}\end{array}\right]) \ =\left[\begin{array}{ccc}{5}\\{6}\\{7}\end{array}\right]}\Rightarrow{A^2 \ \left[\begin{array}{ccc}{3}\\{2}\\{1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{5}\\{6}\\{7}\end{array}\right]}[/texx]

Obviamente [texx]X=\left[\begin{array}{ccc}{3}\\{2}\\{1}\end{array}\right][/texx] es una solución de :

[texx]A^2 \ X =\left[\begin{array}{ccc}{5}\\{6}\\{7}\end{array}\right] [/texx]

2)

Hay que analizar para los diversos casos [texx]a)B=0 \ \ b)B\neq{0}[/texx]

Saludos
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #2 : 03/12/2018, 05:15:46 pm »

Hola

[texx]A\in R^{3x3}\quad B\in R^{3x1}/ A\left[\begin{array}{ccc}{1}\\{0}\\{0}\end{array}\right]=B\quad  A\left[\begin{array}{ccc}{1}\\{-1}\\{3}\end{array}\right]=B\quad A\left[\begin{array}{ccc}{2}\\{1}\\{2}\end{array}\right]=B[/texx]

Entonces las coordenadas  de [texx]AX=B[/texx] son....

Pero la pregunta me parece poco clara. ¿Las coordenadas de quien exactamente?.

Saludos.
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Bobby Fischer
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« Respuesta #3 : 03/12/2018, 05:32:12 pm »

Hola,

my two cents:

[texx]A\vec{v}=\vec{b}[/texx]

[texx]\vec{v}=\alpha_1 \cdot \vec{v_1}+\alpha_2 \cdot \vec{v_2}+\alpha_3 \cdot \vec{v_3}[/texx]

Los vectores [texx]\vec{v_1}[/texx], [texx]\vec{v_2}[/texx], [texx]\vec{v_3}[/texx] son base de [texx]\mathbb{R}^3[/texx].

[texx]A(\alpha_1 \cdot \vec{v_1}+\alpha_2 \cdot \vec{v_2}+\alpha_3 \cdot \vec{v_3})=\vec{b}[/texx]

[texx]\alpha_1 A\vec{v_1}+\alpha_2 A\vec{v_2}+\alpha_3 A\vec{v_3}=\vec{b}[/texx]

[texx](\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3)\vec{b}=\vec{b}[/texx]

Si [texx]\vec{b}=\vec{0}[/texx], no hay restricciones sobre [texx]\alpha_1[/texx], [texx]\alpha_2[/texx], [texx]\alpha_3[/texx].

Si [texx]\vec{b}\neq \vec{0}[/texx], [texx]\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=1[/texx]:

Las coordenadas de [texx]\vec{v}[/texx] que hacen que se cumpla [texx]A\vec{v}=\vec{b}[/texx] para la matriz del enunciado son [texx](1-\alpha_2-\alpha_3,\alpha_2,\alpha_3)[/texx]. Son coordenadas en base [texx]\mathbb{B}=\left\{\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}\right\}[/texx].

Los vectores solución son de la forma: [texx]\vec{v}=\left[\begin{array}{ccc}{1}\\{0}\\{0}\end{array}\right]+\alpha_2\left[\begin{array}{ccc}{0}\\{-1}\\{3}\end{array}\right]+\alpha_3\left[\begin{array}{ccc}{1}\\{1}\\{2}\end{array}\right][/texx], esta vez respecto a la base canónica, con [texx]\alpha_2, \alpha_3 \in \mathbb{R}[/texx].

Saludos.
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Fernando Revilla
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Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).


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« Respuesta #4 : 06/12/2018, 08:07:10 am »

Si [texx]A\in R^{3x3}/ A\left[\begin{array}{ccc}{1}\\{2}\\{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{5}\\{6}\\{7}\end{array}\right]\quad A\left[\begin{array}{ccc}{3}\\{2}\\{1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{1}\\{2}\\{3}\end{array}\right][/texx] Entonces la solución de  [texx]A^2\cdot X=\left[\begin{array}{ccc}{5}\\{6}\\{7}\end{array}\right][/texx] es....

El enunciado es algo difuso. Es claro como ya demostró delmar que siempre existe "una" solución de [texx]A^2X=\left[\begin{array}{ccc}{5}\\{6}\\{7}\end{array}\right].[/texx]
Ahora bien, pregunta por "la" solución con lo cual parecería que habría que demostrar que la solución es única. Si el rango de [texx]A[/texx] es tres entonces  [texx]A^2[/texx] es invertible y por tanto la unicidad queda garantizada. Faltaría estudiar entonces que ocurre si el rango de [texx]A[/texx] es menor que [texx]3[/texx].
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alucard
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« Respuesta #5 : 06/12/2018, 08:32:55 pm »

Gracias por sus respuestas y por el interés en mi ejercicio.

Respecto al enunciado , es todo lo que figura en la guía de problemas del cual lo copie 
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« Respuesta #6 : Hoy a las 12:46:52 am »

Solamente para dar un alcance : [texx]\left[\begin{array}{ccc}{5}\\{6}\\{7}\end{array}\right], \ \left[\begin{array}{ccc}{1}\\{2}\\{3}\end{array}\right][/texx] son linealmente independientes y son las componentes de elementos de la imagen de la transformación T asociada a la matriz A, esto implica que la dimensión de la imagen de T, es decir el rango r ha de ser [texx]r\geq{2}[/texx].

Considerando lo que dice Fernando Revilla la idea sería estudiar la unicidad cuando el rango [texx]r=2[/texx] lo cuál implica que la dimensión del núcleo es 1.

Saludos
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« Respuesta #7 : Hoy a las 07:15:22 am »

Hola,

Supongamos [texx]A=\left[
\begin{array}{c|c|c}
\! &  &  \!\\
\!\vec{v_1} & \vec{v_2} & \vec{v_3} \!\\
\! &  &  \!\\
\end{array}
\right][/texx];

Entonces [texx]A^2=\left[
\begin{array}{c|c|c}
\! &  &  \!\\
\!\vec{v_1} & \vec{v_2} & \vec{v_3} \!\\
\! &  &  \!\\
\end{array}
\right]\cdot \!\! \left[
\begin{array}{c|c|c}
\! &  &  \!\\
\!\vec{v_1} & \vec{v_2} & \vec{v_3} \!\\
\! &  &  \!\\
\end{array}
\right][/texx];

Por el enunciado, se tiene:

[texx]\left[
\begin{array}{c|c|c}
\! &  &  \!\\
\!\vec{v_1} & \vec{v_2} & \vec{v_3} \!\\
\! &  &  \!\\
\end{array}
\right]\!\! \left[\begin{array}{ccc}{}\\{\vec{l}}\\{}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{}\\{\vec{m}}\\{}\end{array}\right][/texx];

[texx]\left[
\begin{array}{c|c|c}
\! &  &  \!\\
\!\vec{v_1} & \vec{v_2} & \vec{v_3} \!\\
\! &  &  \!\\
\end{array}
\right]\!\! \left[\begin{array}{ccc}{}\\{\vec{r}}\\{}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{}\\{\vec{l}}\\{}\end{array}\right][/texx];

[texx]\begin{cases} l_1\cdot \vec{v_1}+l_2\cdot \vec{v_2}+l_3\cdot \vec{v_3}=\vec{m} \\ r_1\cdot \vec{v_1}+r_2\cdot \vec{v_2}+r_3\cdot \vec{v_3}=\vec{l} \end{cases}[/texx]

Al ser [texx]\vec{l}[/texx] y [texx]\vec{r}[/texx] linealmente independientes, al menos hay [texx]2[/texx] vectores linealmente independientes de: [texx]\{\vec{v_1},\vec{v_2},\vec{v_3}\}[/texx]

[texx]----------------------------------------------------------[/texx]

Si hay [texx]3[/texx] vectores linealmente independientes en [texx]\{\vec{v_1},\vec{v_2},\vec{v_3}\}[/texx], entonces:

[texx]rg(A^2)=3[/texx], luego [texx]A^2\vec{x}=\vec{b}[/texx] tiene solución única.

Si hay [texx]2[/texx] vectores linealmente independientes en [texx]\{\vec{v_1},\vec{v_2},\vec{v_3}\}[/texx], entonces:

[texx](rg(A^2)=1) \vee (rg(A^2)=2)[/texx]

[texx]A^2\vec{x}=\vec{b}[/texx] no tendría solución única en ambos casos, pero en el primero: [texx]dim(Null(A^2))=2[/texx] y en el segundo: [texx]dim(Null(A^2))=1[/texx].

[texx]----------------------------------------------------------[/texx]

Para [texx]A^2[/texx] del ejercicio, sin especificar nada más, se puede tener [texx]1\leq rg(A^2)\leq 3[/texx], por lo que la unicidad o la forma de la solución de [texx]A^2\vec{x}=\vec{b}[/texx] dependerán de que [texx]rg(A^2)=1[/texx], [texx]rg(A^2)=2[/texx] o de que [texx]rg(A^2)=3[/texx].

Saludos cordiales.
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