17/02/2020, 18:00:26 *
Bienvenido(a), Visitante. Por favor, ingresa o regístrate.
¿Perdiste tu email de activación?

Ingresar con nombre de usuario, contraseña y duración de la sesión
Noticias: Renovado el procedimiento de inserción de archivos GEOGEBRA en los mensajes.
 
 
Páginas: [1]   Ir Abajo
  Imprimir  
Autor Tema: Vector perpendicular del producto vectorial  (Leído 1610 veces)
0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.
DavidRG
Semi pleno
***

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 70



Ver Perfil
« : 01/12/2018, 21:59:19 »

Hola. Tengo una duda sobre por qué el producto vectorial es perpendicular al plano que forman los vectores y sobre su sentido.

Hasta ahora lo que he conseguido entender es

[texx]\vec{A}\times{\vec{B}}=\left |{\vec{A}}\right |\left |{\vec{B}}\right |sen(α)=\sqrt[ ]{\begin{bmatrix}{Aa}&{Ab}\\{Ba}&{Bb}\end{bmatrix}^2+\begin{bmatrix}{Aa}&{Ac}\\{Ba}&{Bc}\end{bmatrix}^2+\begin{bmatrix}{Ab}&{Ac}\\{Bb}&{Bc}\end{bmatrix}^2}[/texx]

(Siendo
[texx]\vec{A} = \left[\begin{array}{ccc}{Aa}&{Ab}&{Ac}\end{array}\right][/texx]
[texx]\vec{B}=\left[\begin{array}{ccc}{Ba}&{Bb}&{Bc}\end{array}\right][/texx]
)

Claramente se ve que con la raiz se puede hallar el valor(la magnitud) del producto vectorial de A y B calculando por pitágoras la magnitud de otro vector (siempre cuando sean los 3 perpendiculares y unitarios, como es el caso de i, j y k)

Entonces entiendo el que el vector cuya magnitud sea [texx]\vec{A}\times{\vec{B}}=\left |{\vec{A}}\right |\left |{\vec{B}}\right |sen(α)[/texx] esté dado por el determinante [texx] \begin{bmatrix}{i}&{j}&{k}\\{Aa}&{Ab}&{Ac}\\{Ba}&{Bb}&{Bc}\end{bmatrix}[/texx]

Pero no entiendo por qué el vector de este determinante es perpendicular al plano y su sentido es el mismo al del eje z respecto a los ejes x e y considerando x al vector A e y al vector B (No se me ha ocurrido mejor forma de explicarlo, lo siento)
Resumiendo, mi duda es, ¿por qué el producto vectorial es perpendicular al plano que forman los 2 vectores y su sentido es el que tiene y no el contrario?
En línea
delmar
Moderador Global
Pleno*
*

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
Perú Perú

Mensajes: 1.944


Ver Perfil
« Respuesta #1 : 02/12/2018, 00:38:08 »

Hola

Para demostrar que [texx]A \ X \ B[/texx] es perpendicular al plano determinado por [texx]A[/texx] y por [texx]B[/texx], demuestra que el producto interno del producto vectorial, con cada uno de ellos es cero. Es decir demuestra que [texx](A \ X \ B) \ \cdot{A}=0[/texx] y que [texx](A \ X \ B) \ \cdot{B}=0[/texx]


Saludos
En línea
DavidRG
Semi pleno
***

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 70



Ver Perfil
« Respuesta #2 : 02/12/2018, 08:43:54 »

Vale, la dirección la he entendido(solo me falta entender el sentido)

Siendo el vector C el formado por el producto vectorial, para que el producto escalar
[texx]Aa\cdot{}Ca+Ab\cdot{}Cb+Ac\cdot{}Cc[/texx]
     debe ser igual a 0

Para ello el producto escalar será

[texx]Aa\begin{bmatrix}{Ab}&{Ac}\\{Bb}&{Bc}\end{bmatrix}-Ab\begin{bmatrix}{Aa}&{Ac}\\{Ba}&{Bc}\end{bmatrix}+Ac\begin{bmatrix}{Aa}&{Ab}\\{Ba}&{Bb}\end{bmatrix}[/texx]


Ya que esto da [texx]\begin{bmatrix}{Aa}&{Ab}&{Ac}\\{Aa}&{Ab}&{Ac}\\{Ba}&{Bb}&{Bc}\end{bmatrix}=0[/texx]   (por tener dos filas iguales)

Y como el vector A ya está definido por Aa, Ab, Ac

El vector C estará definido por
[texx]\left\{{\begin{bmatrix}{Ab}&{Ac}\\{Bb}&{Bc}\end{bmatrix}, -\begin{bmatrix}{Aa}&{Ac}\\{Ba}&{Bc}\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}{Aa}&{Ab}\\{Ba}&{Bb}\end{bmatrix}}\right\}[/texx]

(La demostración de perpendicularidad con el vector B es análoga)

Solo me queda por entender por qué el sentido de C es el sentido que tiene y no el contrario
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Conectado Conectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 45.966


Ver Perfil
« Respuesta #3 : 03/12/2018, 07:34:54 »

Hola

Hasta ahora lo que he conseguido entender es

[texx]\vec{A}\times{\vec{B}}=\left |{\vec{A}}\right |\left |{\vec{B}}\right |sen(α)=\sqrt[ ]{\begin{bmatrix}{Aa}&{Ab}\\{Ba}&{Bb}\end{bmatrix}^2+\begin{bmatrix}{Aa}&{Ac}\\{Ba}&{Bc}\end{bmatrix}^2+\begin{bmatrix}{Ab}&{Ac}\\{Bb}&{Bc}\end{bmatrix}^2}[/texx]

Ahí te falta el módulo. Es decir:

[texx]\color{red}|\color{black}\vec{A}\times{\vec{B}}\color{red}|\color{black}=\left |{\vec{A}}\right |\left |{\vec{B}}\right |sen(α)=\sqrt[ ]{\begin{bmatrix}{Aa}&{Ab}\\{Ba}&{Bb}\end{bmatrix}^2+\begin{bmatrix}{Aa}&{Ac}\\{Ba}&{Bc}\end{bmatrix}^2+\begin{bmatrix}{Ab}&{Ac}\\{Bb}&{Bc}\end{bmatrix}^2}[/texx]

Cita
Resumiendo, mi duda es, ¿por qué el producto vectorial es perpendicular al plano que forman los 2 vectores y su sentido es el que tiene y no el contrario?

Por lo demás tengo ciertas dudas con el fondo de tu pregunta.

Me explico. En realidad el producto vectorial de dos vectores [texx]\vec A[/texx] y [texx]\vec B[/texx] se definie como:

- Si [texx]\vec A[/texx] y [texx]\vec  B[/texx] son paralelos, [texx]\vec A\times \vec B=\vec 0[/texx].
- Si no son paralelos, como el único vector que verifica tres condiciones:

-- Es perpendicular a [texx]\vec A[/texx] y [texx]\vec B[/texx].
-- Tiene módulo [texx]\|\vec A\|\|\vec B\||sin(\alpha)|[/texx]-
-- La base [texx]\{\vec A,\vec B,\vec A\times \vec B\}[/texx] tiene orientación positiva.

Es la tercera condición la que determina su sentido; y es importante tener en cuenta que la orientación de una base es un concepto relativo. Dos bases tienen la misma orientación si el determinante de la matriz de cambio de base es positivo; es decir tenemos un criterio para comparar orientaciones de dos bases.  Pero decidir a que llamamos orientación positiva y a que llamamos orientación negativa es arbitrario. El criterio usual es que la base canónica de [texx]\mathbb{R}^3[/texx] es la que tiene orientación positiva y a partir de ahí por comparación determinamos la orientación de cualquier base. Pero las matemáticas seguirían funcionando igual de bien si se hubiese decidido como criterio que la base canónica tuviese orientación negativa y entonces el producto vectorial se definiría con el sentido opuesto.

Una vez fijada esa definición y el criterio de que es la base canónica la que tiene orientación positiva se demuestra que la fórmula:

[texx]det\begin{bmatrix}{i}&{j}&{k}\\{Aa}&{Ab}&{Ac}\\{Ba}&{Bb}&{Bc}\end{bmatrix}[/texx]

nos devuelve precisamente un vector en las condiciones exigidas.

Saludos.
En línea
DavidRG
Semi pleno
***

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 70



Ver Perfil
« Respuesta #4 : 03/12/2018, 11:16:15 »

Hola, gracias por contestar


Dos bases tienen la misma orientación si el determinante de la matriz de cambio de base es positivo; es decir tenemos un criterio para comparar orientaciones de dos bases.
 

De aquí lo que no entiendo es qué es la matriz cambio de base y por qué si el determinante es positivo tienen la misma orientación

Una vez fijada esa definición y el criterio de que es la base canónica la que tiene orientación positiva se demuestra que la fórmula:

[texx]det\begin{bmatrix}{i}&{j}&{k}\\{Aa}&{Ab}&{Ac}\\{Ba}&{Bb}&{Bc}\end{bmatrix}[/texx]

nos devuelve precisamente un vector en las condiciones exigidas.

La duda que tengo entonces es cómo se demuestra que éste determinante nos devuelve el vector en el sentido que buscamos y no el contrario. (No se si tiene que ver con la matriz cambio de base).
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Conectado Conectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 45.966


Ver Perfil
« Respuesta #5 : 04/12/2018, 07:57:03 »

Hola

Dos bases tienen la misma orientación si el determinante de la matriz de cambio de base es positivo; es decir tenemos un criterio para comparar orientaciones de dos bases.
 

De aquí lo que no entiendo es qué es la matriz cambio de base y por qué si el determinante es positivo tienen la misma orientación

¡Es qué esa frase en rojo es la definición de orientación! Es el significado preciso de "tener la misma orientación". Es la formalización de la idea intuitiva o vaga de orientación.

¿Por qué se define así? ¿Cómo se motiva esa definición?. Pensemos en dos dimensiones. La idea intuitiva de orientación en el plano es dar un sentido a la medida de un ángulo. ¿Qué consideramos sentido positivo o cual negativo?. Una forma de fijar un sentido es dar un par ordenado de vectores no colineales [texx]\{u_1,u_2\}[/texx]; el sentido que están definiendo es "ir de [texx]u_1[/texx] a [texx]u_2[/texx] por el camino más corto".

Tienes tres ejemplos en el dibujo.



Visualmente identificamos que los dos pares con ángulo marcado en verde definen el mismo sentido de giro mientras que el tercer par, en rojo, define el sentido opuesto.

¿Pero cómo indentificamos este hecho sin dibujar, algebraicamente? Pues bien, puede verse que la matriz de cambio de base (la matriz que multiplicada por un par de vectores los transforma en el otro par) entre pares de vectores que definen el mismo sentido tiene determinante positivo; mientras que si tienen sentido opuesto se obtiene determinante negativo.

Esto tiene que ver también con el hecho de que las matrices de giro tienen determinante positivo: si giramos cualquier par de vectores ordenados no varía el sentido del ángulo que están definiendo; por contraste una matriz de una simetría respecto a una recta tiene determinante negativo y de hecho geométricamente uno puede ver que una simetría (reflejar en un espejo) cambia la orientación (las agujas del reloj girarían en sentido opuesto en el espejo).

Por resumir la idea: uno tiene una noción intuitiva de orientación; intenta buscar un criterio objetivo para formalizarla; los ejemplos muestran que el criterio del determinante funciona y se adopta por tanto como definición de tener la misma orientación.

Esta misma idea se extiende a dimensión [texx]3[/texx] (la interpretación geométrica es un poco más complicada: regla del sacacorchos, mano derecha) y a dimensión superior (la interpretación geométrica se hace ya inviable).

Por último, recalco una última observación. Todo eso que he descrito es un criterio para comparar orientaciones; el llamarle orientación positiva a una o a otra es cuestión de convenio; es decir en el dibujo, lo que sabemos es que los ángulos verdes tienen la misma orientación y el rojo opuesta. Llamarle  a la verde orientación positiva o negativa, es arbitrario. El convenio es considerar que la base canónica es la que define la orientación positiva (sentido opuesto al giro de las agujas del reloj) y si lo seguimos la verde sería la positiva; pero podría perfectamente haberse establecido el convenio contrario.

La duda que tengo entonces es cómo se demuestra que éste determinante nos devuelve el vector en el sentido que buscamos y no el contrario. (No se si tiene que ver con la matriz cambio de base).

Pues tienes que comprobar que con la fórmula propuesta para el producto vectorial:

[texx]A\times B=det\begin{bmatrix}{i}&{j}&{k}\\{Aa}&{Ab}&{Ac}\\{Ba}&{Bb}&{Bc}\end{bmatrix}[/texx]

se cumple que la tripleta [texx]\{A,B,A\times B\}[/texx] tiene la misma orientación que la base canónica. Dicho de otra manera que el determinante de la matriz formada por las coordenadas de [texx]A,B,A\times B[/texx] (en este orden) es positivo.

Pues bien, comprueba que ese determinante es precisamente el módulo del [texx]A\times B[/texx] al cuadrado y por tanto es positivo.

Saludos.

* angulosorientados.png (17.53 KB - descargado 152 veces.)
En línea
DavidRG
Semi pleno
***

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 70



Ver Perfil
« Respuesta #6 : 07/12/2018, 13:45:09 »

.

¿Pero cómo indentificamos este hecho sin dibujar, algebraicamente? Pues bien, puede verse que la matriz de cambio de base (la matriz que multiplicada por un par de vectores los transforma en el otro par) entre pares de vectores que definen el mismo sentido tiene determinante positivo; mientras que si tienen sentido opuesto se obtiene determinante negativo.

Esto tiene que ver también con el hecho de que las matrices de giro tienen determinante positivo: si giramos cualquier par de vectores ordenados no varía el sentido del ángulo que están definiendo; por contraste una matriz de una simetría respecto a una recta tiene determinante negativo y de hecho geométricamente uno puede ver que una simetría (reflejar en un espejo) cambia la orientación (las agujas del reloj girarían en sentido opuesto en el espejo).


Me he estado informando y ya comprendo lo que es la matriz cambio de base, pero ¿por qué tiene determinante positivo cuando ambas bases poseen la misma orientación?
También he visto que la matrices de rotación tienen determinante 1 y eso lleva a que el determinante de una base sea el  mismo tras ser rotado
([texx]\left |{A×B}\right |=\left |{A}\right |×\left |{B}\right |[/texx], y siendo A la matriz rotación el determinante de B no variará tras la rotación)

Sin embargo eso solo me asegura que el signo del determinante no cambie si se realizan rotaciones de los 3 ectores de la base a la vez.
Pero en el producto vectorial el angulo entre los 2 vectores dados no tiene por qué ser perpendicular.
Entonces lo que me falta saber es por qué la matriz cambio de base es positiva cuando ambas bases tienen la misma orientación
 
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Conectado Conectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 45.966


Ver Perfil
« Respuesta #7 : 10/12/2018, 06:51:41 »

Hola

Sin embargo eso solo me asegura que el signo del determinante no cambie si se realizan rotaciones de los 3 ectores de la base a la vez.
Pero en el producto vectorial el angulo entre los 2 vectores dados no tiene por qué ser perpendicular.
Entonces lo que me falta saber es por qué la matriz cambio de base es positiva cuando ambas bases tienen la misma orientación

¿Has leído con todo detalle mi anterior respuesta?. Fíjate que para responder a la pregunta en rojo, primero hay que fijar exactamente que entendemos por "tener la misma orientación". Lo que te he dicho precisamente en mi mensaje anterior es que la DEFINICIÓN de tener la misma orientación es precisamente que el determinante de la matriz de cambio de base sea positivo. Las definiciones no se demuestran. En todo caso se motivan, es decir, se da una idea de porque esa definición captura cierto concepto del cual teníamos una idea intutiva. Esa motivación te la he explicado en el caso de dimensión dos.

Entonces si después de reflexionar sobre todo esto no te satisface y todavía quieres una respuesta a la pregunta en rojo, debes de responder primero a esto con precisión. ¿Qué significa (para ti) que dos bases tengan la misma orientación?.

Saludos.
En línea
DavidRG
Semi pleno
***

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 70



Ver Perfil
« Respuesta #8 : 10/12/2018, 13:36:10 »

Hola

La DEFINICIÓN de tener la misma orientación es precisamente que el determinante de la matriz de cambio de base sea positivo. Las definiciones no se demuestran. En todo caso se motivan, es decir, se da una idea de porque esa definición captura cierto concepto del cual teníamos una idea intutiva. Esa motivación te la he explicado en el caso de dimensión dos.

Vale, entonces la definición la he entendido mal. Pensaba que esa definición estaba determinada por el razonamiento de la idea a partir de la interpretación geométrica.

¿Qué significa (para ti) que dos bases tengan la misma orientación?.

Yo pensaba que si dos bases tenían el mismo sentido(el de la regla de la mano derecha) , la matriz de cambio de base tiene determinante positivo


Me explico, si la definición de que dos bases tengan la misma orientación es que la matriz de cambio de base sea positiva, lo que no entiendo es por qué la matriz cambio de base positiva va a transformar la primera base en otra que tenga el mismo "sentido" y nunca el contrario (suponiendo que (en [texx]\mathbb{3}[/texx]) 2 bases tienen el mismo sentido si al colocar sus dos primeros vectores en un plano y el angulo menor entre el primer vector y el segundo vaya en el mismo sentido (horario o antihorario) el tercer vector se encuentra en el mismo semiespacio formado por el plano)

No se si me he explicado bien, me ha costado intentar expresarlo, pero básicamente es por qué en la interpretación geometrica que la matriz cambio de base sea positiva implica que al comparar 2 bases tengan el mismo sentido.
En línea
Luis Fuentes
el_manco
Administrador
Pleno*
*****

Karma: +0/-0
Conectado Conectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 45.966


Ver Perfil
« Respuesta #9 : 11/12/2018, 07:38:14 »

Hola

Me explico, si la definición de que dos bases tengan la misma orientación es que la matriz de cambio de base sea positiva, lo que no entiendo es por qué la matriz cambio de base positiva va a transformar la primera base en otra que tenga el mismo "sentido" y nunca el contrario (suponiendo que (en [texx]\mathbb{3}[/texx]) 2 bases tienen el mismo sentido si al colocar sus dos primeros vectores en un plano y el angulo menor entre el primer vector y el segundo vaya en el mismo sentido (horario o antihorario) el tercer vector se encuentra en el mismo semiespacio formado por el plano)

 A ver si esto te convence.

Supón que tienes tres vectores [texx]\{u_1,u_2,u_3\}[/texx] y sea [texx]\{e_1,e_2,e_3\}[/texx] la base canónica. Mediante un giro (cuya matriz asociada tiene determinante positivo) podemos suponer que [texx]u_1[/texx] tiene la misma dirección y sentido que [texx]e_1[/texx] y que el plano [texx]\{u_1,u_2\}[/texx] es el mismo que el [texx]\{e_1,e_2\}[/texx]. Supón que [texx]u_2[/texx] forma un ángulo [texx]\alpha[/texx] con [texx]e_1[/texx] medido en sentido antiohorario o lo que es lo mismo en sentido positivo si consideramos que se la base canónica la que determina el sentido positivo.

Entonces las coordenadas de los tres vectores [texx]\{u_1,u_2,u_3\}[/texx] en la base canónica serán:

[texx]u_1=(\|u_1\|,0,0)[/texx]
[texx]u_2=(\|u_2\|cos(\alpha),\|u_2\|sin(\alpha),0)[/texx]
[texx]u_3=(a,b,c)[/texx]

La matriz de cambio de base de [texx]\{u_1,u_2,u_3\}[/texx] a la canónica es:

[texx]\begin{pmatrix}\|u_1\|&\|u_2\|cos(\alpha)&a\\0&\|u_2\|sin(\alpha)&b\\0&0&c\\\end{pmatrix}[/texx]

Su determinante es:

[texx]\|u_1\|\|u_2\|sin(\alpha)c[/texx]

De manera que el signo depende del producto [texx]sin(\alpha)c[/texx].

- Es positivo si el ángulo que forman los dos primeros vectores es positivo y [texx]c[/texx] es positivo, es decir, y el tercer vector está "hacia arriba"o bien si el ángulo que forman los dos primeros vectores es negativo y [texx]c[/texx] es negativo, es decir, y el tercer vector está "hacia abajo".
- Es negativo en caso contrario.

Eso concuerda con la regla del sacacorchos, regla de la mano derecha o como le quieras llamar, es decir con la idea intuitiva de orientación de una base.

Saludos.
En línea
DavidRG
Semi pleno
***

Karma: +0/-0
Desconectado Desconectado

Sexo: Masculino
España España

Mensajes: 70



Ver Perfil
« Respuesta #10 : 25/12/2018, 11:49:42 »

Hola, por fin lo he entendido todo.
Muchas gracias a Luis Fuentes por todo el tiempo empleado.


Supón que tienes tres vectores [texx]\{u_1,u_2,u_3\}[/texx] y sea [texx]\{e_1,e_2,e_3\}[/texx] la base canónica. Mediante un giro (cuya matriz asociada tiene determinante positivo) podemos suponer que [texx]u_1[/texx] tiene la misma dirección y sentido que [texx]e_1[/texx] y que el plano [texx]\{u_1,u_2\}[/texx] es el mismo que el [texx]\{e_1,e_2\}[/texx]. Supón que [texx]u_2[/texx] forma un ángulo [texx]\alpha[/texx] con [texx]e_1[/texx] medido en sentido antiohorario o lo que es lo mismo en sentido positivo si consideramos que se la base canónica la que determina el sentido positivo.

Entonces las coordenadas de los tres vectores [texx]\{u_1,u_2,u_3\}[/texx] en la base canónica serán:

[texx]u_1=(\|u_1\|,0,0)[/texx]
[texx]u_2=(\|u_2\|cos(\alpha),\|u_2\|sin(\alpha),0)[/texx]
[texx]u_3=(a,b,c)[/texx]

La matriz de cambio de base de [texx]\{u_1,u_2,u_3\}[/texx] a la canónica es:

[texx]\begin{pmatrix}\|u_1\|&\|u_2\|cos(\alpha)&a\\0&\|u_2\|sin(\alpha)&b\\0&0&c\\\end{pmatrix}[/texx]

Su determinante es:

[texx]\|u_1\|\|u_2\|sin(\alpha)c[/texx]

De manera que el signo depende del producto [texx]sin(\alpha)c[/texx].

- Es positivo si el ángulo que forman los dos primeros vectores es positivo y [texx]c[/texx] es positivo, es decir, y el tercer vector está "hacia arriba"

Sabiendo que los giros no cambian el sentido de la base y su determinante es 1,podemos llegar al caso que propones de forma que u1 y u2 formen el ángulo menor medido en sentido antihorario.(Si formaran el mayor un giro de 180º sobre u1 lo convertiría en el menor). Ahí, la matriz cambio de base a la canónica tendra determinante positivo solo si la coordenada z de u3 es positiva, si no,el determinante sería negativo pero el sentido también.

Pero como la matriz de cambio de base del producto vectorial es siempre positiva,facil de comprobar

Pues tienes que comprobar que con la fórmula propuesta para el producto vectorial:

[texx]A\times B=det\begin{bmatrix}{i}&{j}&{k}\\{Aa}&{Ab}&{Ac}\\{Ba}&{Bb}&{Bc}\end{bmatrix}[/texx]

se cumple que la tripleta [texx]\{A,B,A\times B\}[/texx] tiene la misma orientación que la base canónica. Dicho de otra manera que el determinante de la matriz formada por las coordenadas de [texx]A,B,A\times B[/texx] (en este orden) es positivo.

Pues bien, comprueba que ese determinante es precisamente el módulo del [texx]A\times B[/texx] al cuadrado y por tanto es positivo.
la coordenada z también será positiva y el producto vectorial tendrá siempre el mismo sentido que la base canónica (regla de la mano derecha).



PD: Lo siento por tardar tanto en contestar,he estado ocupado y he pospuesto comprender esto hasta las vacaciones de Navidad.
En línea
Páginas: [1]   Ir Arriba
  Imprimir  
 
Ir a:  

Impulsado por MySQL Impulsado por PHP Powered by SMF 1.1.4 | SMF © 2006, Simple Machines LLC XHTML 1.0 válido! CSS válido!