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Autor Tema: Función medible finita c.s.  (Leído 291 veces)
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josefa
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« : 29/11/2018, 11:07:12 am »

Alguien puede ayudarme a resolver esto: sea [texx]f[/texx] una función medible, tal que [texx]|f|[/texx] es finita c.s. entonces para todo [texx]\epsilon[/texx] existen [texx]M[/texx] tal que [texx]\left\{{x:f(x)\geq{M}}\right\}[/texx] tiene medida menor que [texx]\epsilon[/texx]
Me parece que es cierto pero no sé cómo empezar...
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 29/11/2018, 04:16:09 pm »

Hola

Alguien puede ayudarme a resolver esto: sea [texx]f[/texx] una función medible, tal que [texx]|f|[/texx] es finita c.s. entonces para todo [texx]\epsilon[/texx] existen [texx]M[/texx] tal que [texx]\left\{{x:f(x)\geq{M}}\right\}[/texx] tiene medida menor que [texx]\epsilon[/texx]
Me parece que es cierto pero no sé cómo empezar...

Por reducción al absurdo. Supón que existe [texx]\epsilon>0[/texx] tal que para todo [texx]M[/texx] se cumple [texx] \mu\{x|f(x)\geq M\}\geq \epsilon[/texx]. En particular para [texx]n\in \mathbb{N}[/texx]:

[texx]A_n=\{x|f(x)\geq n\}[/texx] cumple [texx]\mu(A_n)\geq \epsilon[/texx]

Pero [texx]\{A_n\}[/texx] es una sucesión decreciente de conjuntos medibles.

[texx]A=\displaystyle\bigcap A_n=\{x|f(x)=\infty\}[/texx]

y [texx]mu(A)=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\mu(A_n)\geq \epsilon[/texx] lo cual contradice que [texx]|f|[/texx] sea finita c.s.

Saludos.
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