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Autor Tema: Demostraciones: Abiertos y cerrados  (Leído 73 veces)
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SoPhie Bach
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« : 28/11/2018, 11:26:07 am »

Hola!! estoy necesitando ayuda con topología. (Estudiando en soledad para examen final porque ninguno de mis compañeros de cursada va a rendirla en esta fecha)

Son demostraciones que propone el libro como práctica... quisiera ayuda con estas tres, para ver como se organizan y usarlas como guía poder hacer yo sola otras más

1) Demostrar que un subconjunto de un espacio métrico es abierto si y solo si es unión de bolas abiertas. (esta ya la encaré, pero no sé si la hice bien)


2)Demostrar que todo cerrado en [texx]\mathbb{R}[/texx] es intersección de una familia numerable de abiertos. (Creería que hay que hacerlo tomando en cuenta que el complemento de un abierto es un cerrado.... pero me enredo con la sintaxis y me pierdo)

3) Sea el espacio métrico de las sucesiones reales acotadas [texx](l^\infty, d_\infty)[/texx] probar que el conjunto de las sucesiones reales acotadas convergentes a 0 es un conjunto cerrado. (Socorro!!!!)

La primera la estoy haciendo así:

[texx]\Rightarrow{}[/texx] "A es abierto si es unión de bolas abiertas"
Sea A un conjunto abierto
[texx]\forall{}a\in{A},\exists{}B(a,r_a)\subseteq{}A[/texx]
tal que [texx]a\in{}B(a,r_a)\subseteq{}A[/texx]
luego
[texx]A\subseteq{}\displaystyle\bigcup_{a{\in}A}{B(a,r_a)}\subseteq{}\displaystyle\bigcup_{a{\in}A}{A}\subseteq{}A[/texx]

[texx]\Leftarrow{}[/texx] "La unión de bolas abiertas es un abierto"

Sea [texx]\{B_i\}, i\in{}I[/texx]una familia de bolas abiertas de X, si [texx]x\in\displaystyle\bigcup_{i{\in}I}{B_i}\Rightarrow{}x\in{}B_{i_0}[/texx] para algún [texx]{i_0}\in{}I[/texx]
Como [texx]B_{i_0}[/texx] es abierta, [texx]\exists{}r_0>0[/texx] tal que [texx]B(x, x_0) \subset{}A_{i_0}\subset{}\displaystyle\bigcup_{i{\in}I}{A_i}[/texx] y por tanto este último conjunto es abierto puesto que contiene una bola centrada en cada uno de sus puntos.

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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 28/11/2018, 12:50:55 pm »

Hola

Hola!! estoy necesitando ayuda con topología. (Estudiando en soledad para examen final porque ninguno de mis compañeros de cursada va a rendirla en esta fecha)

Son demostraciones que propone el libro como práctica... quisiera ayuda con estas tres, para ver como se organizan y usarlas como guía poder hacer yo sola otras más

1) Demostrar que un subconjunto de un espacio métrico es abierto si y solo si es unión de bolas abiertas. (esta ya la encaré, pero no sé si la hice bien)


2)Demostrar que todo cerrado en [texx]\mathbb{R}[/texx] es intersección de una familia numerable de abiertos. (Creería que hay que hacerlo tomando en cuenta que el complemento de un abierto es un cerrado.... pero me enredo con la sintaxis y me pierdo)

3) Sea el espacio métrico de las sucesiones reales acotadas [texx](l^\infty, d_\infty)[/texx] probar que el conjunto de las sucesiones reales acotadas convergentes a 0 es un conjunto cerrado. (Socorro!!!!)

La primera la estoy haciendo así:

[texx]\Rightarrow{}[/texx] "A es abierto si es unión de bolas abiertas"
Sea A un conjunto abierto
[texx]\forall{}a\in{A},\exists{}B(a,r_a)\subseteq{}A[/texx]
tal que [texx]a\in{}B(a,r_a)\subseteq{}A[/texx]
luego
[texx]A\subseteq{}\displaystyle\bigcup_{a{\in}A}{B(a,r_a)}\subseteq{}\displaystyle\bigcup_{a{\in}A}{A}\subseteq{}A[/texx]

Bien.

Cita
[texx]\Leftarrow{}[/texx] "La unión de bolas abiertas es un abierto"

Sea [texx]\{B_i\}, i\in{}I[/texx]una familia de bolas abiertas de X, si [texx]x\in\displaystyle\bigcup_{i{\in}I}{B_i}\Rightarrow{}x\in{}B_{i_0}[/texx] para algún [texx]{i_0}\in{}I[/texx]
Como [texx]B_{i_0}[/texx] es abierta, [texx]\exists{}r_0>0[/texx] tal que [texx]B(x, x_0) \subset{}A_{i_0}\subset{}\displaystyle\bigcup_{i{\in}I}{A_i}[/texx] y por tanto este último conjunto es abierto puesto que contiene una bola centrada en cada uno de sus puntos.

Bien, supuesto que ya tienes probada que las bolas abiertas son abiertas.

En principio se definen las bolas abiertas como [texx]B(x,r)=\{y\in X|d(x,y)<r\}[/texx] y los abiertos como conjuntos [texx]U[/texx] verificando que para todo [texx]x\in U[/texx] existe [texx]r>0[/texx] con [texx]B(x,r)\subset U[/texx]. Entonces dado [texx]y\in B(x,r)[/texx], tomando [texx]r'=r-d(x,y)[/texx], se cumple que [texx]B(y,r')\subset B(x,r)[/texx].

Cita
2)Demostrar que todo cerrado en [texx]\mathbb{R}[/texx] es intersección de una familia numerable de abiertos. (Creería que hay que hacerlo tomando en cuenta que el complemento de un abierto es un cerrado.... pero me enredo con la sintaxis y me pierdo)

Dado [texx]F[/texx] cerrado toma, [texx]U_n=\displaystyle\bigcup_{y\in F}B(y,1/n)[/texx] abiertos. Comprueba que [texx]F=\displaystyle\bigcap U_n[/texx]. Para la inclusión [texx]\displaystyle\bigcap U_n\subset F[/texx], observa que si [texx]x\not\in F[/texx] por ser [texx]F[/texx] cerrado existe [texx]n_0[/texx] tal que [texx]B(x,1/n_0)\cap F=\emptyset[/texx] y por tanto [texx]U_{n_0}\cap F=\emptyset[/texx].

Cita
3) Sea el espacio métrico de las sucesiones reales acotadas [texx](l^\infty, d_\infty)[/texx] probar que el conjunto de las sucesiones reales acotadas convergentes a 0 es un conjunto cerrado. (Socorro!!!!)

Tienes que probar que dada una sucesión convergente con la norma del supremo de sucesiones convergentes a cero, el límite es también convergente a cero.

Es decir sea [texx]\{x_k(n)\}_{k\in \mathbb{N}}[/texx] con [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}x_k(n)=0[/texx] y [texx](a(n))[/texx] acotada tal que:

[texx]\displaystyle\lim_{k \to{+}\infty}{}\|x_k(n)-a(n)\|_\infty=0[/texx]  (1)

Entonces hay que probar que:

[texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}a(n)=0[/texx] (2)

Ahora (1) significa que para todo [texx]\epsilon>0[/texx] existe un [texx]k_0[/texx] tal que si [texx]k\geq k_0[/texx] entonces:

[texx]|x_k(n)-a(n)|<\epsilon[/texx] para todo [texx]n\in \mathbb{N}[/texx]

Por otra parte como [texx]\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{} x_{k_0}(n)=0[/texx] existe un [texx]n_0[/texx] tal que si [texx]n\geq n_0[/texx] entonces:

[texx]|x_{k_0}(n)|<\epsilon[/texx]

Entonces si [texx]n\geq n_0[/texx]:

[texx]|a(n)|=|a(n)-x_{k_0}(n)+x_{k_0}(n)|<|x_{k_0}(n)-a(n)|+|x_{k_0}(n)|<2\epsilon[/texx]

Saludos.

P.D. Estoy escribiendo las sucesiones de números reales como funciones [texx]\mathbb{N}\to \mathbb{R}[/texx].
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DanielSantosPol
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« Respuesta #2 : 05/12/2018, 10:03:34 pm »

Hola señor Luis Fuentes


Cita
2)Demostrar que todo cerrado en [texx]\mathbb{R}[/texx] es intersección de una familia numerable de abiertos. (Creería que hay que hacerlo tomando en cuenta que el complemento de un abierto es un cerrado.... pero me enredo con la sintaxis y me pierdo)

Dado [texx]F[/texx] cerrado toma, [texx]U_n=\displaystyle\bigcup_{y\in F}B(y,1/n)[/texx] abiertos. Comprueba que [texx]F=\displaystyle\bigcap U_n[/texx]. Para la inclusión [texx]\displaystyle\bigcap U_n\subset F[/texx], observa que si [texx]x\not\in F[/texx] por ser [texx]F[/texx] cerrado existe [texx]n_0[/texx] tal que [texx]B(x,1/n_0)\cap F=\emptyset[/texx] y por tanto [texx]U_{n_0}\cap F=\emptyset[/texx].


No entiendo esta demostración.... puede explicarme, por favor? A mi también me dijeron que había que hacerla por complementos
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