Hola
Como: [texx]z^4=x^4+y^4[/texx] , sabemos que: [texx]z=x+y-d[/texx] ; para un “ [texx]d[/texx] “ entero menor que el menor de los valores de [texx]x,y[/texx] . Como “ [texx]x[/texx] “ es par como mínimo de 4, “ [texx]d[/texx] “ será también par como mínimo de 4. De esta manera siempre podré decir que para: [texx]z=y+e[/texx] , ( [texx]e=x-d[/texx] ) : [texx]z=s+t[/texx] ; [texx]y=s-t[/texx] [texx]\wedge[/texx] [texx]e=2t[/texx] ; para [texx]s,t[/texx] coprimos y “ [texx]t[/texx] “ par. Puesto que: [texx]s+t=s-t+2t[/texx] .
Esto es confuso y de hecho no creo que puedas asegurar en general que [texx]t[/texx] sea par, podría ser [texx]s[/texx].
Tu tomas:
[texx]s=\dfrac{z+y}{2},\qquad t=\dfrac{z-y}{2}[/texx]
De [texx]z^4=x^4+y^4[/texx] trabajando módulo [texx]4[/texx] lo que sabemos es que [texx]z=y=1[/texx] ó [texx]3[/texx] mod 4 en cuyo caso [texx]z-y[/texx] es múltiplo de [texx]4[/texx] y por tanto [texx]t[/texx] es par o bien [texx]z=1[/texx] e [texx]y=3[/texx] mod [texx]4[/texx] (o al revés) y así [texx]z+y[/texx] es múltipo de [texx]4[/texx] y por tanto [texx]s[/texx] es par.
Sea como sea para terminar tu razonamiento basta que alguno de los dos sea par y la demostración propuesta sigue funcionando.
Saludos.