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Autor Tema: Conjetura de Beal  (Leído 47974 veces)
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Gonzo
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« Respuesta #320 : 29/11/2018, 02:50:49 pm »

Hola.

De acuerdo con las indicaciones.

Luis, de [texx] a^x+b^y=(a+B)^x [/texx] descomponer [texx] b^y[/texx] hasta obtener la suma tal que [texx] b^y = d +B^x[/texx]. Es decir:

[texx] a^x+b^y= a^x + d +B^x [/texx]. Entonces aplicar el triangulo de Pascal, tal que d es igual a una de las siguientes ecuaciones:

[texx] (a+b)^3-a^3-b^3 = 3 a b (a + b) [/texx].
[texx] (a+b)^4-a^4-b^4 = 2 a b (2 a^2 + 3 a b + 2 b^2) = 2·a·b ((2(a^2+b^2)+3ab) [/texx].
[texx] (a+b)^5-a^5-b^5 = 5 a b (a + b) (a^2 + a b + b^2) [/texx].
[texx] (a+b)^7-a^7-b^7 = 7 a b (a + b) (a^2 + a b + b^2)^2 [/texx].

Entonces:

[texx] b^y = d +B^x; d = b^y-B^x[/texx]. Si por ejemplo x es igual a cinco.

[texx] d = b^y-B^x = 5 a b (a + b) (a^2 + a b + b^2) [/texx].

Si [texx] b^y [/texx] es múltiplo de B, y q es el factor común. Consecuentemente:

[texx] d = b^y-B^x = q^x() = 5 a b (a + b) (a^2 + a b + b^2) [/texx].

b pose el factor común q, pero si a no lo posee, entonces la suma de a y b tampoco.

Consecuentemente [texx] (a^2 + a b + b^2) [/texx] no posee el factor común.

¿cierto?

Atentamente.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #321 : 29/11/2018, 04:04:50 pm »

Hola

Luis, de [texx] a^x+b^y=(a+B)^x [/texx] descomponer [texx] b^y[/texx] hasta obtener la suma tal que [texx] b^y = d +B^x[/texx]. Es decir:

[texx] a^x+b^y= a^x + d +B^x [/texx]. Entonces aplicar el triangulo de Pascal, tal que d es igual a una de las siguientes ecuaciones:

[texx] (a+b)^3-a^3-b^3 = 3 a b (a + b) [/texx].
[texx] (a+b)^4-a^4-b^4 = 2 a b (2 a^2 + 3 a b + 2 b^2) = 2·a·b ((2(a^2+b^2)+3ab) [/texx].
[texx] (a+b)^5-a^5-b^5 = 5 a b (a + b) (a^2 + a b + b^2) [/texx].
[texx] (a+b)^7-a^7-b^7 = 7 a b (a + b) (a^2 + a b + b^2)^2 [/texx].

Aquí sólo apuntar que para que [texx](a+b)^n-a^n-b^n[/texx] se factorice a través de [texx](a+b)[/texx], [texx]n[/texx] tiene que ser impar.

Cita
Entonces:

[texx] b^y = d +B^x; d = b^y-B^x[/texx]. Si por ejemplo x es igual a cinco.

[texx] d = b^y-B^x = 5 a b (a + b) (a^2 + a b + b^2) [/texx].

Si, pero ojo no confundas las [texx]b[/texx] mayúscua con la minúscula. Tienes:

[texx]b^y-B^x=(a+B)^x-a^x-B^x=5aB(a+B)(a^2+aB+B^2)[/texx]

Cita
Si [texx] b^y [/texx] es múltiplo de B, y q es el factor común. Consecuentemente:

[texx] d = b^y-B^x = q^x() = 5 a b (a + b) (a^2 + a b + b^2) [/texx].

b pose el factor común q, pero si a no lo posee, entonces la suma de a y b tampoco.

Siempre que hables de factor común indica claramente común a que términos (al menos dos); te refieres a que [texx]q[/texx] es un factor primo común a [texx]b[/texx] y [texx]B[/texx]. que sabemos que existe porque [texx]b^y[/texx] es múltipo de [texx]B[/texx].

Entonces es cierto que [texx]b^y-B^x[/texx] es múltiplo de [texx]q^x[/texx] dado que [texx]y>x[/texx].

Y es correcto que si [texx]q[/texx] no divide a [texx]a[/texx] tampoco divide a [texx]a+b[/texx].

Cita
Consecuentemente [texx] (a^2 + a b + b^2) [/texx] no posee el factor común.

Correcto.

Saludos.
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« Respuesta #322 : 04/12/2018, 02:15:34 pm »

Hola.

[texx] a, b [/texx] son impares.
De [texx] a^x+b^y=(a+B)^x [/texx] descomponer [texx] b^y[/texx] hasta obtener la suma tal que [texx] b^y = d +B^x[/texx]. Es decir:

[texx] a^x+b^y= a^x + d +B^x [/texx]. Entonces aplicar el triangulo de Pascal, tal que d es igual a una de las siguientes ecuaciones:

[texx] (a+b)^3-a^3-b^3 = 3 a b (a + b) [/texx].
[texx] (a+b)^4-a^4-b^4 = 2 a b (2 a^2 + 3 a b + 2 b^2) = 2·a·b ((2(a^2+b^2)+3ab) [/texx].
[texx] (a+b)^5-a^5-b^5 = 5 a b (a + b) (a^2 + a b + b^2) [/texx].
[texx] (a+b)^7-a^7-b^7 = 7 a b (a + b) (a^2 + a b + b^2)^2 [/texx].
[texx] (a+b)^8-a^8-b^8 = 2 a b (4 a^6 + 14 a^5 b + 28 a^4 b^2 + 35 a^3 b^3 + 28 a^2 b^4 + 14 a b^5 + 4 b^6) [/texx].

Entonces:

[texx] b^y = d +B^x; d = b^y-B^x[/texx]. Si por ejemplo x es igual a 8.

[texx] d = b^y-B^x=2 a B (4 a^6 + 14 a^5 B + 28 a^4 B^2 + 35 a^3 B^3 + 28 a^2 B^4 + 14 a B^5 + 4 B^6)  [/texx].

Si [texx] b^y [/texx] es múltiplo de B, y q es el factor común. Compuesto por uno o más números primos. Consecuentemente:

[texx] d = b^y-B^x = q^ñ(q-1) = 2 a B (4 a^6 + 14 a^5 B + 28 a^4 B^2 + 35 a^3 B^3 + 28 a^2 B^4 + 14 a B^5 + 4 B^6) [/texx].

En [texx] 2 a B (4 a^6 + 14 a^5 B + 28 a^4 B^2 + 35 a^3 B^3 + 28 a^2 B^4 + 14 a B^5 + 4 B^6) [/texx] necesito [texx] q^ñ [/texx]. B tiene el factor común q. Pero no es suficiente para obtener [texx] q^ñ [/texx]. Suponiendo que [texx] a [/texx] no tiene factor común con B, entonces a tampoco tendrá un factor con q. En consecuencia [texx](4 a^6 + 14 a^5 B + 28 a^4 B^2 + 35 a^3 B^3 + 28 a^2 B^4 + 14 a B^5 + 4 B^6) [/texx] de esta suma tampoco obtenemos el q que neceito para obtener [texx] q^ñ [/texx]. ¿Cierto?

Entonces es necesario que a y B tengan un factor común para obtener [texx] q^ñ [/texx]. ¿Cierto?

Atentamente.
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« Respuesta #323 : 04/12/2018, 02:56:58 pm »

Hola

[texx] d = b^y-B^x = \color{red}q^ñ(q-1)\color{black} = 2 a B (4 a^6 + 14 a^5 B + 28 a^4 B^2 + 35 a^3 B^3 + 28 a^2 B^4 + 14 a B^5 + 4 B^6) [/texx].

¿Dé donde te sacas que la descomposición tiene que ser necesariamente [texx]q^ñ\cdot (q-1)[/texx]?. Ese factor [texx]q-1[/texx] no tiene porque ser así. Simplemente es otro factor coprimo con [texx]q[/texx].

Cita
En [texx] 2 a B (4 a^6 + 14 a^5 B + 28 a^4 B^2 + 35 a^3 B^3 + 28 a^2 B^4 + 14 a B^5 + 4 B^6) [/texx] necesito [texx] q^ñ [/texx]. B tiene el factor común q. Pero no es suficiente para obtener [texx] q^ñ [/texx]. Suponiendo que [texx] a [/texx] no tiene factor común con B, entonces a tampoco tendrá un factor con q. En consecuencia [texx](4 a^6 + 14 a^5 B + 28 a^4 B^2 + 35 a^3 B^3 + 28 a^2 B^4 + 14 a B^5 + 4 B^6) [/texx] de esta suma tampoco obtenemos el q que neceito para obtener [texx] q^ñ [/texx]. ¿Cierto?

No. Ahí lo único que deduces es que [texx]B[/texx] es necesariamente una potencia [texx]y[/texx]-ésima de un número que es factor de [texx]b^y[/texx]. Es decir [texx]B=q^y[/texx]. Es decir [texx]b^y=q^yp^y=bp^y[/texx]. De manera que tu expresión simplificada queda:

[texx]p^y-B^{x-1}= 2 a (4 a^6 + 14 a^5 B + 28 a^4 B^2 + 35 a^3 B^3 + 28 a^2 B^4 + 14 a B^5 + 4 B^6) [/texx].

y no puedes deducir que necesariamente [texx]a[/texx] y [texx]B[/texx] tengan factor común.

Saludos.
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