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Autor Tema: Conjuntos de Baire tienen arbitrariamente finos refinamientos.  (Leído 469 veces)
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lindtaylor
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« : 17 Noviembre, 2018, 20:52 »

Definicion (Conjunto de Baire)  Sea  [texx]X[/texx] espacio compacto y Hausdorff. Los conjuntos de Baire es la menor [texx]\sigma[/texx]-algebra conteniendo a todos los compactos [texx]G_{\delta}[/texx]'s.

Definición (Partición) Dada un algebra , [texx]\mathcal{U}[/texx], una patición asociada a [texx]\mathcal{U}[/texx], es un subconjunto finito [texx]\mathcal{P}\subset \mathcal{U}[/texx] tal que

(i) Todos los conjunto [texx]\mathcal{P}[/texx] no son vacíos.
(ii)[texx] P_1,\ P_2\in\mathcal{P}\Rightarrow P_1\cap P_2=\emptyset[/texx]
(iii) [texx]\bigcup_{P\in\mathcal{P}}P=X[/texx]

Dada una cubierta abierta [texx]\left\{U_a\right\}_{a\in I}[/texx] de un espacio compacto y Hausdorff [texx]X[/texx], pruebe que se puede encontrar una partición [texx] \left\{P_j\right\}_{j=1}^{n}[/texx] en conjuntos de Baire, tal que cada [texx]P_j[/texx] "lies in some single" [texx]U_{a}[/texx]. (lo puse en inglés pues temo traducirlo mal)
Pista: Primero encuentre una cubierta abierta de conjuntos de Baire [texx] \left\{V_l\right\}_{l=1}^{m}[/texx], tal que cada [texx]V_l[/texx] pertenece a algún [texx]U_a[/texx].

Este problema es del libro A comprehensive course in analysis  del autor Barry Simon. Página 239.

No sé como probarlo. Tengo esto:
Sea [texx]\left\{U_{a}\right\}_{a\in I}[/texx] cubierta abierta de [texx]X[/texx].[texx] X[/texx] es compacto, así existen [texx]1,\ldots, m[/texx] tal que [texx]\left\{U_{l}\right\}_{l=1}^{m}[/texx] es una subcubierta finita de [texx]X[/texx].

Ahora, [texx]X=\bigcup_{l=1}^{m} U_l[/texx], y [texx]\bigcup_{l=1}^{m} U_l=\bigcup_{l=1}^{m} U_l\setminus(U_1\cup \ldots, \cup U_{l-1})[/texx] con [texx]U_{l-1}=\emptyset[/texx]. Ahora la unión es disjunta.

Se define [texx]P_l=U_l\setminus (U_1\cup \ldots \cup U_{l-1}).[/texx] ¿Esta partición funcionaría?...
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lindtaylor
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« Respuesta #1 : 18 Noviembre, 2018, 20:38 »

[texx](U_a)[/texx] cubierta abierta de X.
Para cada [texx]x[/texx], existe [texx]a_x[/texx] tal que [texx]x\in U_{a_(x)}[/texx]. [texx]{x}[/texx] es cerrado y  [texx]U_{a_x}[/texx] abierto.
Por el lema de Urysohn existe [texx]f_x:X\to [0,1][/texx] continua tal que
[texx]{f_x}(y)=1[/texx] sobre [texx]\left\{x\right\} y {f_x}(y)=0[/texx] sobre [texx]X\setminus U_{a_x}[/texx]
Entonces [texx]\left\{y:f_x(y)>0\right\}\subset U_{a_x}[/texx]

Ahora, [texx]\left\{y:{f_x}(y)>0\right\}[/texx] es un conjunto de Baire. (esto me gustaría si pudieran decirme si está correcto)
Entonces [texx]V_x=\left\{y:{f_x}(y)>0\right\}[/texx] es una cubierta abierta de conjutnos de Baire en X.
Como [texx]X[/texx] es compacto, exissten [texx]x_1,\ldots,x_m[/texx] tal que
[texx]X=\bigcup_{l=1}^{m} V_l[/texx] con [texx] V_l=V_{x_l}[/texx]

Se define [texx]P_l=V_{l}\setminus (V_1 \cup\ldots \cup V_{l-1})[/texx] [texx]V_{0}=\emptyset[/texx]
¿ Esta la partición serviría?
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Luis Fuentes
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« Respuesta #2 : 19 Noviembre, 2018, 11:51 »

Hola

[texx](U_a)[/texx] cubierta abierta de X.
Para cada [texx]x[/texx], existe [texx]a_x[/texx] tal que [texx]x\in U_{a_(x)}[/texx]. [texx]{x}[/texx] es cerrado y  [texx]U_{a_x}[/texx] abierto.
Por el lema de Urysohn existe [texx]f_x:X\to [0,1][/texx] continua tal que
[texx]{f_x}(y)=1[/texx] sobre [texx]\left\{x\right\} y {f_x}(y)=0[/texx] sobre [texx]X\setminus U_{a_x}[/texx]
Entonces [texx]\left\{y:f_x(y)>0\right\}\subset U_{a_x}[/texx]

Ahora, [texx]\left\{y:{f_x}(y)>0\right\}[/texx] es un conjunto de Baire. (esto me gustaría si pudieran decirme si está correcto)
Entonces [texx]V_x=\left\{y:{f_x}(y)>0\right\}[/texx] es una cubierta abierta de conjutnos de Baire en X.
Como [texx]X[/texx] es compacto, exissten [texx]x_1,\ldots,x_m[/texx] tal que
[texx]X=\bigcup_{l=1}^{m} V_l[/texx] con [texx] V_l=V_{x_l}[/texx]

Se define [texx]P_l=V_{l}\setminus (V_1 \cup\ldots \cup V_{l-1})[/texx] [texx]V_{0}=\emptyset[/texx]
¿ Esta la partición serviría?

Si, creo que si.

Saludos.
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