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Autor Tema: Encontrar una serie de Fourier  (Leído 570 veces)
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joaquinalzamora
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« : 17/11/2018, 12:48:42 pm »

Hola quería consultarles como encuentro esta serie de Fourier.

          [texx]f(t)=\begin{cases} -1 & \text{si}& -2<t<0\\1& \text{si}& 0<t<2\end{cases}[/texx]

Muchas gracias.
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Fernando Revilla
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Las matemáticas son demasiado humanas (Brouwer).


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« Respuesta #1 : 17/11/2018, 03:27:34 pm »

hola. quería consultarles como encuentro esta serie de Fourier
f(t)={ -1 ; si -2<t<0  y   1; si 0<t<2
muchas gracias

El problema es rutinario conociendo la teoría previa ¿qué dificultades has encontrado?

P.D. Por favor, cuida la ortografía y dedica unos minutos al tutorial de LaTeX del foro.
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Matiasexe
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« Respuesta #2 : 17/11/2018, 05:06:22 pm »

Hola  Joaquín, antes  que  nada  deberás  recordar  la  forma  que  tiene  la  serie  de  Fourier:
[texx]f(t)= \displaystyle\frac{a_0}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left [ a_n cos(\displaystyle\frac{nπt}{L}) + b_n sen(\displaystyle\frac{nπt}{L}) \right ]       
 [/texx]
Cita
Donde [texx]L[/texx] es el extremo del intervalo, [texx]a_o , a_n , b_n[/texx]  son los coeficientes de Fourier que toman los valores:

[texx]a_0=\displaystyle\frac{1}{L}\displaystyle\int_{-L}^{L} f(t)\, dt   ,   a_n=\displaystyle\frac{1}{L}\displaystyle\int_{-L}^{L} f(t)cos(\displaystyle\frac{nπt}{L})\,dt 
 , b_n=\displaystyle\frac{1}{L}\displaystyle\int_{-L}^{L} f(t)sen(\displaystyle\frac{nπt}{L})\,dt[/texx]
Ahora tenemos que comenzar a calcular estos coeficientes.
Como tenemos una función por dos partes, debemos calcular dos integrales en cada formula y unirlas mediante una suma:

[texx]a_0=\displaystyle\frac{1}{L}\displaystyle\int_{-L}^{L} f(t)\, dt[/texx] = [texx]\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{-2}^{0} -1\, dt[/texx] + [texx]\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{2} 1\, dt[/texx] = [texx]\displaystyle\frac{-1}{2} t  |_{-2}^0[/texx] + [texx]\displaystyle\frac{1}{2} t  |_0^2[/texx] =[texx] -1+1[/texx]=[texx] 0[/texx]
Cita
Luego [texx]a_0 = 0[/texx]

[texx]a_n=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{-L}^{L} f(t)cos(\displaystyle\frac{nπt}{L})\,dt = \displaystyle\frac{1}{L}\displaystyle\int_{-2}^{0} {-1}cos(\displaystyle\frac{nπt}{2})\,dt + \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{2} 1cos(\displaystyle\frac{nπt}{2})\,dt=[/texx]
Cita
Utilizamos lo siguiente: [texx]\displaystyle\int cos(at)dt= \displaystyle\frac{1}{a}sen (at)[/texx]

[texx]=\displaystyle\frac{-1}{2}\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{nπ}{2}}sen(\displaystyle\frac{nπt}{2})|_{-2}^0 + \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{nπ}{2}}sen(\displaystyle\frac{nπt}{2})|_{0}^{-2} = \displaystyle\frac{-1}{nπ}[sen(0) - sen({-nπ})] + \displaystyle\frac{1}{nπ}[sen(nπ) - sen({0})][/texx]
Como resulta que por trigonometría sen(nπ)=0 y sen(0)=0
Cita
Se concluye que [texx] a_n =0[/texx]

[texx]b_n=\displaystyle\frac{1}{L}\displaystyle\int_{-L}^{L} f(t)sen(\displaystyle\frac{nπt}{L})\,dt= \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{-2}^{0} -1sen(\displaystyle\frac{nπt}{2})\,dt + \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{2} 1sen(\displaystyle\frac{nπt}{2})\,dt=[/texx]
Cita
Utilizamos lo siguiente: [texx]\displaystyle\int sen(at)dt= \displaystyle\frac{-1}{a}cos (at)[/texx]
[texx]= \displaystyle\frac{-1}{2}(\displaystyle\frac{-1}{\displaystyle\frac{nπ}{2}})cos(\displaystyle\frac{nπt}{2})|_{-2}^0 + \displaystyle\frac{1}{2}(\displaystyle\frac{-1}{\displaystyle\frac{nπ}{2}})cos(\displaystyle\frac{nπt}{2})|_{0}^2= \displaystyle\frac{1}{nπ}[cos(0)-cos(-π)]-\displaystyle\frac{-1}{nπ}[cos(nπ)-cos(0)][/texx]
Cita
Por identidades trigonométricas [texx]cos(nπ)=cos(-nπ)=-1^n  ;  {cos(0)=1}, reemplazamos y aplicamos distributividad[/texx]
[texx]=\displaystyle\frac{1}{nπ} - \displaystyle\frac{1}{nπ}(-1)^n - \displaystyle\frac{1}{nπ}(-1)^n + \displaystyle\frac{1}{nπ}= \displaystyle\frac{2}{nπ}[1-(-1)^n][/texx]
Cita
Hemos encontrado los valores de los coeficientes, ahora solo resta reemplazar para tener nuestra serie de Fourier
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Matiasexe
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« Respuesta #3 : 17/11/2018, 05:08:37 pm »

No se si está bien, pero en esto trabajé leyendo un poco de teoría. Espero te sirva de algo, al menos para saber si está bien o no. :sonrisa_amplia:

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joaquinalzamora
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« Respuesta #4 : 20/11/2018, 09:51:13 am »

Muchas gracias me sirvió mucho
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