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Autor Tema: Demostración esfera unidad  (Leído 491 veces)
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KogoroMouri
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« : 13 Noviembre, 2018, 16:11 »

Estoy dándole vueltas a esta prueba y no se como demostrar ninguna implicación.

La función [texx]|f|[/texx] tiene máximo en la esfera unidad [texx]c_0[/texx] [texx]\Longleftrightarrow{}[/texx] Existe [texx]m\in \mathbb{N}[/texx] tal que [texx]f(e_n)=0[/texx] para todo [texx]n\in \mathbb{N}[/texx] con [texx]n\geq{m}[/texx]

Cualquier ayuda me sería de gran utilidad.  :¿eh?:
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 14 Noviembre, 2018, 07:49 »

Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Sea [texx]\{e_n\}[/texx] la base de vectores unidad de [texx]c_0[/texx]. Probar que para [texx]f\in c_0^*[/texx] las siguientes afirmaciones son equivalentes:

La función [texx]|f|[/texx] tiene máximo en la esfera unidad [texx]c_0[/texx] [texx]\Longleftrightarrow{}[/texx] Existe [texx]m\in \mathbb{N}[/texx] tal que [texx]f(e_n)=0[/texx] para todo [texx]n\in \mathbb{N}[/texx] con [texx]n\geq{m}[/texx]

Cualquier ayuda me sería de gran utilidad.  :¿eh?:

La implicación de derecha a izquierda debería de serte muy fácil de probar. Basta que tomes la sucesión [texx](x_n)[/texx] igual [texx]signo(f(e_n))[/texx] [texx]^{(*)}[/texx]. Pertenece a la esfera unidad de [texx]c_0[/texx].

Entonces comprueba que [texx]|f((x_n))|[/texx] es el máximo de [texx]|f|[/texx].

Para la implicación de izquierda a derecha.

En primer lugar comprueba que [texx]sup|f|=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}|f(e_n)|[/texx] en la esfera unidad. Para ello nota que:

- [texx]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}|f(e_n)|[/texx] es una cota superior de [texx]|f|[/texx] en la esfera unidad ya que si [texx]|(x_n)|=1[/texx]:

[texx]|f(x_n)|=\left|\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}x_nf(e_n)\right|\leq \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}|x_n||f(e_n)|\leq \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}|f(e_n)|[/texx]

- Para cada [texx]N[/texx], tomando las sucesiones [texx]x_n=signo(f(e_n))[/texx] para [texx]n\leq N[/texx] y cero en el resto comprueba que [texx]|f(x_n)|[/texx] se acerca al supremo anterior a medida que [texx]N\to \infty[/texx] (básicamente es la sucesión de sumas parciales).

Por último si no existiese [texx]m[/texx] tal que [texx]f(e_n)=0[/texx] para todo [texx]n\in \mathbb{N}[/texx] con [texx]n\geq m[/texx], exitiría una subsucesión [texx]n_k[/texx] tal que [texx]f(e_{n_k})\neq 0[/texx] para todo [texx]k[/texx].

Por otra parte para cualquier sucesión [texx](x_n)\in c_0[/texx] ( y por tanto convergente a cero) para n suficientemente grande [texx]|x_n|<\dfrac{1}{2}.[/texx]

Combinando ambas cosas comprueba que es imposible que [texx]|f(x_n)|[/texx] alcance el valor del supremo [texx]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}|f(e_n)|[/texx] para cualquier [texx](x_n)\in c_0[/texx]  en la esfera unidad y por tanto el supremo no es máximo.

Saludos.


[texx]^{(*)}[/texx] En cuanto a la función signo para que el razonamiento funcione incluso en los complejos ha de entenderse como:

[texx]signo(z)=\begin{cases} \dfrac{|z|}{z} & \text{si}& z\neq 0\\0 & \text{si}& 0\end{cases}[/texx]

de forma que [texx]z\cdot signo(z)=|z|.[/texx]
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