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Autor Tema: Velocidades y tiempos de llegada a destino  (Leído 333 veces)
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Jonan
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« : 11/11/2018, 09:47:28 am »

Buenas,

Me plantean el siguiente problema:

***

Un vehículo recorre un trayecto de 10 Km para desplazarse entre dos puntos, de
manera que la distancia en kilómetros s(t) que ha recorrido a los t segundos está dada
por:

[texx]s(t)=6t^{3}+\frac{2}{5}t^{2}+8t+14[/texx]

***

Y me preguntan sobre la velocidad del vehículo al salir del origen, su velocidad a los 15 segundos, la de llegada al destino y cuanto tarda en llegar.

Para afrontar el pregunta relativa a la velocidad en el origen, osea en t=0 me había planteado calcular:

[texx]\lim_{t\rightarrow 0} \frac{s(t)-s(0)}{t-0}
[/texx]

Osea:

[texx]\lim_{t\rightarrow 0} \frac{(6t^{3}+\frac{2}{5}t^{2}+8t+14) - 0}{t-0}=\lim_{t\rightarrow 0} \frac{(6t^{3}+\frac{2}{5}t^{2}+8t+14)}{t}
[/texx]

Ahora bien, si sustituto t=0 me da 14/0, lo cual no me vale como resultado. Por otra parte, si divido el numerador entre el denominador me da [texx]6t^{2}+\frac{2}{5}t+8[/texx]
 y de resto 14. Sustituyendo en "[texx]6t^{2}+\frac{2}{5}t+8+14[/texx]" t=0 obtengo 22 metros/segundo. Ahora bien,no se si esta solución de 22 metros/segundo es la correcta, porque me suelo hacer bastante lio con estos desarrollos.

Calcular la distancia a los 15 segundos entiendo que sería tan solo sustituir t=15 en la formula ([texx]s(t)=6*15^{3}+\frac{2}{5}*15^{2}+8*15+14[/texx]) y para sacar cuando tarda en recorrer 10 kilómetros(10000 metros):

[texx]s(t)=6t^{3}+\frac{2}{5}t^{2}+8t+14\Longleftrightarrow{10000=6t^{3}+\frac{2}{5}t^{2}+8t+14}[/texx]

Así que mas que nada, mi pregunta es si mi desarrollo tiene algún fallo que no este viendo.

Un saludo y gracias por adelantado


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robinlambada
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« Respuesta #1 : 11/11/2018, 10:20:50 am »

Hola Jonan:
Buenas,

Me plantean el siguiente problema:

***

Un vehículo recorre un trayecto de 10 Km para desplazarse entre dos puntos, de
manera que la distancia en kilómetros s(t) que ha recorrido a los t segundos está dada
por:

[texx]s(t)=6t^{3}+\frac{2}{5}t^{2}+8t+14[/texx]

***

Y me preguntan sobre la velocidad del vehículo al salir del origen, su velocidad a los 15 segundos, la de llegada al destino y cuanto tarda en llegar.

Para afrontar el pregunta relativa a la velocidad en el origen, osea en t=0 me había planteado calcular:

[texx]\lim_{t\rightarrow 0} \frac{s(t)-s(0)}{t-0}
[/texx]

Osea:

[texx]\lim_{t\rightarrow 0} \frac{(6t^{3}+\frac{2}{5}t^{2}+8t+14) \color{red}- 0\color{black}}{t-0}=\lim_{t\rightarrow 0} \frac{(6t^{3}+\frac{2}{5}t^{2}+8t+14)}{t}
[/texx]

Ahora bien, si sustituto t=0 me da 14/0, lo cual no me vale como resultado. Por otra parte, si divido el numerador entre el denominador me da [texx]6t^{2}+\frac{2}{5}t+8[/texx]
 y de resto 14. Sustituyendo en "[texx]6t^{2}+\frac{2}{5}t+8+14[/texx]" t=0 obtengo 22 metros/segundo. Ahora bien,no se si esta solución de 22 metros/segundo es la correcta, porque me suelo hacer bastante lio con estos desarrollos.

Calcular la distancia a los 15 segundos entiendo que sería tan solo sustituir t=15 en la formula ([texx]s(t)=6*15^{3}+\frac{2}{5}*15^{2}+8*15+14[/texx]) y para sacar cuando tarda en recorrer 10 kilómetros(10000 metros):

[texx]s(t)=6t^{3}+\frac{2}{5}t^{2}+8t+14\Longleftrightarrow{10000=6t^{3}+\frac{2}{5}t^{2}+8t+14}[/texx]

Así que mas que nada, mi pregunta es si mi desarrollo tiene algún fallo que no este viendo.

Un saludo y gracias por adelantado




Posiblemente hayas dado ya derivadas (lo digo porque has puesto la definición de derivada en cero). ¿Es así?

¿Por que no derivas por las reglas de derivación [texx]s(t)[/texx]?, es decir [texx]v(t)=s'(t)=\frac{ds(t)}{dt}[/texx]



Por otro lado lo que te puse en rojo esta mal.

1º.- [texx]s(0)=14[/texx] y no cero.

2º.- La expresión de la división no es correcta , sería [texx]\dfrac{(6t^{3}+\frac{2}{5}t^{2}+8t+14)}{t} =6t^{2}+\dfrac{2}{5}t+8+\dfrac{14}{t}[/texx]

3º.- Realmente el limite que tienes que hallar es otro, sería:


[texx]\lim_{t\rightarrow 0} \dfrac{s(t)-s(0)}{t-0}=\lim_{t\rightarrow 0} \dfrac{(6t^3+\frac{2}{5}t^2+8t+14)-14}{t}=\lim_{t\rightarrow 0} \dfrac{6t^3+\frac{2}{5}t^2+8t}{t}=\lim_{t\rightarrow 0} \dfrac{\cancel{t}(6t^2+\frac{2}{5}t+8)}{\cancel{t}}
=8[/texx]

4.- Realmente no te piden la distancia a los 15 segundos, sino la velocidad. (si te pidieran la distancia estarias en lo cierto)

Lo mejor es que utilices las reglas de derivación si puedes:

y calcules  [texx]s'(t)[/texx] y sustituyas [texx]s'(0) , s'(15)[/texx] y [texx] s(t_f)[/texx]


con [texx]t_f[/texx] tal que [texx]s(t_f)=10[/texx]

Saludos.

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Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.
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