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Autor Tema: Demostracion Relacion de orden  (Leído 668 veces)
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janumet
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« : 11/11/2018, 01:47:32 am »

hola,

tengo el siguiente, problema y no podido resolverlo.
con [texx]b\in{}Z+[/texx], mostrar que [texx]a-b<a+b[/texx] para todo [texx]a\in{}Z[/texx]

Z representa el conjunto de los números enteros.

gracias
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manooooh
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« Respuesta #1 : 11/11/2018, 03:38:59 am »

Hola

No sé si hay algo mal en el enunciado o no podés aplicar todavía esto, pero claramente las [texx]a[/texx] se pueden (y deben) cancelar, quedando

[texx]-b<b\implies0<2b\implies b>0;[/texx]

algo trivialmente cierto por la condición de [texx]b\in\Bbb Z^+[/texx].

Por favor revisá el enunciado y comentanos.

Saludos

P.D. Los títulos van con acentos.
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robinlambada
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« Respuesta #2 : 11/11/2018, 07:04:49 am »

Hola:
hola,

tengo el siguiente, problema y no podido resolverlo.
con [texx]b\in{}Z+[/texx], mostrar que [texx]a-b<a+b[/texx] para todo [texx]a\in{}Z[/texx]

Z representa el conjunto de los números enteros.

gracias

Depende de que puedas utilizar y como te hayan definido la relación menor que:

Si partimos de que:

[texx]a<b\Leftrightarrow{}b-a\in{}\mathbb{Z}^+[/texx]

Entonces es evidente que:

1.- [texx]a-b<a[/texx], pues: [texx]a-(a-b)=b\in{}\mathbb{Z}^+[/texx]

2.- [texx]a<a+b[/texx] pues: [texx]a+b -a=b\in{}\mathbb{Z}^+[/texx]

Por la propiedad transitiva [texx]a-b<a+b[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #3 : 11/11/2018, 08:03:20 am »


tengo el siguiente, problema y no podido resolverlo.
con [texx]b\in{}Z+[/texx], mostrar que [texx]a-b<a+b[/texx] para todo [texx]a\in{}Z[/texx]

Hola.

Como dicen manooooh y Robin, no hay problema en restar “a” a ambos lados, tenga el signo que tenga. Pero si no ves claro el porqué, puedes hacer comprobaciones tú mismo y razonarlo (razonar es algo que esta libre de cualquier temario, siempre se puede utilizar, no es como un teorema aún no estudiado).

Empieza considerando la condición [texx] a<b
 [/texx]; implica (para números reales en general también) que [texx] a-b<0
 [/texx]. Para ver esto puedes analizar fácilmente los casos posibles: con los dos positivos, con los dos negativos y con “a” negativo y “b” positivo; lo que no puede ser nunca es que “a” sea positivo y “b” negativo, viola la condición considerada inmediatamente.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Si suponemos [texx] a-b<0
 [/texx], sin más condición, esto que sigue es en general falso

[texx] a-b<a+b
 [/texx],

lo cual puedes comprobar tomando los dos negativos.

Sin embargo, sí es cierto siempre si ambos son positivos o si “b” positivo y “a” negativo; lo cual se verifica trivialmente con cualquier ejemplo.

...

En segundo lugar, considera la posibilidad, [texx] a>b
 [/texx].

Entonces, si son positivos, es claro que [texx] a-b<a+b
 [/texx]; y si “b” es positivo y “a” negativo, también es claro.

...

En un tercer caso, si a=b, ninguno será negativo (pues “b” es positivo) y es trivialmente cierto que sólo sería falso si b=0; pero “b” pertenece a los enteros positivos; y cero, aunque pertenece a los enteros, no pertenece a los positivos ni a los negativos en particular, no es un número signado. Por tanto, no hay problema, no puede ser cero y entonces se cumple lo que te dicen.

Saludos.
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« Respuesta #4 : 11/11/2018, 09:47:23 am »

Hola feriva:

tengo el siguiente, problema y no podido resolverlo.
con [texx]b\in{}Z+[/texx], mostrar que [texx]a-b<a+b[/texx] para todo [texx]a\in{}Z[/texx]

Hola.

Como dicen manooooh y Robin, no hay problema en restar “a” a ambos lados, tenga el signo que tenga. Pero si no ves claro el porqué, puedes hacer comprobaciones tú mismo y razonarlo (razonar es algo que esta libre de cualquier temario, siempre se puede utilizar, no es como un teorema aún no estudiado).

Empieza considerando la condición [texx] a<b
 [/texx]; implica (para números reales en general también) que [texx] a-b<0
 [/texx]. Para ver esto puedes analizar fácilmente los casos posibles: con los dos positivos, con los dos negativos y con “a” negativo y “b” positivo; lo que no puede ser nunca es que “a” sea positivo y “b” negativo, viola la condición considerada inmediatamente.

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Si suponemos [texx] a-b<0
 [/texx], sin más condición, esto que sigue es en general falso

[texx] a-b<a+b
 [/texx],

lo cual puedes comprobar tomando los dos negativos.

Sin embargo, sí es cierto siempre si ambos son positivos o si “b” positivo y “a” negativo; lo cual se verifica trivialmente con cualquier ejemplo.

...

En segundo lugar, considera la posibilidad, [texx] a>b
 [/texx].

Entonces, si son positivos, es claro que [texx] a-b<a+b
 [/texx]; y si “b” es positivo y “a” negativo, también es claro.

...

En un tercer caso, si a=b, ninguno será negativo (pues “b” es positivo) y es trivialmente cierto que sólo sería falso si b=0; pero “b” pertenece a los enteros positivos; y cero, aunque pertenece a los enteros, no pertenece a los positivos ni a los negativos en particular, no es un número signado. Por tanto, no hay problema, no puede ser cero y entonces se cumple lo que te dicen.

Saludos.

Entiendo que lo que pide el problema es demostrarlo utilizando la definición de menor que "<". Ya que no hace falta complicarse más.

Saludos.

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« Respuesta #5 : 11/11/2018, 23:12:35 pm »

muchas gracias, tenia muchas dudas con respecto a a-b, pero con lo que me recomendaron logre hacerlo. Gracias Aplauso
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