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Autor Tema: Todo conjunto de Delone en la recta es bi-lipschitz equivalente a los enteros.  (Leído 395 veces)
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lindtaylor
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« : 10/11/2018, 09:55:45 pm »

Definición [texx]A[/texx] es un conjunto de Delone en [texx]X[/texx] espacio métrico, si [texx]\exists \delta,\epsilon>0[/texx] tal que para todo [texx]a\neq a'\in A,\ d(a,a')\geq \delta[/texx] y [texx]\forall x\in X, \exists a\in A,\ d(x,a)\leq \epsilon[/texx]

¿Cómo puedo probar que todo conjunto de Delone en [texx]\mathbb{R}[/texx] es bi-Lipschitz equivalente a [texx]\mathbb{Z}?[/texx] Según artículos dicen que es fácil pero ninguno lo prueba...

Necesito una biyección [texx]f:A\to \mathbb{Z}[/texx]  y
[texx]\frac{1}{L}d(a,a')\leq d(f(a),f(a'))\leq Ld(a,a')[/texx] para todo[texx]a,a'\in A[/texx].

Pensaba tomar la función piso  [texx]f(a)=[a][/texx]. El problema es que no tendría inyectividad asegurada...

Otro problema, es que de partida el conjunto de Delone debe ser numerable por lo que veo, pues necesitamos si o sí una biyección entre el connjunto de Delone dado y los enteros, pero no sé si todo Delone en [texx]\mathbb{R}[/texx] es de antemano numerable...

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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 12/11/2018, 07:09:01 am »

Hola

Definición [texx]A[/texx] es un conjunto de Delone en [texx]X[/texx] espacio métrico, si [texx]\exists \delta,\epsilon>0[/texx] tal que para todo [texx]a\neq a'\in A,\ d(a,a')\geq \delta[/texx] y [texx]\forall x\in X, \exists a\in A,\ d(x,a)\leq \epsilon[/texx]

¿Cómo puedo probar que todo conjunto de Delone en [texx]\mathbb{R}[/texx] es bi-Lipschitz equivalente a [texx]\mathbb{Z}?[/texx] Según artículos dicen que es fácil pero ninguno lo prueba...

Necesito una biyección [texx]f:A\to \mathbb{Z}[/texx]  y
[texx]\frac{1}{L}d(a,a')\leq d(f(a),f(a'))\leq Ld(a,a')[/texx] para todo[texx]a,a'\in A[/texx].

Pensaba tomar la función piso  [texx]f(a)=[a][/texx]. El problema es que no tendría inyectividad asegurada...

Otro problema, es que de partida el conjunto de Delone debe ser numerable por lo que veo, pues necesitamos si o sí una biyección entre el connjunto de Delone dado y los enteros, pero no sé si todo Delone en [texx]\mathbb{R}[/texx] es de antemano numerable...

La idea es la siguiente. Considera [texx]\mathbb{R}[/texx] recubierta por la familia de conjuntos disjuntos:

[texx]\{I_k\}_{k\in \mathbb{Z}}[/texx] con [texx]I_k=[k\delta,(k+1)\delta)[/texx]

Por la definición de conjunto de Delone sabes que en cada uno de esos intervalos a lo sumo hay un elemento del conjunto; por la condición [texx]d(x,a)\leq \epsilon[/texx] sabes además que el conjunto es infinito. Luego desde luego el conjunto es infinito numerable.

Entonces existe una subsucesión [texx]\{k_n\}\subset Z[/texx] formada por los índices tales que [texx]A\subset I_{k_n}\neq\emptyset[/texx]. La aplicación es:

[texx]f:\mathbb{Z}\to A,\qquad f(n)=I_{k_n}\subset A[/texx]

y su inversa:

[texx]f^{-1}:A\to \mathbb{Z},\qquad f^{-1}(a)=k_n[/texx] tal que [texx]a\in I_{k_n}[/texx].

Saludos.
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