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Autor Tema: Si \(\{1,2,3,4,5\}\), ¿hay una relación de equivalencia con 15 pares ordenados?  (Leído 7201 veces)
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #20 : 03/11/2018, 08:24:34 am »

¿Es una pregunta o una afirmación?

Pues claro... no se pueden sumar conjuntos, sería unirlos... Está bien, no pensé en profundidad cuando me referí a "Suma de clases", está mal. Considerá sus cardinales, ¿bien? Mi pregunta original era por qué podemos considerar que, en tu ejemplo, [texx]|\{1,11\}|+|\{2,12\}|=|\{2,12\}|+|\{1,11\}|[/texx], y mi auto-respuesta fue "Porque la suma de clases de los cardinales de las clases cumple la propiedad conmutativa (y también asociativa)". Es una obviedad, pero si no fuera tan obvio deberíamos preguntarnos por qué esos otros casos (los de conmutar) no los estamos considerando.

Era una pregunta para que al tratar de responderla te dieras cuenta de lo que te has dado cuenta. Puedes hablar de suma de clases cuando en el conjunto de partida tienes definida una suma que lo convierte en un grupo abeliano y cuando la relación de equivalencia no es cualquiera, sino concretamente la congruencia módulo un subgrupo. En ese caso, todo lo que decías era correcto, pero no es el caso que nos ocupa.


Una definición seguro que no. Las definiciones no se demuestran. Por lo demás, nunca me he tomado en serio la distinción entre teoremas, proposiciones, lemas, corolarios, escolios, ...  Todo son teoremas y ya está.

Ok, gracias. Nunca había escuchado de un escolio :sorprendido:.

Su definición en matemáticas es:

Advertencia o nota que se hace a fin de aclarar, ampliar o restringir proposiciones anteriores.

Yo, personalmente, con axiomas, definiciones, teoremas y, a lo sumo, notas u observaciones, tengo bastante.
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« Respuesta #21 : 03/11/2018, 04:26:45 pm »

Tomando todos los pares posibles si que tengo una relación de equivalencia y
   genera una partición... con solo una clase de equivalencia, el mismo total de pares o flechas.
   Creo que es el arquetipo básico, una matriz cuajada de "unos", "aspas" o "lo tomo".

Generalizando: si la relación de equivalencia generara (una o) mas clases, su aspecto sería
   (cambiando el orden de los elementos, si hiciera falta) de tantos arquetipos como clases haya,
   (cajoncitos cuadrados cuajados de "aspas") uno detrás de otro cubriendo la diagonal, y nada mas.

Nota
   Hasta aquí no hemos necesitado, para la cuestión del hilo, dar ninguna forma específica
   de relación de equivalencia, solo el tipo de descomposición.
   Son muchas las que cumplen con un solo tipo genérico de descomposición,
   p.e., 5=3+2, asunto creo se llama de enumeración.

Nota Gracias Carlos I. por abrir ventanas de relaciones.
   
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« Respuesta #22 : 03/11/2018, 04:34:39 pm »

Hola nia

Tomando todos los pares posibles si que tengo una relación de equivalencia y
   genera una partición... con solo una clase de equivalencia, el mismo total de pares o flechas.
   Creo que es el arquetipo básico, una matriz cuajada de "unos", "aspas" o "lo tomo".

Generalizando: si la relación de equivalencia generara (una o) mas clases, su aspecto sería
   (cambiando el orden de los elementos, si hiciera falta) de tantos arquetipos como clases haya,
   (cajoncitos cuadrados cuajados de "aspas") uno detrás de otro sobre la diagonal, y nada mas.

Nota
   Hasta aquí no hemos necesitado, para la cuestión del hilo, dar ninguna forma específica
   de relación de equivalencia, solo el tipo de descomposición.
   Son muchas las que cumplen con un solo tipo genérico de descomposición,
   p.e., 5=3+2, asunto creo se llama de enumeración.

En tu otra intervención no quise preguntar pero ahora sí. ¿De qué hablás? ¿Estás tratando de desmentir algo o reafirmarlo? :sorprendido:.

Me encanta que utilices el estilo poetizo para narrar estas aventuras matemáticas, pero si soy sincero no las entiendo :risa: :risa:, aunque otros sí. No sos vos, soy yo.

Saludos
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« Respuesta #23 : 03/11/2018, 09:57:12 pm »

Avisé de que daba la opinión de un "profano", de lo que se va enterando aunque pierda el hilo deductivo, que arranca de lo mas básico. Por tanto ni desmiento ni reafirmo, narro, hablo del proceso de aprendizaje, con sus idas y venidas, donde los teoremas que sabemos los tomamos por definiciones, o de las definiciones sacamos los teoremas (lo usual). Y este problema se repite en cada peldaño, micro o macro.
Como tengo costumbre en analizarme, son mis experiencias negativas locales, que las debo de expresar... si quiero corregirlas y enterarme, porque considero que es imprescindible "saber" antes lo que se ignora (como nos repiten los que mas saben).

El ejemplo que puse, ilustra mi ignorancia (permanente o transitoria); vamos con ello:
       La propiedad REFLEXIVA puede decir ("gato","gato") que, a la vista de las bolsas,
          me lleva a exclamar:  ¡ya se que el "gato" va a la bolsa donde ya está!.
       La propiedad SIMÉTRICA dice que si ("gato","raro") entonces ("raro","gato"), lo que me hace
          injuriar: ¡lo que faltaba: si el "gato" va donde lo "raro", claro que lo "raro" va donde el "gato"
       La propiedad TRANSITIVA me ahorro comentarla.
Nota Luego, recuerdo que puedo tomar "lentejas" y luego "matarme", y no en orden inverso, etc. (Tengo que reconocer, en este punto, que mi mujer las prepara de infarto.)

Con respecto a mi interés por estos temas, es muy alto, porque trata desde el comienzo con notación que conviene menudear. Y nada como ir de la mano de Carlos I., porque tienes que ver de paso y superar... el mínimo que nos hace falta, al resto de los mortales.

Por ejemplo, al pintar una red, pintas los nodos y las flechas que van de unos a otros, mientras que las relaciones binarias indican solo flechas, constando los nodos implícitamente, como parte del principio o del final de cada una. Los nodos serían obviamente la reunión de los arranques y finales de las flechas (que si tenemos la REFLEXIVA serian los inicios de las flechas que acaban donde empiezan). Esto es: con los pares ordenados lo tengo todo (los nodos por cálculo o cuenta de la vieja).

Para acabar, si tienes que tratar una red, se tiende a fabricar un archivo con los nodos y otro con las conducciones... pero no hace falta, es mucho mas sencillo para cálculos, disponer solo de las flechas, que los datos de nodos y conducciones tienden a ser los mismos. Un depósito(nodo) y una tubería(conducción) tienen ambos su capacidad, circulación, dimensiones, planos, fotos y hasta sensores (que accionan llaves), luego... ¡todo a solo flechas!. Las redes eléctricas, carreteras, suburbanos, contabilidad o procesos mas complejos, son susceptibles de estos métodos (no solo los de una cara gráfica).

Las particiones encierran nodos en "pelotingos"... para particionar las flechas en cada grupo, las que tienen un pié fuera (o en otros) y las internas, que suelen cumplir un mismo tipo de ecuación, la del (sub)sistema que se trate. En contabilidad, las flechas constan en el DIARIO (información que se repite en el MAYOR), así que es fácil (teóricamente) cogerle el aire, ir por partes, sectorizando. Etc. 

Como ves y opino, con poco que se atiendan estos temas, su ambiente, se puede sacar beneficio (siempre en teoría o posibilidad).

PD Si no se entiende algo que no se indica, no lo puedo aclarar.
     También, muchas veces, participo en el run_run, que creo en la "ósmosis difusa",
     el caldo de cultivo, y no todos podemos hablar con precisión. :malvado:
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« Respuesta #24 : 11/11/2018, 11:30:59 am »

La cuestión que se plantea es si puedo formar una relación de equivalencia, con solo 15 de los pares originales (25) de 5 elementos, a lo que se ve que no. (Porque si la suma de números me da 5, su partición, sus cuadrados no me da 15 en ningún caso.)

La pregunta tiene una dirección, que otra cuestión es, p.e., poder dar suma de clases o generar estructuras que me recuerden una situación familiar.

Mas en particular: ¿que pasa si 5 objetos o entelequias los deposito en 2 (o mas) bolsas?, ¿que perradas puedo hacer a continuación?. Tal vez, recorriendo este camino, inverso en casos, nos enteremos mejor del ambiente en que nos desenvolvemos.
¿Que pasa al ver que: {vaso,parco,gato,raro,mazo} = {vaso,parco} unión {gato,raro,mazo}?.

La primera cuestión es que podemos dar la "suma" de clases que nos inventemos. Incluso que formen, los sacos de elementos, estructura de grupo (creo). Con solo denominar a uno "0" y al otro "1" y proceder como en la suma binaria o multiplicación de dichas cantidades. Si partiéramos de mas bolsas, n, podríamos numerarlas al azar y definir la operación, entre bolsas, de forma similar a cualquier grupo de n elementos (con sus modalidades). Y dentro de cada bolsa también podemos definir estructuras de grupo, con los x elementos que tenga cada una, sin saber de donde proceden.

Luego ya podemos preguntarnos cuales de estas construcciones provienen de equivalencias primigenias o son isomorfas (misma forma, sincronizables en operativa).
Por ejemplo, la "suma directa externa (o nombre parecido)" es intentar dar sentido a los 2x3 pares (o menos), de operar con los dos sacos (de 2 y 3 elementos), que traen ya su estructura de casa, independientemente... ¡pero es harina de otro costal!, que ahora solo pretendo relatar el interés que suscita el entorno, para mi también nuevo, que me ordena ideas previas.

Nota Mas que supongo que estas notas, referidas a equivalencias mezcladas con grupos, se pueden extender a otros tipos de relaciones.


   
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« Respuesta #25 : 01/08/2019, 10:42:35 pm »

Hola

Releyendo tengo una duda:

[texx](x, y)\in R[/texx] si y sólo si existe un [texx]i\in I[/texx] tal que [texx](x, y)\in C_i\times C_i[/texx], si y sólo si [texx](x, y)\in \bigcup_{i\in I}(C_i\times C_i)[/texx].

¿Lo marcado en rojo no debería ser un implica?

Entiendo que si [texx](x,y)[/texx] está en un conjunto lo está en la unión de él con otros conjuntos, pero no sé si el recíproco es cierto :¿eh?:.

Gracias y saludos
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #26 : 06/08/2019, 06:48:50 am »

En general, por definición de unión, [texx]x\in \bigcup_{i\in I}A_i[/texx] si y sólo si existe un [texx]i\in I[/texx] tal que [texx]x\in A_i[/texx]
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« Respuesta #27 : 23/11/2019, 05:56:38 am »

Hola

La respuesta del profesor a este problema es (cito textual):

Si produjera una partición de [texx]2[/texx] clases, una de [texx]4[/texx] elementos y otra de [texx]1[/texx], habría [texx]17[/texx] pares:


Si produjera de [texx]3[/texx] y [texx]2[/texx] habría [texx]13[/texx] pares:


Por lo tanto no puede haber de [texx]15[/texx].



¿Es correcta la demostración?

Veo que Carlos hizo una prueba mucho más completa, en el sentido de que lo extendió para cualquier cantidad de clases:

Sea [texx]A[/texx] un conjunto en el que hay una relación de equivalencia [texx]R[/texx] y sean [texx]\{C_i\}_{i\in I}[/texx] las clases de equivalencia determinadas por [texx]R[/texx]. Un hecho básico sobre relaciones de equivalencia es que dos elementos [texx]x, y\in A[/texx] están relacionados si y sólo si están en la misma clase [texx]C_i[/texx]. En otros términos:

[texx](x, y)\in R[/texx] si y sólo si existe un [texx]i\in I[/texx] tal que [texx](x, y)\in C_i\times C_i[/texx], si y sólo si [texx](x, y)\in \bigcup_{i\in I}(C_i\times C_i)[/texx].

Esto prueba que [texx]R=\bigcup_{i\in I}(C_i\times C_i)[/texx]. Además todo elemento de [texx]A[/texx] está en una clase de equivalencia, luego [texx]A=\bigcup_{i\in I}C_i[/texx], y las clases [texx]C_i[/texx] son disjuntas dos a dos, luego también lo son los productos [texx]C_i\times C_i[/texx]. Por lo tanto, podemos tomar cardinales y resulta:

[texx]|A|=\sum_{i\in I}|C_i|[/texx], [texx]|R|=\sum_{i\in I}|C_i\times C_i| = \sum_{i\in I}|C_i|^2[/texx].

Si llamas [texx]k_i=|C_i|[/texx], [texx]n=|I|[/texx] y [texx]N=|A|[/texx] te queda expresado en los términos en que lo había expresado antes.

pero la del profesor parece más "rápida".

¿Está completa la prueba del profesor?

Saludos

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« Respuesta #28 : 23/11/2019, 06:11:36 am »

Hola

pero la del profesor parece más "rápida".

¿Está completa la prueba del profesor?

En mi opinión al profesor le falta estudiar los otro cinco casos que Carlos apuntó en su momento. Relaciones con tres clases: [texx]2+2+1[/texx], [texx]3+1+1[/texx], con cuatro clases ([texx]2+1+1+1+1[/texx]) o con cinco ([texx]1+1+1+1+1+1[/texx]) o con una clase.

Por otra parte, lo de la "rapidez" es discutible. Tu profesor parece que ha dibujado y contado "a mano" todos los pares.

El argumento que justifica que una clase de [texx]k[/texx] elementos tiene [texx]k^2[/texx], más allá de que Carlos lo ha escrito con mucho detalles, es muy rápido: en cada clase se relaciona cualquier par de elementos, por tanto hay [texx]k\cdot k[/texx] posibles pares.

Saludos.
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« Respuesta #29 : 23/11/2019, 06:14:13 am »

Hola Luis

Le faltó estudiar los demás casos; eso era lo que quería saber. Lo de Carlos bien hecho está, y bien entendido también.

Gracias.

Saludos
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