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Autor Tema: Encontrar todos los lambda tales que C_lambda es singular  (Leído 1237 veces)
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Julio_fmat
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« : 27 Octubre, 2018, 21:42 »

Sea [texx]C_{\lambda}:=V(P_{\lambda})\subset \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^2[/texx], con [texx]\lambda \in C[/texx] una familia de cubicas definidas por [texx]P_{\lambda}:= P_{\lambda}(x,y,z)=(y-x)(y+x)z+\lambda x^2(x-2z).[/texx] Encontrar todos los [texx]\lambda \in C[/texx] para los cuales [texx]C_{\lambda}[/texx] es singular.

Hola, ¿como lo podemos hacer en este caso?

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Luis Fuentes
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« Respuesta #1 : 28 Octubre, 2018, 09:38 »

Hola

Sea [texx]C_{\lambda}:=V(P_{\lambda})\subset \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^2[/texx], con [texx]\lambda \in C[/texx] una familia de cubicas definidas por [texx]P_{\lambda}:= P_{\lambda}(x,y,z)=(y-x)(y+x)z+\lambda x^2(x-2z).[/texx] Encontrar todos los [texx]\lambda \in C[/texx] para los cuales [texx]C_{\lambda}[/texx] es singular.

Hola, ¿como lo podemos hacer en este caso?

Utiliza que la curva es singular si existen puntos para los cuales se anulan simultáneamente todas sus derivadas parciales.

Saludos.
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Julio_fmat
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« Respuesta #2 : 02 Noviembre, 2018, 16:18 »

Hola

Sea [texx]C_{\lambda}:=V(P_{\lambda})\subset \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^2[/texx], con [texx]\lambda \in C[/texx] una familia de cubicas definidas por [texx]P_{\lambda}:= P_{\lambda}(x,y,z)=(y-x)(y+x)z+\lambda x^2(x-2z).[/texx] Encontrar todos los [texx]\lambda \in C[/texx] para los cuales [texx]C_{\lambda}[/texx] es singular.

Hola, ¿como lo podemos hacer en este caso?

Utiliza que la curva es singular si existen puntos para los cuales se anulan simultáneamente todas sus derivadas parciales.

Saludos.

Muchas gracias el_manco. Me da lo siguiente... (no se si esta bien). Derivando las parciales con respecto a [texx]x,y,z[/texx] se tiene:

[texx]\dfrac{\partial P_{\lambda}}{\partial x}(x,y,z)=-2xz+3\lambda x^2-4\lambda xz[/texx]

[texx]\dfrac{\partial P_{\lambda}}{\partial y}(x,y,z)=2yz[/texx]

[texx]\dfrac{\partial P_{\lambda}}{\partial z}(x,y,z)=y^2-x^2-2\lambda x^2[/texx]

Igualando dichas derivadas a cero, encontramos los puntos criticos de [texx]P_\lambda[/texx], tales que [texx]\lambda \in \left\{\dfrac{y^2-x^2}{2x^2},\dfrac{2xz}{3x^2-4xz}\right\}[/texx].
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« Respuesta #3 : 02 Noviembre, 2018, 16:44 »

Hola

Muchas gracias el_manco. Me da lo siguiente... (no se si esta bien). Derivando las parciales con respecto a [texx]x,y,z[/texx] se tiene:

[texx]\dfrac{\partial P_{\lambda}}{\partial x}(x,y,z)=-2xz+3\lambda x^2-4\lambda xz[/texx]

[texx]\dfrac{\partial P_{\lambda}}{\partial y}(x,y,z)=2yz[/texx]

[texx]\dfrac{\partial P_{\lambda}}{\partial z}(x,y,z)=y^2-x^2-2\lambda x^2[/texx]

Igualando dichas derivadas a cero, encontramos los puntos criticos de [texx]P_\lambda[/texx], tales que [texx]\lambda \in \left\{\dfrac{y^2-x^2}{2x^2},\dfrac{2xz}{3x^2-4xz}\right\}[/texx].

Pero parece que has olvidado la anulación de la derivada respecto de [texx]y[/texx]:

[texx]2yz=0[/texx]

de donde o bien [texx]y=0[/texx] o bien [texx]z=0[/texx].

- Si [texx]y=0[/texx], las otras dos ecuaciones quedan:

[texx]-2xz+3\lambda x^2-4\lambda xz=0[/texx]
[texx]-(1+2\lambda)x^2=0[/texx]

 De la segunda o bien [texx]x=0[/texx] o bien [texx]\lambda=-1/2[/texx].

 Pero si [texx]x=0[/texx] entonces el punto [texx](0:0:1)[/texx] siempre es singular para cualquier valor de [texx]\lambda[/texx].
 Sospecho que quizá el enunciado no está bien copiado. Revísalo.

Saludos.
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