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Autor Tema: Duda sobre la modificación de valoraciones  (Leído 1841 veces)
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Carlos Ivorra
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« : 27/10/2018, 08:18:17 am »

Publico este mensaje privado que he recibido porque no tiene nada de privado:

En estos momentos me encuentro estudiando de su libro de Lógica Matemática, y tengo cierta confusión con respecto a la notación que utiliza usted en la página 20 (del último pdf de su página) para la valoración de una variable de un lenguaje formal. Entiendo que dado una variable [texx]x[/texx] del lenguaje formal [texx]\mathcal{L}[/texx], la valoración de un lenguaje formal consiste en asignar a dicha variable [texx]x[/texx] un elemento del universo del modelo [texx]M[/texx] que se representa por [texx]v(x)[/texx]. Hasta ahí todo va bien. Sin embargo, cuando se dice que dada la valoración [texx]v[/texx] y un elemento [texx]a[/texx] en el universo del modelo [texx]M[/texx], se llama valoración [texx]v^a_x[/texx] a la valoración dada por [texx]v^a_x(y)\equiv a[/texx] si [texx]x\equiv y[/texx] o [texx]v^a_x(y)\equiv v(y)[/texx] en caso contrario, allí entro en confusión, pues antes se había dicho que la valoración era [texx]v(x)[/texx], entonces no entiendo la introducción de la "nueva" valoración [texx]v^a_x[/texx], ¿con qué fin se hace esto?

No estoy muy seguro de en qué consiste tu duda, pero me llama la atención la insistencia que pones en hablar de "la" valoración. Parece como si pensaras que sólo hay una valoración. Una valoración es un criterio para asignar a cada variable un objeto del universo del modelo, de manera que no puedes hablar de "la" valoración, sino que puedes tener "una" valoración [texx]v[/texx] para la cual [texx]v(x)=a, v(y)=b[/texx], otra valoración [texx]w[/texx] para la cual [texx]w(x)=b, w(y)=c[/texx], y así infinitas valoraciones posibles.

¿Cón qué fin se hace esto? Para definir justo a continuación el concepto de satisfacción en un modelo. En la definición 1.7 se emplean valoraciones modificadas, en los apartados g) y h).

Además, usted dice posteriormente que es claro que [texx]v^{ab}_{xy}[/texx] coincide con [texx]v^b_y[/texx] si [texx]x\equiv y[/texx], pero para mí esto no es claro, pues me pierdo con la notación, y lo único que se ocurre para interpretar la notación [texx]v^{ab}_{xy}[/texx] es que esto coincide con [texx](v^a_x(y))^b_y\equiv v^b_y(a)[/texx], es decir que en efecto [texx]v^{ab}_{xy}[/texx] coincide con [texx]v^b_y[/texx] si [texx]x\equiv y[/texx], y con respecto a que si [texx]x\not\equiv y[/texx], [texx]v^{ab}_{xy}[/texx] coincide con [texx]v^{ba}_{yx}[/texx], esto lo interpreto que es así en virtud de que [texx](v^a_x(y))^b_y\equiv v^b_y(v(y))\equiv v^{ba}_{yx}[/texx], pero no sé si esto es correcto y no sé si allí exista una incomprensión de la notación.

Lo que hemos hecho ha sido, para cada valoración [texx]v[/texx] (y cada variable [texx]x[/texx] y cada objeto [texx]a[/texx] del universo del modelo), definir otra valoración [texx]v_x^a[/texx]. Sea cual sea la valoración [texx]v[/texx], a partir de ella puedes derivar otra valoración [texx]v_x^a[/texx], o también otra valoración [texx]v_y^b[/texx]. En particular, partiendo de la valoración [texx]v_x^a[/texx] puedes obtener la valoración que resulta de modificar [texx]v_x^a[/texx] haciendo que sobre [texx]y[/texx] valga [texx]b[/texx], y esa valoración se llama [texx](v_x^a)_y^b[/texx], o simplemente [texx]v_{xy}^{ab}[/texx], pues nadie nos obliga a poner paréntesis ahí.

Siendo estrictos, no tiene sentido que escribas cosas como [texx](v^a_x(y))^b_y\equiv v^b_y(a)[/texx], porque [texx]{}^b_y[/texx] tiene que afectar a una valoración, no a [texx]v^a_x(y)[/texx], que es un objeto del modelo y no una valoración.

Lo que sucede es que, si [texx]x\equiv y[/texx], entonces [texx]v_{xy}^{ab}(x)\equiv b[/texx], directamente por la definición de [texx]{}^b_y[/texx], mientras que, para otra variable [texx]z\not\equiv x[/texx], se cumple que [texx]v_{xy}^{ab}(z)\equiv v_x^a(z)\equiv v(z)[/texx], donde he aplicado dos veces la definición de modificación de una valoración (como la variable [texx]z[/texx] no es la variable modificada, la modificación actúa igual que la valoración de partida). Por lo tanto [texx]v_{xy}^{ab}[/texx] actúa exactamente igual que [texx]v_x^b[/texx] (coincide con [texx]v[/texx] en las variables distintas de [texx]x[/texx] y asigna [texx]b[/texx] a [texx]x[/texx], luego se trata de la misma valoración).
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Juan Pablo Cardona Buitra
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« Respuesta #1 : 27/10/2018, 01:48:02 pm »

Muchas gracias profesor Ivorra, me ha solucionado por completo la duda. Lo que pasa es que tenía la duda porque usualmente uno se acostumbre a trabajar en teorías, no en metateorías, entonces estaba pensando en ese tipo de valoraciones como funciones compuestas, ese era el problema. Y con respecto al énfasis que hacía en "la" valoración, no era que pensara que existe una valoración única, quizá fue un malentendido, pero mucha gracias. Espero poder seguir solucionando las dudas en caso de que surjan por este medio.
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #2 : 27/10/2018, 03:20:26 pm »

No hay ninguna diferencia a este respecto entre matemática y metamatemática. Toda la metamatemática se puede formalizar en teoría de conjuntos y entonces estos mismos resultados los puedes ver como afirmaciones sobre funciones usuales. Lo que sucede es que la modificación de una valoración no tiene nada que ver con la composición de aplicaciones (tanto entendida metamatemáticamente como formalizada), sino más bien con la modificación de una función cuando se definen funciones como

[texx]f(x)=\begin{cases} x^2 & \text{si}& x\neq 2\\ 5 & \text{si}& x=2\end{cases}[/texx]

Esta función [texx]f[/texx] definida a partir de la función [texx]x^2[/texx] no es ninguna composición de funciones. Y si a partir de [texx]f[/texx] defines otra del mismo modo, el resultado de realizar las dos modificaciones tampoco es una composición de funciones.
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« Respuesta #3 : 18/07/2019, 09:50:58 pm »

Hola

Muy interesante. Gracias por compartirlo.

Pregun-tonta: "valoración" no es lo mismo que "valuación" (asignar un valor de verdad a una proposición), ¿verdad?

Con respecto a:

[texx]f(x)=\begin{cases} x^2 & \text{si}& x\neq 2\\ 5 & \text{si}& x=2\end{cases}[/texx]

Esta función [texx]f[/texx] definida a partir de la función [texx]x^2[/texx] no es ninguna composición de funciones. (...)

No estoy para nada de acuerdo.

En primer lugar no sé por qué suponés que hemos construido [texx]f[/texx] a partir de [texx]x^2[/texx], cuando perfectamente podríamos haberla construido desde [texx]5[/texx] (es una constante, ¿y qué? Sigue siendo función).

Segundo, yo considero que las funciones por tramos son de hecho composiciones. Aunque no las llamamos así porque entonces habría que llamar a [texx]g(x)=x^2+2[/texx] una composición de tres funciones, a saber: [texx]g_1(x)=x[/texx], [texx]g_2(x)=x[/texx] y [texx]g_3(x)=2[/texx], entonces [texx]g=g_1\cdot g_2+g_3[/texx]. Un lío, como se aprecia.

Saludos y gracias
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #4 : 19/07/2019, 09:28:23 am »

Pregun-tonta: "valoración" no es lo mismo que "valuación" (asignar un valor de verdad a una proposición), ¿verdad?

"Valoración" y "valuación" son dos traducciones del inglés "valuation". La única diferencia es que la primera es buena y la segunda es mala, porque la primera se basa en la raíz española (y latina) de "valor" y la segunda conserva absurdamente la raíz inglesa "value".

Otra cosa es que una valoración en lógica proposicional es una aplicación que a cada variable proposicional le asigna un valor de verdad y una valoración en lógica de predicados es una aplicación que a cada variable del lenguaje le asigna un elemento del universo de un modelo. Son dos conceptos matemáticos distintos que reciben el mismo nombre, ya que el contexto los distingue sin ambigüedad.

Con respecto a:

[texx]f(x)=\begin{cases} x^2 & \text{si}& x\neq 2\\ 5 & \text{si}& x=2\end{cases}[/texx]

Esta función [texx]f[/texx] definida a partir de la función [texx]x^2[/texx] no es ninguna composición de funciones. (...)

No estoy para nada de acuerdo.

En primer lugar no sé por qué suponés que hemos construido [texx]f[/texx] a partir de [texx]x^2[/texx], cuando perfectamente podríamos haberla construido desde [texx]5[/texx] (es una constante, ¿y qué? Sigue siendo función).

Sí, pero estaba comparando con las valoraciones de la forma [texx]v_x^a[/texx], que se construyen modificando una valoración dada [texx]v[/texx]. Por eso decía que la función [texx]f[/texx] se construye a partir de [texx]x^2[/texx] en el mismo sentido en que [texx]v_x^a[/texx] se construye a partir de [texx]v[/texx]. Eso no quita para que, en efecto, toda función definida en dos trozos está definida a partir de las dos funciones que determinan su expresión en cada trozo.

Segundo, yo considero que las funciones por tramos son de hecho composiciones.

Pues consideras mal.

Aunque no las llamamos así porque entonces habría que llamar a [texx]g(x)=x^2+2[/texx] una composición de tres funciones, a saber: [texx]g_1(x)=x[/texx], [texx]g_2(x)=x[/texx] y [texx]g_3(x)=2[/texx], entonces [texx]g=g_1\cdot g_2+g_3[/texx]. Un lío, como se aprecia.

No. [texx]g(x)=x^2+2[/texx] es la composición de dos funciones, que son [texx]x\mapsto x^2[/texx] y [texx]x\mapsto x+2[/texx]. (Sin perjuicio de que cualquier función se puede poner de infinitas formas como composición de otras, pero la descomposición que te digo es la natural a partir de la definición de [texx]g[/texx].) En todo caso, otra alternativa natural sería verla como composición de estas tres funciones:

[texx]x\mapsto (x, x)[/texx], [texx](x, y)\mapsto xy[/texx], [texx]z\mapsto z+2[/texx].

Lo que no sirve es lo que tú propones, porque no cuentas el producto (o, alternativamente, el cuadrado) como una de las funciones imprescindibles para obtener la función [texx]g[/texx]. Las opciones que te planteo yo sí son correctas y no tienen nada de lío.

En general, la composición de dos funciones [texx]f: A\longrightarrow B[/texx] y [texx]g:B\longrightarrow C[/texx] es la función [texx]g\circ f: A\longrightarrow C[/texx] dada por [texx](g\circ f)(x)=g(f(x))[/texx].

Eso es una composición de funciones y cualquier otra cosa a la que quieras llamar composición de funciones no es una composición de funciones de acuerdo con el lenguaje matemático universalmente aceptado. En este sentido, una función a trozos NO es la composición de las funciones con que se define su valor en cada trozo.
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« Respuesta #5 : 22/07/2019, 01:14:39 am »

Hola

"Valoración" y "valuación" son dos traducciones del inglés "valuation". La única diferencia es que la primera es buena y la segunda es mala, porque la primera se basa en la raíz española (y latina) de "valor" y la segunda conserva absurdamente la raíz inglesa "value".

Otra cosa es que una valoración en lógica proposicional es una aplicación que a cada variable proposicional le asigna un valor de verdad y una valoración en lógica de predicados es una aplicación que a cada variable del lenguaje le asigna un elemento del universo de un modelo. Son dos conceptos matemáticos distintos que reciben el mismo nombre, ya que el contexto los distingue sin ambigüedad.

No veo concordancia entre ambos párrafos.

En el primero creo que das a entender que la forma correcta entre elegir "valoración" y "valuación" es la primera, pero en el segundo párrafo estás diciendo que dependiendo del contexto, se utiliza una u otra. O sea que finalmente sí que está bien decir "valuación" para un contexto y "valoración" para otro. ¿De acuerdo?

Nunca entiendo la diferencia entre lógica proposicional, lógica de predicados y lógica de primer orden, por lo que deberías ayudarme primero a diferenciar bien estos conceptos (ya sé, reitero las preguntas con el paso del tiempo...).



Partamos con la base de lo que yo conozco. Un predicado o función proposicional es una proposición cuantificada, como lo es [texx]\exists x(p(x)\vee q(x))[/texx]. Al ser variable, un predicado (o función proposicional) jamás tendrá un valor de verdad, sino que al particularizarse sí que pasará a tener un valor de verdad.

Ahora bien, un razonamiento es un conjunto de premisas y conclusión que pueden estar cuantificadas o no.

Me faltó definir que una proposición es una sentencia con un valor de verdad.



¿Hasta aquí de acuerdo?

Si todo estuviese más o menos bien, pregunto a continuación por qué término se ajusta mejor a cada situación:

1) Cuando tenemos una proposición sin cuantificador ("Hoy es lunes"), el mejor término para indicar que tiene un valor de verdad es "valuación".

2) Cuando tenemos una proposición cuantificada ("x es un número impar"), el término es "valoración".

3) Cuando tenemos una función proposicional (que puede estar bien como premisa o conclusión de un razonamiento, o bien puede no estar en ningún razonamiento), diremos que el término a usar es "valoración", por estar cuantificada.

¿Son mis 3 apreciaciones correctas?

Sí, pero estaba comparando con las valoraciones de la forma [texx]v_x^a[/texx], que se construyen modificando una valoración dada [texx]v[/texx]. Por eso decía que la función [texx]f[/texx] se construye a partir de [texx]x^2[/texx] en el mismo sentido en que [texx]v_x^a[/texx] se construye a partir de [texx]v[/texx]. Eso no quita para que, en efecto, toda función definida en dos trozos está definida a partir de las dos funciones que determinan su expresión en cada trozo.

Segundo, yo considero que las funciones por tramos son de hecho composiciones.

Pues consideras mal.

Aunque no las llamamos así porque entonces habría que llamar a [texx]g(x)=x^2+2[/texx] una composición de tres funciones, a saber: [texx]g_1(x)=x[/texx], [texx]g_2(x)=x[/texx] y [texx]g_3(x)=2[/texx], entonces [texx]g=g_1\cdot g_2+g_3[/texx]. Un lío, como se aprecia.

No. [texx]g(x)=x^2+2[/texx] es la composición de dos funciones, que son [texx]x\mapsto x^2[/texx] y [texx]x\mapsto x+2[/texx]. (Sin perjuicio de que cualquier función se puede poner de infinitas formas como composición de otras, pero la descomposición que te digo es la natural a partir de la definición de [texx]g[/texx].) En todo caso, otra alternativa natural sería verla como composición de estas tres funciones:

[texx]x\mapsto (x, x)[/texx], [texx](x, y)\mapsto xy[/texx], [texx]z\mapsto z+2[/texx].

Lo que no sirve es lo que tú propones, porque no cuentas el producto (o, alternativamente, el cuadrado) como una de las funciones imprescindibles para obtener la función [texx]g[/texx]. Las opciones que te planteo yo sí son correctas y no tienen nada de lío.

En general, la composición de dos funciones [texx]f: A\longrightarrow B[/texx] y [texx]g:B\longrightarrow C[/texx] es la función [texx]g\circ f: A\longrightarrow C[/texx] dada por [texx](g\circ f)(x)=g(f(x))[/texx].

Eso es una composición de funciones y cualquier otra cosa a la que quieras llamar composición de funciones no es una composición de funciones de acuerdo con el lenguaje matemático universalmente aceptado. En este sentido, una función a trozos NO es la composición de las funciones con que se define su valor en cada trozo.

Claro, la composición es un concepto bien definido, y cualquier atisbo a incluirlo con otra cosa dará lugar a confusión. Entendido.

Muchas gracias, como siempre.

Saludos

Qué mejor regalo para vos que en este momento tenga un número tan bonito como lo es el [texx]2222[/texx] (mi número favorito escrito [texx]4[/texx] veces y además capicúa) de cantidad total de mensajes que puedas observar :risa:. ¡Feliz cumpleaños!
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #6 : 25/07/2019, 10:16:03 pm »

No veo concordancia entre ambos párrafos.

En el primero creo que das a entender que la forma correcta entre elegir "valoración" y "valuación" es la primera, pero en el segundo párrafo estás diciendo que dependiendo del contexto, se utiliza una u otra. O sea que finalmente sí que está bien decir "valuación" para un contexto y "valoración" para otro. ¿De acuerdo?

¿Y de dónde deduces eso si en el segundo párrafo no aparece la palabra "valuación"? Lo que digo en el segundo párrafo es que si lees un libro en inglés, sólo verás una palabra "valuation" usada con un sentido en el contexto de la lógica de predicados y con otro sentido en la lógica proposicional. Que quieras traducir "valuation" bien en un caso y mal en otro para marcar una diferencia que los ingleses no marcan, es cosa tuya, pero yo no he dicho lo que dices que digo.

Nunca entiendo la diferencia entre lógica proposicional, lógica de predicados y lógica de primer orden, por lo que deberías ayudarme primero a diferenciar bien estos conceptos (ya sé, reitero las preguntas con el paso del tiempo...).

Pues se parecen como un calamar a una sardina. En la lógica proposicional, las variables representan afirmaciones, como en [texx]p\land q[/texx] mientras que en la lógica de predicados las variables representan objetos, como en [texx]x\in y[/texx]. La lógica de primer orden es la versión más usada de lógica de predicados, en la que las variables representan objetos de un universo fijo, mientras que en las lógicas de órdenes superiores pueden representar relaciones o funciones entre los objetos del universo, como en [texx]\forall fg\forall x(f(x)=g(x)\rightarrow f=g)[/texx].

Partamos con la base de lo que yo conozco. Un predicado o función proposicional es una proposición cuantificada, como lo es [texx]\exists x(p(x)\vee q(x))[/texx]. Al ser variable, un predicado (o función proposicional) jamás tendrá un valor de verdad, sino que al particularizarse sí que pasará a tener un valor de verdad.

Ahora bien, un razonamiento es un conjunto de premisas y conclusión que pueden estar cuantificadas o no.

Me faltó definir que una proposición es una sentencia con un valor de verdad.



¿Hasta aquí de acuerdo?

Pues no sabría decirte. Me pierdo con todo ese vocabulario, al que nunca le he visto ninguna razón para existir. No creo que encuentres nada escrito por mí donde aparezcan las expresiones "función proposicional", "proposición cuantificada", "predicados", etc. Lo cual no quita para que sea perfectamente legítimo usarlas si uno las define adecuadamente. Sólo digo que yo me pierdo con ese lenguaje porque nunca lo he usado y no me resulta nada familiar.

Si todo estuviese más o menos bien, pregunto a continuación por qué término se ajusta mejor a cada situación:

1) Cuando tenemos una proposición sin cuantificador ("Hoy es lunes"), el mejor término para indicar que tiene un valor de verdad es "valuación".

2) Cuando tenemos una proposición cuantificada ("x es un número impar"), el término es "valoración".

3) Cuando tenemos una función proposicional (que puede estar bien como premisa o conclusión de un razonamiento, o bien puede no estar en ningún razonamiento), diremos que el término a usar es "valoración", por estar cuantificada.

¿Son mis 3 apreciaciones correctas?

Insisto en que "valuación" es simplemente una traducción mala de "valuation", mientras que "valoración" es una traducción buena. Si lees libros en inglés, sólo verás "valuation", luego la distinción la estás tratando de introducir en el proceso de traducción, y no se me ocurre qué argumento puedes tener para hablar de "el mejor término". ¿Por qué traducir mal va a ser mejor que traducir bien? ¿Y qué criterio establece en qué casos una traducción mala es mejor que una buena? ¿Por qué no es mejor traducir mal cuando tú traduces bien y viceversa?

También me parece capcioso que distingas entre cosas cuantificadas y no cuantificadas. Una fórmula de la lógica de predicados puede tener cuantificadores, como [texx]\forall x(x\in u\rightarrow x\in v)[/texx], y otra puede no tenerlos, como [texx]x\in u[/texx], y las dos son fórmulas de la lógica de predicados, sin que la presencia o ausencia de cuantificadores sea relevante para ello.

Lo que las diferencia de las fórmulas de la lógica proposicional es que sus variables representan objetos y no afirmaciones.
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« Respuesta #7 : 26/07/2019, 09:20:21 pm »

Hola

De acuerdo, ya entendí. Gracias.

Sólo me quedaría entender el significado de "objeto" (calamar) en contraposición de "afirmación" (sardina) que sí la entendí.

Saludos
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« Respuesta #8 : 27/07/2019, 06:57:45 am »

Sólo me quedaría entender el significado de "objeto" (calamar) en contraposición de "afirmación" (sardina) que sí la entendí.

Una fórmula de la lógica proposicional puede ser [texx]p\land q[/texx], donde la variable [texx]p[/texx] puede representar "las gallinas son aves" o "los elefantes vuelan". Las variables representan afirmaciones que pueden ser verdaderas o falsas.

Una fórmula de la lógica de predicados puede ser [texx]Hx\rightarrow Mx[/texx], donde la variable [texx]x[/texx] puede ser "Napoleón", "Mi tío Paco", "un señor que pasaba por la calle", etc. Las variables representan objetos, cosas, de modo que no tiene sentido preguntarse si Napoleón es verdadero o falso. Lo que puede ser verdadero o falso es Hx, que podría significar "x es un hombre" o "x es horroroso". Pero la variable es x, no Hx.
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