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Autor Tema: ¿[texx]f[/texx] o [texx]f(x)[/texx]?  (Leído 3098 veces)
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manooooh
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« Respuesta #60 : 09/01/2019, 04:09:51 am »

Hola

Pues me temo que sigo sin entender a qué te refieres. Sin duda es lo mismo demostrar o refutar la conjetura de Goldbach que demostrar o refutar una versión equivalente.

¿Cómo se determina cuándo dos versiones de proposiciones son "equivalentes"?

¿Por qué no sirve probar que la proposición "Hoy es miércoles" es equivalente a probar la conjetura de Goldbach?

Saludos
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feriva
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« Respuesta #61 : 09/01/2019, 05:13:46 am »

Hola

Pues me temo que sigo sin entender a qué te refieres. Sin duda es lo mismo demostrar o refutar la conjetura de Goldbach que demostrar o refutar una versión equivalente.

¿Cómo se determina cuándo dos versiones de proposiciones son "equivalentes"?

¿Por qué no sirve probar que la proposición "Hoy es miércoles" es equivalente a probar la conjetura de Goldbach?

Saludos

Hola, manooooh, buenos días.

Voy a poner un ejemplo con la propia conjetura de Goldbach.

Se pueden listar “todas” las parejas de números cuya suma da un par 2n:

[texx](0+2n);\,(1+(2n-1));(2+(2n-2))...(n+n)
 [/texx]

de forma que todos los números naturales del intervalo semiabierto [0,n) suman simétricamente con los del intervalo (n,2n], y, por último, como es obvio, tenemos la pareja del centro que he dejado fuera (n+n). No hay más parejas posibles.

Si se demostrara (que no es posible, porque es mentira) que la cantidad de primos tanto en [0,n) como en (n,2n] fuera mayor que la cantidad de compuestos, esto sería equivalente a demostrar la conjetura.

Ocurre que la cantidad de números es igual en los dos intervalos. Y, lógicamente, para que no se cumpliera la conjetura, todos los primos de [0,n) deberían sumar con compuestos de (n,2n] y viceversa; pero como los primos son más en los dos lados, esto no es posible (no sería posible si pasara eso, que no pasa, los primos son menos).

De esta manera, no se demostraría directamente que los pares son siempre igual a la suma de dos primos, se demostraría eso, que la cantidad de primos es mayor en ambos intervalos; pero eso implicaría lo otro.

Saludos.
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« Respuesta #62 : 09/01/2019, 05:24:00 am »

Hola feriva, buen día

Voy a poner un ejemplo con la propia conjetura de Goldbach.

Se pueden listar “todas” las parejas de números cuya suma da un par 2n:

[texx](0+2n);\,(1+(2n-1));(2+(2n-2))...(n+n)
 [/texx]

de forma que todos los números naturales del intervalo semiabierto [0,n) suman simétricamente con los del intervalo (n,2n], y, por último, como es obvio, tenemos la pareja del centro que he dejado fuera (n+n). No hay más parejas posibles.

Si se demostrara (que no es posible, porque es mentira) que la cantidad de primos tanto en [0,n) como en (n,2n] fuera mayor que la cantidad de compuestos, esto sería equivalente a demostrar la conjetura.

Ocurre que la cantidad de números es igual en los dos intervalos. Y, lógicamente, para que no se cumpliera la conjetura, todos los primos de [0,n) deberían sumar con compuestos de (n,2n] y viceversa; pero como los primos son más en los dos lados, esto no es posible (no sería posible si pasara eso, que no pasa, los primos son menos).

De esta manera, no se demostraría directamente que los pares son siempre igual a la suma de dos primos, se demostraría eso, que la cantidad de primos es mayor en ambos intervalos; pero eso implicaría lo otro.

Creo que el ejemplo muestra que la cantidad de primos en ciertos intervalos no puede darse; entonces no dice nada de la veracidad de la conjetura de Goldbach. Lo entiendo.

Lo que ocurre es qué pasa cuando sabemos que una proposición es verdadera, y queremos compararla con otra que no sabemos si lo es, pero "depende" de la primera. Pregunto justamente eso: ¿cómo sabemos cuándo una proposición depende de otra? Porque puedo probar que hoy es miércoles, y eso daría por verdadera a la conjetura, pero por algún motivo que desconozco esto no ocurre; no podemos afirmar que como hoy es miércoles se demuestra la conjetura de Goldbach.

Saludos
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #63 : 09/01/2019, 05:58:01 am »

¿Cómo se determina cuándo dos versiones de proposiciones son "equivalentes"?

¿Por qué no sirve probar que la proposición "Hoy es miércoles" es equivalente a probar la conjetura de Goldbach?

Para empezar, "Hoy es miércoles" no es una afirmación del lenguaje de la teoría de conjuntos, lo cual ya la descarta. Pero, si nos restringimos a la teoría de conjuntos, dos afirmaciones [texx]\alpha[/texx] y [texx]\beta[/texx] son equivalentes si puedes demostrar que [texx]\color{red}\alpha\leftrightarrow \beta[/texx], donde "demostrar" significa demostrar usando las reglas de la lógica de primer orden. Si has demostrado esa equivalencia, entonces toda demostración de [texx]\alpha[/texx] puede extenderse hasta una demostración de [texx]\beta[/texx], y viceversa.
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« Respuesta #64 : 09/01/2019, 06:02:24 am »

Hola

¿Cómo se determina cuándo dos versiones de proposiciones son "equivalentes"?

¿Por qué no sirve probar que la proposición "Hoy es miércoles" es equivalente a probar la conjetura de Goldbach?

Para empezar, "Hoy es miércoles" no es una afirmación del lenguaje de la teoría de conjuntos, lo cual ya la descarta. Pero, si nos restringimos a la teoría de conjuntos, dos afirmaciones [texx]\alpha[/texx] y [texx]\beta[/texx] son equivalentes si puedes demostrar que [texx]\alpha\longrightarrow \beta[/texx], donde "demostrar" significa demostrar usando las reglas de la lógica de primer orden. Si has demostrado esa equivalencia, entonces toda demostración de [texx]\alpha[/texx] puede extenderse hasta una demostración de [texx]\beta[/texx], y viceversa.

De acuerdo.

Muchas gracias a todos.

Saludos
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« Respuesta #65 : 09/01/2019, 06:22:56 am »


Creo que el ejemplo muestra que la cantidad de primos en ciertos intervalos no puede darse; entonces no dice nada de la veracidad de la conjetura de Goldbach. Lo entiendo.

Lo que ocurre es qué pasa cuando sabemos que una proposición es verdadera, y queremos compararla con otra que no sabemos si lo es, pero "depende" de la primera. Pregunto justamente eso: ¿cómo sabemos cuándo una proposición depende de otra? Porque puedo probar que hoy es miércoles, y eso daría por verdadera a la conjetura, pero por algún motivo que desconozco esto no ocurre; no podemos afirmar que como hoy es miércoles se demuestra la conjetura de Goldbach.



Hombre, tiene que existir alguna relación, claro :sonrisa:

Pero lo que preguntas contesta a tu pregunta si lo piensas bien. De hecho, aquí donde me ves, hubo un tiempo en que pensaba que la cantidad de compuestos coprimos con 2n (números compuestos con mcd=1 respecto de 2n, ya sabes) era menor que la de los primos en el intervalo (n,2n]. Esto me llevaba casi a tocar con los dedos una demostración; pero, después, al hacer un simple programa, me di cuenta de que no era cierto, de que eso no pasaba siempre ni mucho menos; en cuanto los números son un poco medianos, no digo ya grandes, hay más compuestos coprimos que primos ahí.

Yo no sabía si era verdadero o falso, sospechaba que era cierto y fue falso. Pero y ¿si hubiera sido cierto? Es decir, mejor con el caso que te he puesto, que es más sencillo; y ¿si se hubiera demostrado previamente que hay más primos en los dos lados? Pues se hubiera demostrado. Si no se demuestra, pues no, claro, si no sabes la verdad de una afirmación, no puedes basarte nunca en eso para demostrar nada.

Una cosa que sabes que he discutido en el foro alguna vez, va sobre la hipótesis en las demostraciones de inducción. Se dice coloquialmente, “suponemos que existe algo para n...” Si la existencia sobre “n” fuera una suposición de verdad (si no hubiera seguridad en ello) y se demostrara que se da la igualdad que sea para “n+1”, esto no sería seguro tampoco y o habría tal demostración, puesto que estaría supeditado a una condición para un “n” que no es segura. Lo que pasa es que sabemos que “n”, como poco, es el del caso base; siempre existe algún caso, incluso cuando no se cumple la inducción en general. Así, la hipótesis se hace sobre la inducción en sí, que no es lo mismo que el caso aislado, la inducción de “n” al siguiente, eso es lo que es hipotético y no lo otro.

En primer lugar hay que ver si tal cosa implica la otra; eso hay que verlo antes de demostrarlo, es completamente necesario. Yo no veo la conexión entre que sea miércoles y la conjetura; pero supón que la viera. No demostraría nada hasta que no probase que esa conexión se tiene que dar necesariamente para todos los números y no sólo para unos pocos. Porque Goldbach es cierto, por cantidad de primos, para 2n=8; pues tenemos en (0,n)=(0,4) los números 1,2,3, hay dos primos y un no primo, que es el 1; y en el otro intervalo (n,2n)=(4,8) tenemos 5,6,7, dos primos y sólo un compuesto; es imposible no emparejar dos primos en las sumas posibles para 2n. Si esto fuera así siempre, para cualquier 2n, se cumpliría la conjetura. Tenemos “algo que podría pasar”, pero con que sea miércoles no tenemos nada; de momento, que a saber, que nunca se sabe :cara_de_queso:

Saludos.
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