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Autor Tema: ¿[texx]f[/texx] o [texx]f(x)[/texx]?  (Leído 10303 veces)
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arkady-svidrigailov
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« Respuesta #40 : 05/01/2019, 01:22:38 am »

Todo este tema de la notación siempre me confundió también. Te dejo mis conclusiones si te sirven.

Decir que una función es una terna [texx]f = (A, B, G)[/texx] con [texx]G \subseteq A \times B[/texx] tal que... Que [texx]f(x)[/texx] no es una función sino la imagen de... Etc, es sólo una manera de hablar. La forma de hablar cuando se define todo de forma precisa usando la teoría de conjuntos. Algo que está bueno saber que puede hacerse.

En el día a día es todo mucho más relajado. [texx]f[/texx] o [texx]f(x)[/texx] es una función, y de repente es [texx]f(t)[/texx] la función, siendo [texx]x(t)[/texx] otra función. Al fin y al cabo la notacion depende mucho de la persona que la usa, a pesar de haber ciertas reglas implícitas, por decir así.

De hecho, antes de todo el formalismo, tengo entendido, una variable representaba una cantidad, y ésta podía - entenderse como una función - de otra cantidad, dados los requisitos pertinentes. Por ilustrar esto, hay un libro de Godfrey Hardy en el que define una función diciendo "Se dice que [texx]y[/texx] es una función de [texx]x[/texx] si...", algo así. Me parece la mejor forma de pensar sobre el concepto para manejarlo.
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manooooh
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« Respuesta #41 : 05/01/2019, 04:48:33 am »

Hola

A esto ya te ha contestado argentinator y, por lo que veo, te ha convencido.

Así es. Está bueno cuando más de un usuario participa.

Sólo una duda más con respecto a esto. Es cierto que si digo

[texx]f:\Bbb R\to\Bbb R\mid f(x)=\begin{cases}\dots\\1\wedge x=1\\\color{red}2\wedge x=2\\\dots\end{cases}\equiv\begin{cases}1\wedge x=1\\x\wedge x\neq1\end{cases}\equiv\cdots[/texx]

entonces es un sinsentido pues, como los puntos suspensivos indican una enumeración, ¿por ejemplo qué pasa con los valores en el intervalo [texx](1,2)[/texx]? No los puedo definir y por tanto [texx]f[/texx] en realidad no existe.

Ahora bien, sé que sonará muy insistente, pero ¿no puedo hacerlo así?:

[texx]f':\Bbb R\to\Bbb R\mid f'(x)=\begin{cases}\dots\\1\wedge x=1\\\dots\end{cases}\equiv\begin{cases}1\wedge x=1\\x\wedge x\neq1\end{cases}\equiv\cdots[/texx]

(quité lo que está en rojo). Como vemos, en este caso [texx]f'[/texx] sí está dada como función a trozos, pero esta vez claramente se dice que si [texx]x\neq1[/texx] entonces es [texx]x[/texx]; y si [texx]x=1[/texx] entonces la función vale [texx]1[/texx] allí. ¿Por qué de esta manera también está mal, porque no puedo enumerar una lista infinita?

Responder a la pregunta "¿Si quito esa línea de color rojo ahora es una función?" de la manera "Sí/No" va a aclararme todas las dudas.

Pero es que no hay ningún concepto preciso de "función a trozos", al menos que yo conozca. Es un mero término coloquial para referirse informalmente a ciertas funciones. Precisamente, como estás haciendo afirmaciones que pretenden ser generales sobre funciones a trozos (preguntas si toda función de [texx]\mathbb R[/texx] en [texx]\mathbb R[/texx] puede definirse como una función a trozos) necesito preguntarte a qué llamas exactamente "función a trozos", porque no creo que nadie se haya molestado nunca en dar una definición precisa de "función a trozos", porque no hay teoremas generales sobre "funciones a trozos".

Cuando preguntas si toda función puede definirse mediante una fórmula o si toda función puede definirse a trozos por varias fórmulas estás nadando contra corriente, porque precisamente la teoría de conjuntos se ha inventado (aparte de para fundamentar la matemática) para no tener que preocuparse por la forma en que se define una función. La definición conjuntista de función como conjunto de pares ordenados sirve precisamente para no tener que presuponer nunca que una función tiene una fórmula asociada, precisamente porque los conceptos de "fórmula" o "definición" son muy escurridizos, y la teoría de conjuntos permite estudiar las funciones en general (y las funciones del cálculo de una variable en particular) sin necesidad de hablar nunca de definiciones de funciones, y sin que ello suponga ninguna pérdida de rigor.

No veo que seas contundente. Decís cosas como "(...) porque no creo que nadie se haya molestado nunca en dar una definición precisa de "función a trozos", porque no hay teoremas generales sobre "funciones a trozos" (...)" donde sinceramente decir que porque nadie creó teoremas sobre funciones a trozos entonces no hay definiciones precisas de funciones a trozos es algo bastante subjetivo y, si bien confío en vos, no es una respuesta contundente; "(...) porque los conceptos de "fórmula" o "definición" son muy escurridizos (...)", ¿qué tan escurridizos? ¿Se pueden definir concretamente sin llevar ninguna laguna lógica, sí o no?; "(...) sin necesidad de hablar nunca de definiciones de funciones (...)", ¿y si tengo la necesidad de definir una función a trozos qué, está mal? Ya sé que no está mal, pero estaría bueno (para mí) que digas contundentemente "Podés hacerlo" o "No podés hacerlo".

[texx]f(x)=\begin{cases} 1 & \text{si}& x\in A\\ 0 & \text{si}& x\notin A\end{cases}[/texx]

¿No está claro así de qué función se trata? (...)

Está claro, porque toda función a trozos es una función. Y no puedo definirte "función a trozos" porque no sé hacerlo, pero estoy seguro que toda función se puede escribir como función a trozos (porque me baso en la pregunta a principio de este mensaje).


Pues no sabría ponerte ejemplos más sencillos. Lo siento. No una función sin definición no puede ser algo sencillo. De todos modos, definir una función a partir de una relación de orden no es algo tan raro. Por ejemplo, a ver si entiendes esta definición:

Llamo [texx]f: \mathbb N\longrightarrow \mathbb N[/texx] a la función dada por [texx]f(n) = [/texx] el mínimo número primo [texx]p[/texx] que no divide a [texx]n[/texx]. O, por escribirlo en términos más parecidos al ejemplo anterior:

[texx]f(n) = \min\{p\in \mathbb N\mid p\mbox{ es primo }\land p\nmid n\}[/texx].


¿Entiendes esta definición? Por ejemplo, [texx]f(6) = 5[/texx], porque [texx]6[/texx] es divisible entre los primos [texx]2, 3[/texx], y el menor primo que no está ahí es [texx]5[/texx].

Ahh... ¿y [texx]f(28)=3[/texx] pues [texx]28=2^2\cdot7[/texx], y el menor primo que no está ahí es [texx]3[/texx]?

Creo que tu ejemplo me iluminó. Hasta el momento (olvidando los consensos) se sostiene que la Conjetura de Goldabch no es ni cierta ni falsa. Algo muy relacionado a esto es definir una fórmula para encontrar cualquier número primo; no sé si se probó que es imposible o que no, pero ¿podría ser un ejemplo de función (pues esta función va de [texx]\Bbb N[/texx] hacia [texx]\Bbb N[/texx] y cumple unicidad, bla bla) que, por el momento, NO acepte fórmula?

Eso dependerá de lo que entiendas por fórmula. Te pongo ejemplos donde eso podría ser cuestionable con una definición razonable de fórmula, pero me dices que no los entiendes, con lo que me resulta muy difícil argumentar. Por remitirme al más elemental de los ejemplos que te he puesto (aunque precisamente por eso no es muy bueno como argumento): ¿Consideras que la última función que te he definido, la del mínimo primo, está definida por una fórmula? No te estoy pidiendo que averigües nada, sino que me digas si la definición que te he dado, tal cual te la he dado, responde a lo que tú aceptarías como "función definida mediante una fórmula".

¿La del mínimo y los primos? Considero que esa función no tiene fórmula asociada, aunque no entiendo por qué decís que es función si no afirmaste que cumple los criterios de relación, existencia y unicidad. La prueba la podemos omitir, pero quiero que me digas "Sí, se puede probar". Si no se puede probar, entonces te digo que no es una función y por tanto es absurdo hablar de fórmula o no fórmula.

Ya, pero me temo que hay casos más complicados que ésos para los que tu teoría no funciona. (...)

Volvemos a lo mismo. Te creo, pero ¿qué casos concretamente? ¿Los que están por fuera del Análisis de variable/s real/es?

(...) Tratar de definir la igualdad de funciones mediante equivalencia de fórmulas es meterse en terrenos muy pantanosos. Pero estamos en las mismas. Los ejemplos que trato de ponerte para que veas que eso no funciona en general me dices que son muy complicados, y no te sé poner otros más sencillos.

Quizás no hay ejemplos más sencillos :triste: (salvo lo de la función que encuentre cualquier número primo pero dirás si es un ejemplo válido o no). No es contundente. Al decir "meterse en terrenos muy pantanosos" es afirmar implícitamente que, con mucha paciencia, se puede hacer lo que yo digo. ¿Esto es así, sí o no?

¿Qué tipo de terrenos muy pantanosos hay?

No entiendo la pregunta. Dada una función, puedes calcular el conjunto de sus ceros, que tiene interés para muchas cosas. ¿En qué afecta al interés que tenga el conjunto de ceros el hecho de que además puedes calcular otros conjuntos?

No entiendo la pregunta, pero es claro que uno puede inventarse los conjuntos que quiera. Nada más que hay conjuntos "más importantes" que otros.

Pero es que no hay ninguna imprecisión en ningún cálculo. ¿Qué imprecisión hay en estudiar en qué puntos una función es [texx]\geq 0[/texx]? Es un conjunto perfectamente definido y que, si lo calculas con precisión, pues eso, lo tendrás calculado con precisión.

Prefiero que el [texx]0[/texx] no sea positivo ni negativo, pero no prefiero que sea positivo y negativo.

Bien, pues nadie te discute lo que quieras preferir. Yo también prefiero que el cero sea considerado un número natural, y hay mucha gente que considera lo contrario. Pero no digo que lo que escriben es ambiguo, confuso ni nada parecido.

Ahora entiendo. Vos sostenés que el [texx]0[/texx] es positivo y negativo a la vez. Yo sostengo que el [texx]0[/texx] no es ninguno de los dos. Con mi definición, si pido el conjunto de los [texx]x[/texx] tales que la función tome valores positivos, al ser [texx]0[/texx] un número NO positivo, debo calcular [texx]f(x)>0[/texx] (análogo para el negativo). Ojo que también puedo calcular [texx]f(x)\geq0[/texx], pero yo pido los que hagan la función positiva, entonces [texx]f(x)\geq0[/texx] no hace positiva la función, sino [texx]f(x)>0[/texx]. Pero claro que se puede calcular [texx]f(x)\geq0[/texx].

Como vos decís que el [texx]0[/texx] es ambas cosas a la vez, pues si te pido lo mismo que antes, esto es "el conjunto de los [texx]x[/texx] tales que la función tome valores positivos", pues deberás calcular [texx]f(x)\geq0[/texx] (análogo para el negativo), porque considerás al [texx]0[/texx] como positivo y negativo. ¿Bien?

Pero ahí estás pasando de que te dan un punto [texx]m=2[/texx] a la afirmación falsa [texx]forall m m = 2[/texx], obviamente es mejor no usar la misma letra para nombrar el punto que para definir la función, pero eso es algo mucho más elemental (y sin duda saludable) que el convenio más concreto de usar notaciones estándar para distinguir "puntos genéricos" y "puntos concretos". Cuando te decía que ese convenio (sin duda útil) es prescindible en teoría, no me refería a que puedes llamar con el mismo nombre a todo, sino que, en lugar de distinguir entre [texx]m[/texx] y [texx]m_0[/texx], en teoría podrias usar [texx]m[/texx] y [texx]j[/texx] y no pasaría nada, aunque, desde luego, sería más molesto de leer.

¿Entonces no hay ninguna laguna lógica si lisa y llanamente digo que [texx]f(m)=m+2[/texx] y, luego, [texx]m=2[/texx]?

Pero es que lo único que trataba de hacerte entender es cómo se define la función. Trataba de que entendieras qué es en ese caso [texx]f(x)[/texx], y creo que un ejemplo es una buena forma de que lo entiendas, sobre todo porque en el ejemplo no se usa ninguna propiedad específica de [texx]\pi[/texx]. (Sólo se usa que está entre 2 y 3, y cualquier número real está igualmente entre un entero y su siguiente.) ¿Has entendido cómo está definida esa función? Porque cuando lo entiendas, todo lo demás será evidente: para cada número [texx]x[/texx], siempre existe un único entero [texx]n[/texx] que cumple [texx]f(x)=n[/texx], porque, o bien hay un natural mayor que [texx]x[/texx] que no es suma de dos primos, y entonces ese [texx]n[/texx] es el único número real que cumple [texx]f(x)=n[/texx], por definición de [texx]f[/texx], o bien no existe tal [texx]n[/texx] y entonces [texx]0[/texx] es el único número real que cumple [texx]f(0)=n[/texx].

La cuestión es si entiendes o no la definición de [texx]f[/texx]. Si la entiendes, todo lo demás es trivial, y es un ejemplo de función que sólo podrás probar que es igual a la función dada por

[texx]f(x)=\begin{cases} 2 & \text{si}& x\leq 2\\ 0 & \text{si}& x>2\end{cases}[/texx]

demostrando la conjetura de Goldbach, algo que tira por tierra tu teoría de las fórmulas y las equivalencias por relaciones fundamentales.

Mira si se prueba la conjetura de Goldbach... :rodando_los_ojos:.

Ahora me queda más claro; sin embargo no entiendo cuando decís "(...) o bien no existe tal [texx]n[/texx] y entonces [texx]0[/texx] es el único número real que cumple [texx]f(0)=n[/texx]".

Pero ¿desde cuándo hay que buscar números? Haces un planteamiento totalmente artificial. Incluso con tu criterio, el [texx]-4[/texx] estará en un conjunto distinto para cada función [texx]f[/texx] que consideres. ¿Otra vez se van a colgar todos los ordenadores de universo porque no sabrán qué [texx]f[/texx] tomar para buscar el [texx]-4[/texx]?

¿Qué tiene que ver una definición matemática con lo que hagan o dejen de hacer los ordenadores? Hay muchos conceptos matemáticos que no caben en ningún ordenador, porque no tienen de finitista ni una coma. ¿Se cuelgan todos los ordenadores del universo porque no sepan dónde buscar [texx]\aleph_{534}[/texx]?

No, no se cuelgan.

Si por "Pero ¿desde cuándo hay que buscar números?" te referís a "¿Para qué existen los [texx]C^0,C^+,C^-,\ldots[/texx]?" entonces vos sabés que esos tres conjuntos, mas muchos otros, son muy importantes en matemáticas y en la vida cotidiana.

Saludos
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« Respuesta #42 : 05/01/2019, 04:59:20 am »

Hola arkady-svidrigailov, muchas gracias por tu mensaje

Te dejo mis conclusiones si te sirven.

La única conclusión que quiero saber es si es redundante o no escribir [texx]f(x)[/texx] una vez definida [texx]f[/texx]. ¿Podrías contestar específicamente a esto, por favor?

En el día a día es todo mucho más relajado (...)

Ya, entiendo que hoy en día no se busca la rigurosidad completa en todo. A lo que voy no es si es mejor o peor escribir [texx]f(x)[/texx] o [texx]f(A)[/texx] o lo que sea, sino si es lógicamente riguroso olvidarse de [texx](x)[/texx] o [texx](A)[/texx] o lo que sea una vez definida [texx]f[/texx], dentro de un texto matemático. ¿Opinás que podemos olvidarnos o no?

Saludos
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« Respuesta #43 : 05/01/2019, 05:02:05 am »

Según he entendido a lo largo de las 3 páginas que llevamos discutiendo, decir [texx]f[/texx] (o cualquier otra letra) es más recomendable que decir [texx]f(\text{algo})[/texx] una vez definida [texx]f(\text{algo})[/texx], porque en un mismo texto matemático ese "algo" puede ser en cualquier momento otro "algo", [texx]\text{algo}_1[/texx] y entonces todas las veces que dijimos [texx]f(\text{algo})[/texx], luego de definir [texx]f[/texx], quedará obsoleto. ¿De acuerdo?
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« Respuesta #44 : 05/01/2019, 05:48:18 am »

Buenos días, manooooh. Me gustaría hacer un resumen del hilo, sacar algunas conclusiones de lo que hemos dicho los que hemos participado en él.

La pregunta o título es [texx]f
 [/texx] ó [texx]f(x)
 [/texx], y la respuesta se concreta en [texx]f
 [/texx] y [texx]f(x)
 [/texx]; juntas pero no revueltas.

Pero el que sean distintas es porque, como reza el dicho, nada es verdad ni es mentira, todo es según del color con que se mira. Y el color es la definición que podamos tener en la cabeza de eso que consideramos. La cuestión, creo, ya ha quedado clara; f consta de una regla o procedimiento (que puede ser muy abstracto y caprichoso, no fácilmente “escribible” con símbolos) de tal forma que ese procedimiento da lugar a elementos emparejados; o no digamos emparejados, digamos agrupados, de forma que esos grupos, a la vez, se pueden considerar elementos compuestos; por ejemplo: [texx]\left(x,f(x)\right)
 [/texx], [texx]\left(a,b,f(a,b)\right)
 [/texx] ó [texx]\left((a,b),f(a,b)\right)
 [/texx]... lo que sea.

Decías

Cita

Prefiero que el 0 no sea positivo ni negativo, pero no prefiero que sea positivo y negativo.


¿Te has planteado preferir las dos cosas? Porque ésa es la cuestión.

Hoy en día está muy de moda hablar del bit cuántico

https://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%BAbit

El cúbit guarda “dentro” dos valores posibles, 1 y 0, pero es porque no guarda ninguno en particular, no guarda ninguno de los dos exclusivamente.

¿Qué implica eso? Mucho más de lo que la gente ve a primera vista.

Un byte es un número binario de 8 cifras (ceros o unos); si cada bit, cada cifra, guarda los dos valores a la vez, entonces ¿cuántos números distintos son o es un byte? Pues si un byte tiene 8 cifras y cada una vale 1 y cero, supone que un mismo número en realidad sean [texx]2^{8}
 [/texx] números diferentes en potencia, es decir, 256 números “distintos” son el “mismo” número.

Y claro, de aquí, generalizando esa idea, el día de mañana, cuando la gente cambie la mentalidad “griega” del tercero excluido que predomina en nosotros, pues no será raro que, en ciertos contextos, sea correcto escribir algo como [texx]\mathbb{N=}123
 [/texx] ó [texx]\mathbb{N=}4
 [/texx] ó cualquier número en particular.

Todo depende del momento, de lo subjetivamente que percibimos el tiempo; probablemente, sin tiempo, no existan cosas distintas, quizá existirá la “cosa”.

Decías también sobre el ordenador que

Cita

Muy probablemente será mi herramienta de un trabajo futuro


Pues piensa eso, quizá mañana no haya números ni signos ni entes distintos en ese sentido, habrá un ente que pueda estar en distintos estados, que sea muchas cosas a la “vez”; y esos estados podrán depender del software, del usuario... o, en definitiva, de definiciones acordadas más colectivamente o más particularmente. Vete acostumbrando :sonrisa:

En cuanto a tu última pregunta, que no había visto:

Según he entendido a lo largo de las 3 páginas que llevamos discutiendo, decir [texx]f[/texx] (o cualquier otra letra) es más recomendable que decir [texx]f(\text{algo})[/texx] una vez definida [texx]f(\text{algo})[/texx], porque en un mismo texto matemático ese "algo" puede ser en cualquier momento otro "algo", [texx]\text{algo}_1[/texx] y entonces todas las veces que dijimos [texx]f(\text{algo})[/texx], luego de definir [texx]f[/texx], quedará obsoleto. ¿De acuerdo?

Yo me atrevo a escribir esto (cuidado con los ojos, que a lo mejor pueden sangrar por falta de costumbre):

Definada la variable, sea x, se tiene

[texx]x\in f
 [/texx] y también [texx]f(x)\in f
 [/texx]

Pese a que seguramente no es muy correcto ese "pertenece", así se ve bien la diferencia en cuanto a conceptos.

Saludos.
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #45 : 05/01/2019, 10:41:19 am »

[texx]f':\Bbb R\to\Bbb R\mid f'(x)=\begin{cases}\dots\\1\wedge x=1\\\dots\end{cases}\equiv\begin{cases}1\wedge x=1\\x\wedge x\neq1\end{cases}\equiv\cdots[/texx]

(quité lo que está en rojo). Como vemos, en este caso [texx]f'[/texx] sí está dada como función a trozos, pero esta vez claramente se dice que si [texx]x\neq1[/texx] entonces es [texx]x[/texx]; y si [texx]x=1[/texx] entonces la función vale [texx]1[/texx] allí. ¿Por qué de esta manera también está mal, porque no puedo enumerar una lista infinita?

Pues no es que esté bien o esté mal. Es que yo leo eso, aislado, sin tus explicaciones posteriores, y no lo entiendo, con o sin la línea en rojo. Me refiero a la primera de las dos expresiones que pones. Y, en cuanto a la segunda, la que ya no tiene puntos suspensivos, pues dando por hecho que cuando pones [texx]\land[/texx] quieres decir "si", pues me podría hacer una idea de lo que quieres decir, aunque no entendería por qué separas el caso [texx]x=1[/texx] de todos los demás si también en ese caso se cumple [texx]f(x)=x[/texx], y luego, cuando pones al final tres rayitas y unos puntos suspensivos, ahí si que no adivino qué pueden significar esos puntos suspensivos.

De hecho, ya no estoy seguro del todo de si con esos jeroglíficos pretendes definir la humilde función [texx]f(x)=x[/texx].

Responder a la pregunta "¿Si quito esa línea de color rojo ahora es una función?" de la manera "Sí/No" va a aclararme todas las dudas.

Pues la única respusta que puedo darte es que, a mi juicio, eso que has escrito no se entiende. A lo sumo se puede adivinar lo que pretendes decir leyendo tus comentarios, pero es la antítesis de lo que tiene que ser una notación matemática, algo que se entienda por sí solo.

No veo que seas contundente. Decís cosas como "(...) porque no creo que nadie se haya molestado nunca en dar una definición precisa de "función a trozos", porque no hay teoremas generales sobre "funciones a trozos" (...)" donde sinceramente decir que porque nadie creó teoremas sobre funciones a trozos entonces no hay definiciones precisas de funciones a trozos es algo bastante subjetivo y, si bien confío en vos, no es una respuesta contundente; "(...) porque los conceptos de "fórmula" o "definición" son muy escurridizos (...)", ¿qué tan escurridizos? ¿Se pueden definir concretamente sin llevar ninguna laguna lógica, sí o no?;

Ahí se mezclan dos cosas. Por una parte está el hecho de que yo no soy dios. No conozco todo lo que se ha escrito sobre matemáticas a lo largo de la historia. Te digo que "no creo que nadie se haya molestado nunca en dar una definición precisa de funcion a trozos" porque no puedo descartar que un tal Y. Trozurian hubiera escrito en 1943 una tesis doctoral sobre funciones a trozos y hubiera demostrado algunos teoremas sobre ellas, consultable en armenio en la biblioteca nacional de Erevan.

En cualquier caso, aunque existiera tal tesis doctoral, sí te digo que sería irrelevante para el uso actual de las matemáticas, tanto desde el punto de vista de su fundamentación como desde el punto de vista de su uso en la práctica.

Por otro lado, cuando te hablo de terrenos pantanosos y de cosas escurridizas es porque para entrar en detalles sobre esas cosas tendría que hablarte del concepto de objeto definible en un modelo de ZFC, de los conceptos de conjunto constructible y conjunto definible mediante ordinales, me vienen a la mente las funciones genéricas del forcing como ejemplos de funciones sin definición, etc., pero sucede que en cuanto trato de hablarte de cosas que son muchísimo menos sofisticadas que cualquiera de éstas, me dices que no entiendes los ejemplos que te pongo, lo cual es lógico, no hay ninguna queja ni ningún reproche en mis palabras, pero el hecho es que me quedo en una situación de indefensión. No puedo darte argumentos sólidos porque no sé dártelos sin entrar en conceptos muy sofisticados.

"(...) sin necesidad de hablar nunca de definiciones de funciones (...)", ¿y si tengo la necesidad de definir una función a trozos qué, está mal? Ya sé que no está mal, pero estaría bueno (para mí) que digas contundentemente "Podés hacerlo" o "No podés hacerlo".

Se te escapa la sutileza: digo que puedes definir funciones y funciones a trozos sin necesidad de hablar nunca de definiciones de funciones o de funciones a trozos. Por ejemplo, yo puedo definir [texx]f:\mathbb R\longrightarrow \mathbb R[/texx]:

[texx]f(x)=\begin{cases} 3 & \text{si}& x>5\\ 2 & \text{si}& x\leq 5\end{cases}[/texx]

Y eso es una definición completamente rigurosa de una función a trozos, y puedo hacerlo sin necesidad de haber definido antes lo que es una función a trozos. La definición es rigurosa porque si alguien me pregunta cómo hay que entender esa definición (formalmente), la respuesta formal y rigurosa es que eso es una forma de expresar la función

[texx]f=\{(x, y)\in \mathbb R^2\mid (x>5\land y=3)\lor (x\leq 5\land y=2)\}[/texx]

Y así he definido una función a trozos sin definir el concepto de "función a trozos". Lo que te decía es si necesitas definir funciones a trozos (que es lo más habitual) puedes definir todas las que quieras sin necesidad de definir primero el concepto de función definible a trozos.

Te decía también que toda la matemática conjuntista moderna está enfocada a hablar de conjuntos y funciones sin tener que pararse a especificar cómo se definen en la práctica. Entrar en cuestiones de definibilidad es entrar en cuestiones lógicas delicadas que son absolutamente innecesarias tanto en la fundamentación de las matemáticas como en su uso práctico.

Por eso hablar de funciones como "dominio, codominio, fórmula" es "retro", es la antítesis del enfoque moderno, conjuntista, de la fundamentación de la matemática, y no es sólo una cuestión de estilo, es que no es sostenible que toda función tenga que tener asociada una fórmula que la defina, por lo menos, con una precisión adecuada de fórmula en este contexto que excluya falsas definiciones circulares, y soy consciente de que esta frase resulta oscura, pero no soy capaz de explicarla sin entrar en tecnicismos.

En cualquier libro serio te encontrarás con que dos funciones [texx]f: A\longrightarrow B[/texx] y [texx]g: A'\longrightarrow B'[/texx] son iguales si y sólo si [texx]A=A'[/texx] y [texx]\forall x\in A(f(x)=g(x))[/texx]. Y ya está. Sin fórmulas ni nada.

A lo sumo, si han adoptado una definición retocada de función para que éstas determinen sus codominios, añadirán la condición [texx]B=B'[/texx], pero eso ya es menos usual.

[texx]f(x)=\begin{cases} 1 & \text{si}& x\in A\\ 0 & \text{si}& x\notin A\end{cases}[/texx]

¿No está claro así de qué función se trata? (...)

Está claro, porque toda función a trozos es una función. Y no puedo definirte "función a trozos" porque no sé hacerlo, pero estoy seguro que toda función se puede escribir como función a trozos (porque me baso en la pregunta a principio de este mensaje).

Pero esto venía a cuento de que te había puesto un ejemplo de función que podríamos considerar que no admite definición si entendemos que una definición no puede dejar parámetros indefinidos, y nos habíamos parado porque me decías que no entendías de qué función te estaba hablando. Si ahora ya entiendes qué función es, podrías releer lo que te decía sobre ella. Concretamente, ¿qué sucede si el conjunto [texx]A[/texx] no admite una definición? ¿Dirías entonces que la función definida así a partir de [texx]A[/texx] tiene una definición? ¿Admites que una función definida a trozos pueda separar los trozos mediante conjuntos no definibles o eso ya no lo llamarías función definida a trozos?

Ahh... ¿y [texx]f(28)=3[/texx] pues [texx]28=2^2\cdot7[/texx], y el menor primo que no está ahí es [texx]3[/texx]?

Eso es.

Creo que tu ejemplo me iluminó.

Pues en otra ocasión te puse un ejemplo (el que hablaba de [texx]\pi[/texx]) para tratar de iluminarte y te quejaste de que un ejemplo no sirve.

Hasta el momento (olvidando los consensos) se sostiene que la Conjetura de Goldabch no es ni cierta ni falsa.

Yo diría que la conjetura de Goldbach es cierta o falsa. Otra cosa es que no sepamos cuál es el caso. Incluso, aunque no me parece plausible, podría darse el caso de que fuera cierta y que no pudiera demostrarse que lo es.

Algo muy relacionado a esto es definir una fórmula para encontrar cualquier número primo; no sé si se probó que es imposible o que no, pero ¿podría ser un ejemplo de función (pues esta función va de [texx]\Bbb N[/texx] hacia [texx]\Bbb N[/texx] y cumple unicidad, bla bla) que, por el momento, NO acepte fórmula?

¿La que enumera los primos? Me parece que Luis no ha pasado por este hilo, porque como lo lea te remitirá a un enlace al que remite a todo el que dice algo así, donde se da una definición elemental de una función que enumera los primos.

¿La del mínimo y los primos? Considero que esa función no tiene fórmula asociada, aunque no entiendo por qué decís que es función si no afirmaste que cumple los criterios de relación, existencia y unicidad. La prueba la podemos omitir, pero quiero que me digas "Sí, se puede probar". Si no se puede probar, entonces te digo que no es una función y por tanto es absurdo hablar de fórmula o no fórmula.

Pero ahí hay algo que no encaja del todo en tus neuronas, porque si realmente has entendido cómo funciona esa función, no puede ser que me pidas una prueba de "relación, existencia y unicidad". Hay algo que se me escapa y que no entiendes, porque si no, no dirías eso. Si has entendido que [texx]f(28)=3[/texx], tendrías que haber entendido que, dado cualquier número natural [texx]n[/texx], siempre puedes descomponerlo en primos, con lo que obtienes un número finito de primos, con lo que el conjunto de los primos que no están en ese conjunto es no vacío (porque hay infinitos primos) y siempre puedes tomar el mínimo [texx]p[/texx] de todos ellos, y ese [texx]p[/texx], que existe y es único, es el único que cumple [texx](n,p)\in f[/texx], luego, en efecto, [texx]f[/texx] es por definición una relación definida sobre los números naturales tal que para cada [texx]n[/texx] hay un único [texx]p[/texx] que cumple [texx](n,p)\in f[/texx].

Pero insisto en que todo esto no debería hacer falta. Deberías tener claro que siempre que puedes asignar a cada [texx]x[/texx] en un conjunto [texx]A[/texx] un único [texx]y[/texx] en un conjunto [texx]B[/texx] tienes definida una función [texx]f: A\longrightarrow B[/texx]. En este caso, si has visto que a cada [texx]n[/texx] le podemos asignar un [texx]p[/texx] (el mínimo primo que no divide a [texx]n[/texx]) entonces deberías tener claro que con eso hemos definido una función de [texx]\mathbb N[/texx] en [texx]\mathbb N[/texx].

Entonces, sí, te digo que se puede demostrar que [texx]f[/texx] es una función. Te lo acabo de demostrar, de hecho. Y entonces me dices que eso es un ejemplo de función que no está definida por una fórmula. ¿Entonces ya está? ¿Te has convencido de que no toda función puede definirse mediante una fórmula?

Aunque podría quedar un cabo suelto: ¿te sirve esa [texx]f[/texx] también como ejemplo de función no definida a trozos?

Volvemos a lo mismo. Te creo, pero ¿qué casos concretamente? ¿Los que están por fuera del Análisis de variable/s real/es?

Pues los que ya te he tratado de dar, pero que me dices que no entiendes. Pero no puedes decir que no te los he dado. Te los repito:

1) Está la función del mínimo primo que no divide a [texx]n[/texx]. Parece que me has admitido que no está definida por una fórmula, con lo cual ya no puedes decir que una función está determinada por su dominio, su codominio y su fórmula.

2)Te he puesto el ejemplo de la función definida en función de si un número es o no suma de dos primos, que es igual a otra función definida de forma elemental si y sólo si se cumple la conjetura de Goldbach, con lo cual aun suponiendo que ésta se demostrara, ese ejemplo tira por tierra tu idea de que dos funciones son iguales si sus fórmulas son equivalentes a través de operaciones fundamentales. En este caso, aunque se demostrara la conjetura de Goldbach, la equivalencia no tendría nada de "operaciones fundamentales".

3) Es posible usar un concepto de fórmula más generoso que haga que los ejemplos anteriores sí que se consideren definidos mediante una fórmula, pero en tal caso te he puesto el ejemplo de la función definida a trozos a partir de un conjunto [texx]A[/texx] de modo que a su vez el conjunto [texx]A[/texx] no admita definición (por ejemplo, por ser no medible Lebesgue, un concepto que aparece en cualquier tratamiento sólido del cálculo integral de una y varias variables, aunque, ciertamente. no en un curso introductorio).

4) También te he puesto un ejemplo de función [texx]f: \mathbb R\longrightarrow \mathbb R[/texx] definida a partir de un buen orden en [texx]\mathbb R[/texx], que es muy similar a la función que me has reconocido que no está definida mediante una fórmula, pero en la que además aparece explícitamente un parámetro no definible.

5) Y habría ejemplos mucho más concluyentes, pero esos ya no soy capaz de explicártelos en términos asequibles. Por ejemplo, una función [texx]f: \mathbb N\longrightarrow \mathbb N[/texx] genérica sobre la clase de los conjuntos constructibles, o una exensión de ella a [texx]\mathbb R[/texx] de cualquier forma elemental. Y pongo esto para que si me lee alguien que entienda de estas cosas sepa en qué estoy pensando, pero no puedo explicarte lo que significa eso. Pero la idea es que es un ejemplo de función que puede probarse que es consistente que exista, pero que no admite una definición la mires como la mires.

(...) Tratar de definir la igualdad de funciones mediante equivalencia de fórmulas es meterse en terrenos muy pantanosos. Pero estamos en las mismas. Los ejemplos que trato de ponerte para que veas que eso no funciona en general me dices que son muy complicados, y no te sé poner otros más sencillos.

Quizás no hay ejemplos más sencillos :triste: (salvo lo de la función que encuentre cualquier número primo pero dirás si es un ejemplo válido o no). No es contundente. Al decir "meterse en terrenos muy pantanosos" es afirmar implícitamente que, con mucha paciencia, se puede hacer lo que yo digo. ¿Esto es así, sí o no?

No, no es una cuestión de paciencia.

¿Qué tipo de terrenos muy pantanosos hay?

Pues, por una parte, hay que precisar qué quieres decir con fórmula. Lo usual es una definición más generosa que las que tú estás manejando, entendiendo por fórmula cualquier afirmación del lenguaje de la teoría de conjuntos, pero entonces resulta esencial concretar hasta qué punto admitimos que esa fórmula admita parámetros, porque si admitimos cualquier clase de parámetro, nos encontramos con que todo conjunto podría "definirse" a partir de sí mismo de forma trivial (circular), pero eso no es un concepto de definición "razonable".

En el caso más simple, en el que no admitamos parámetros, sucede que hay ciertos resultados lógicos que afirman que el concepto de definibilidad en un modelo no es definible en el modelo. No soy capaz de explicar aquí qué significa ese trabalenguas en pocas palabras.

Gödel sorteó hasta cierto punto ese problema a condición de admitir como parámetros en una definición ordinales arbitrarios, y eso lleva al concepto de "conjunto definible por ordinales", que usualmente conviene refinar al de "conjunto hereditariamente definible por ordinales", de modo que los conjuntos definibles por ordinales resultan ser los de la forma

[texx]\{x\mid \phi(x, \alpha_1,\ldots , \alpha_n\}[/texx]

donde [texx]\alpha_1, \ldots, \alpha_n[/texx] son ordinales. Esta es una definición de definibilidad muy general, aunque no totalmente general, pero, en cualquier caso, mucho más general que la que tú tienes en mente, y sucede que, con esta definición, es consistente que todo conjunto sea hereditariamente definible por sucesiones de ordinales, pero eso no significa que toda función de las que tú estás considerando admita una definición de las que tú estás pensando, sino otras que involucran ordinales y que de poco te servirían para estudiar si una función es continua o derivable. Pero por otra parte, también es consistente que haya funciones [texx]f:\mathbb R\longrightarrow \mathbb R[/texx] que no son definibles por ordinales, con lo que mucho menos admitirían una definición en el sentido sencillo en el que tú estás pensando.

Y podría añadir muchos más matices, pero no creo que tenga sentido hacerlo. Es en estas cosas en las que estoy pensando cada vez que adviertes que escurro el bulto y hablo de terrenos pantanosos. No es una cuestión de paciencia, sino de que entrar en el terreno de la definibilidad lleva a cosas muy complicadas.

Pero lo importante es que nada de eso es necesario para fundamentar la matemática en general y el análisis de una variable en particular. Por eso es contraproducente vincular el concepto de función al de "fórmula definitoria", ni clasificar las funciones por la forma en que se definen, porque no es necesario en absoluto y sólo lleva a complicaciones innecesarias. La teoría de conjuntos permite hablar de conjuntos (en particular funciones) arbitrarios sin presuponer nada sobre cómo se definen, y luego puedes definir conjuntos (y funciones) concretos mediante definiciones rigurosas concretas, sin necesidad de apelar a ninguna teoría general de la definición.

No entiendo la pregunta. Dada una función, puedes calcular el conjunto de sus ceros, que tiene interés para muchas cosas. ¿En qué afecta al interés que tenga el conjunto de ceros el hecho de que además puedes calcular otros conjuntos?

No entiendo la pregunta, pero es claro que uno puede inventarse los conjuntos que quiera. Nada más que hay conjuntos "más importantes" que otros.

La pregunta que yo no entendía era tu pregunta de para qué calculamos [texx]\mathcal C^0[/texx]. Quiero decir que calcularemos [texx]\mathcal C^0[/texx] siempre que convenga calcular [texx]\mathcal C^0[/texx], y que eso no depende para nada de cómo definamos los conceptos de positivo y negativo. Por eso te preguntaba qué tiene que ver cómo definamos otros conjuntos o el hecho de que podamos calcularlos para que tenga o no interés calcular [texx]\mathcal C^0[/texx]. El interés del cálculo de [texx]\mathcal C^0[/texx] no depende para nada de que haya otros conjuntos que se puedan calcular.

Por ejemplo, si tengo una función [texx]f[/texx] y quiero saber dónde puedo calcular su raíz cuadrada, necesitaré el conjunto [texx]\{x\in \mathbb R\mid f(x)\geq 0\}[/texx], y calcularé ese conjunto, con [texx]\geq[/texx] y no con [texx]>[/texx], y eso no quita para que si necesito poner esa función en un denominador entonces me interese el conjunto donde [texx]f(x)[/texx] vale [texx]0[/texx] (o su complementario, donde no vale [texx]0[/texx]). Uno calcula lo que necesita calcular. Y el hecho de que calcule una cosa no añade ni quita interés a calcular otra.

Ahora entiendo. Vos sostenés que el [texx]0[/texx] es positivo y negativo a la vez.

No, no es cierto. Si alguien, antes de empezar este hilo, me hubiera preguntado si el 0 es un número natural, le habría dicho que para mí sí, aunque para otros no, pero si alguien me hubiera preguntado si considero que el 0 es positivo y negativo a la vez, me habría encogido de hombros. Le habría dicho "eso dependerá de cada cual" y a mí, personalmente, me da igual.

Por ejemplo, hace un tiempo usaba en mis clases un programa de optimización que se llama GAMS (ahora uso otro, pero GAMS sigue estando vigente, y puedes descargártelo gratuitamente en la red). En ese programa, para especificar que en la solución de un problema de optimización las variables [texx]x, y, z[/texx] tienen que ser [texx]\geq 0[/texx] hay que escribir:

Positive variables x, y, z;

Así pues, ahí tienes un programa informático para el cual (o para cuyos programadores) "positivo" significa [texx]\geq 0[/texx]. Y, por supuesto, si quieres que las variables sean [texx]\leq 0[/texx], tienes que ponerle

Negative variables x, y, z;

Así, GAMS considera al 0 como positivo y como negativo a la vez. Y, como no puedes discutir con un ordenador, tienes que tener claro que si trabajas con ese programa, cuando quieras decirle [texx]\geq 0[/texx] tendrás que decirle [texx]x[/texx] es positivo. Y te aseguro que GAMS funciona perfectamente, y nunca me he encontrado con que se quedara colgado porque no encontrara el cero, como tanto parece preocuparte a ti.

De hecho, como en optimización con restricciones siempre se consideran restricciones de tipo [texx]x\geq 0[/texx] o [texx]x\leq 0[/texx], y nunca de tipo [texx]x>0[/texx] o [texx]x<0[/texx], en ese contexto es más cómodo llamar positivos a los números [texx]\geq 0[/texx]. Sin embargo, en otros contextos puede ser más conveniente el convenio opuesto.

Yo sostengo que el [texx]0[/texx] no es ninguno de los dos. Con mi definición, si pido el conjunto de los [texx]x[/texx] tales que la función tome valores positivos, al ser [texx]0[/texx] un número NO positivo, debo calcular [texx]f(x)>0[/texx] (análogo para el negativo). Ojo que también puedo calcular [texx]f(x)\geq0[/texx], pero yo pido los que hagan la función positiva, entonces [texx]f(x)\geq0[/texx] no hace positiva la función, sino [texx]f(x)>0[/texx]. Pero claro que se puede calcular [texx]f(x)\geq0[/texx].

Como vos decís que el [texx]0[/texx] es ambas cosas a la vez, pues si te pido lo mismo que antes, esto es "el conjunto de los [texx]x[/texx] tales que la función tome valores positivos", pues deberás calcular [texx]f(x)\geq0[/texx] (análogo para el negativo), porque considerás al [texx]0[/texx] como positivo y negativo. ¿Bien?

Bien, salvo que yo no digo nada. A mí me da igual si el 0 es positivo o no. Si fuera yo quien tuviera que enunciar los problemas que planteas, diría: Calcular el conjunto donde [texx]f(x)>0[/texx] o donce [texx]f(x)\geq 0[/texx], sin meterme en camisa de once varas llamando positivos a los unos o a los otros.

Yo sólo digo que los dos criterios son rigurosos, claros, y todo lo que tú dices que no son. Y que no traumatizan a ningún ordenador. Y que en contextos diferentes puede ser más conveniente aplicar uno u otro, o incluso no aplicar ninguno si puede inducir a confusión.

Otro ejemplo que se me ocurre: Es típico del análisis hablar de "Series de términos positivos", que son sumas infinitas de números reales que cumplen criterios específicos de convergencia que no valen para series arbitrarias, y las "series de términos positivos" se definen como las series [texx]\sum_{n=0}^\infty a_n[/texx] tales que [texx]a_n\geq 0[/texx], y eso creo que es bastante estándar.

¿Entonces no hay ninguna laguna lógica si lisa y llanamente digo que [texx]f(m)=m+2[/texx] y, luego, [texx]m=2[/texx]?

Así, aislado, eso induce a entender que sólo estás diciendo que [texx]f(2)=4[/texx], pero es que la notación matemática usual no sólo depende de las fórmulas, sino también de las palabras que las acompañan. Si no dices sólo [texx]f(m)=m+2[/texx], sino que dices, "sea [texx]f:\mathbb R\longrightarrow \mathbb R[/texx] la función dada por [texx]f(m)=m+2[/texx]" y luego dices "estudiar la continuidad en [texx]m=2[/texx]", está perfectamente claro que las emes son distintas en cada caso, aunque, por supuesto, es mejor no usar la misma letra.

Te pongo otro caso:

Dada la función [texx]f:\mathbb R\longrightarrow \mathbb R[/texx] dada por [texx]f(x)=|x|[/texx], estudiar si es derivable en [texx]x_0=0[/texx] y en [texx]x_0=1[/texx].


¿Deducirías de ahí que [texx]0 = x_0 = 1[/texx]? Si, por ejemplo, has dado la definición de derivabilidad usando las letras [texx]x[/texx] y [texx]x_0[/texx], es razonable que para un ejercicio en el que pretendes aplicar esa definición mantengas la notación [texx]x_0[/texx] para el punto en los dos casos, indicando que se trata de aplicar la definición de derivabilidad sustituyendo [texx]x_0=0[/texx] en un caso y [texx]x_0=1[/texx] en otro caso. Repetir la misma letra puede ser orientativo, por ejemplo, si es una forma de relacionar el enunciado del problema con la definición de derivabilidad, para que el alumno sepa que, en ambos casos, debe tomar el dato como el [texx]x_0[/texx] que aparece en general en la definición.

En cualquier caso, por supuesto que nunca conviene usar la misma letra para dos cosas distintas, y en muchos casos eso será directamente inadmisible. Pero yo nunca he dicho lo contrario. Esto venía a que tú me preguntabas si es necesario usar dos notaciones distintas para "puntos genéricos" y "puntos concretos" y yo te decía que no es imprescindible, pero no en el sentido de que puedas llamar igual a dos puntos distintos (que es lo que has hecho en tu pretendido contraejemplo), sino en el sentido de que no es necesario adoptar ningún convenio de notación específico para referirse de una manera u otra a un punto según si es "genérico" o "concreto", como usar subíndices para los específicos, o algo así.

Por cierto, que si enunciamos en general la definición de cuándo una función [texx]f(x)[/texx] es derivable en un punto [texx]x_0[/texx] y luego la aplicamos a casos particulares [texx]x_0=0[/texx], [texx]x_0=1[/texx], etc., ¿diremos que el [texx]x_0[/texx] de la definición representa a un punto general o a un punto particular? Es un punto particular en cuanto a la definición de derivada, donde se hace variar la [texx]x[/texx] y se mantiene fijo [texx]x_0[/texx] para estudiar la función, pero es un punto general en el sentido de que luego puedes aplicar la definición a valores particulares de [texx]x_0[/texx].

Por eso no puedes teorizar sobre que existen dos clases de puntos (generales y particulares), porque una misma variable [texx]x_0[/texx] puede verse como general o particular según el punto de vista. Eso no impide que sea orientador usar a veces [texx]x[/texx] y a veces [texx]x_0[/texx] y no de forma caprichosa, sino metódica, pero eso es una cosa, y otra pretender teorizar sobre eso y considerar que es imprescindible hacerlo así para ser riguroso. Lo que no es riguroso es llamar con la misma letra a dos cosas en un contexto en el que eso podría llevar a identificarlas cuando no tienen por qué ser la misma, pero eso es distinto de usar un convenio específico de notación que dependa de una clasificación de los puntos en "genéricos" y "particulares", que nunca podrás hacer con total objetividad.

Pero es que lo único que trataba de hacerte entender es cómo se define la función. Trataba de que entendieras qué es en ese caso [texx]f(x)[/texx], y creo que un ejemplo es una buena forma de que lo entiendas, sobre todo porque en el ejemplo no se usa ninguna propiedad específica de [texx]\pi[/texx]. (Sólo se usa que está entre 2 y 3, y cualquier número real está igualmente entre un entero y su siguiente.) ¿Has entendido cómo está definida esa función? Porque cuando lo entiendas, todo lo demás será evidente: para cada número [texx]x[/texx], siempre existe un único entero [texx]n[/texx] que cumple [texx]f(x)=n[/texx], porque, o bien hay un natural mayor que [texx]x[/texx] que no es suma de dos primos, y entonces ese [texx]n[/texx] es el único número real que cumple [texx]f(x)=n[/texx], por definición de [texx]f[/texx], o bien no existe tal [texx]n[/texx] y entonces [texx]0[/texx] es el único número real que cumple [texx]f(0)=n[/texx].

La cuestión es si entiendes o no la definición de [texx]f[/texx]. Si la entiendes, todo lo demás es trivial, y es un ejemplo de función que sólo podrás probar que es igual a la función dada por

[texx]f(x)=\begin{cases} 2 & \text{si}& x\leq 2\\ 0 & \text{si}& x>2\end{cases}[/texx]

demostrando la conjetura de Goldbach, algo que tira por tierra tu teoría de las fórmulas y las equivalencias por relaciones fundamentales.

Mira si se prueba la conjetura de Goldbach... :rodando_los_ojos:.

No afectaría a mi ejemplo. Te puedo poner otro análogo con el Último Teorema de Fermat, que sí que está demostrado. Pretende ser un ejemplo de dos funciones que tienen unas definiciones claras y precisas pero que no puedes probar que son iguales mediante "operaciones fundamentales", como creo que decías. No puedes definir la igualdad entre funciones en términos de la clase de argumentos que es válido emplear para ver si son iguales. Dos funciones son iguales si tienen el mismo dominio y, para todo [texx]x[/texx] de dicho dominio, se cumple [texx]f(x)=g(x)[/texx], y ahí no hago ninguna referencia ni a las posibles fórmulas que puedan definir a [texx]f(x)[/texx] y a [texx]g(x)[/texx] si es que las hay, ni a los criterios que pueden emplearse para establecer dicha igualdad. No importa se se puede obtener simplificando un valor absoluto como en el ejemplo que te puse, o demostrando el UTF o la conjetura de Goldbach como paso intermedio necesario.

Ahora me queda más claro; sin embargo no entiendo cuando decís "(...) o bien no existe tal [texx]n[/texx] y entonces [texx]0[/texx] es el único número real que cumple [texx]f(0)=n[/texx]".

Toma, por ejemplo [texx]f(\pi)[/texx], para calcularlo miras los naturales pares mayores que [texx]\pi[/texx]. El primero es [texx]4[/texx], que es suma de dos primos, el siguiente es [texx]6[/texx], que es suma de dos primos... Si encuentras un [texx]n[/texx] par que no sea suma de dos primos, entonces [texx]f(\pi)=n[/texx] por definición de [texx]f[/texx], pero, ¿qué sucede si todos los números pares a partir del 4 son suma de dos primos? ¿Cuál es entonces la imagen de [texx]x[/texx]? Pues la definición de [texx]f[/texx] afirma que en tal caso [texx]f(\pi)=0[/texx]. Esto te asegura que cualquier número real tiene una única imagen por [texx]f[/texx], que, o bien será el menor ejemplo de número natural par mayor que [texx]x[/texx] que no sea suma de dos primos, o bien, en caso de que no haya ninguno, será [texx]0[/texx].

Si por "Pero ¿desde cuándo hay que buscar números?" te referís a "¿Para qué existen los [texx]C^0,C^+,C^-,\ldots[/texx]?" entonces vos sabés que esos tres conjuntos, mas muchos otros, son muy importantes en matemáticas y en la vida cotidiana.

Pero no me refería a eso. Me refería a que, en efecto, puedes calcular esos conjuntos y muchos otros, y por muchos motivos de interés, pero te preguntaba qué tiene que ver el cálculo de esos conjuntos con "buscar números". El programa GAMS entiende que son positivos los números [texx]\geq 0[/texx] y no tiene ningún problema "buscando números". Lo que te decía es que eso de que tal o cual definición es un problema porque "los ordenadores se liarían buscando números" es surrealista. Los números no hay que buscarlos, no están escondidos en ninguna parte. Otra cosa es que quieras calcular qué números cumplen determinadas condiciones, y eso se puede hacer independientemente de cómo definas los números positivos o negativos. Y en la medida en que sean cálculos que pueda hacer un ordenador, éste no se liará porque su sintaxis llame números positivos a los [texx]\geq 0[/texx], como ocurre con el programa GAMS.
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« Respuesta #46 : 05/01/2019, 11:27:00 am »

Creo que el rigor está en los conceptos y no en la notación. Cuál es la forma correcta de escribir algo depende de a quién le preguntes (y el contexto).

Si ya se sabe cuál es el dominio de la función podrías olvidarte de escribir [texx]f(x)[/texx] y usar simplemente [texx]f[/texx], como se hace muchas veces en física cuando se habla de la velocidad por ejemeplo. La gente suele escribir [texx]v[/texx] y no [texx]v(t)[/texx]. Y si hablan del valor que toma la velocidad en cierto momento escriben [texx]v(t_1)[/texx] o [texx]v_{t_1}[/texx].

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« Respuesta #47 : 05/01/2019, 11:54:00 am »

Creo que el rigor está en los conceptos y no en la notación. Cuál es la forma correcta de escribir algo depende de a quién le preguntes (y el contexto).

Si ya se sabe cuál es el dominio de la función podrías olvidarte de escribir [texx]f(x)[/texx] y usar simplemente [texx]f[/texx], como se hace muchas veces en física cuando se habla de la velocidad por ejemeplo. La gente suele escribir [texx]v[/texx] y no [texx]v(t)[/texx]. Y si hablan del valor que toma la velocidad en cierto momento escriben [texx]v(t_1)[/texx] o [texx]v_{t_1}[/texx].

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« Respuesta #48 : 05/01/2019, 18:36:18 pm »

Hola

A esto ya te ha contestado argentinator y, por lo que veo, te ha convencido.

Así es. Está bueno cuando más de un usuario participa.

Sólo una duda más con respecto a esto. Es cierto que si digo

[texx]f:\Bbb R\to\Bbb R\mid f(x)=\begin{cases}\dots\\1\wedge x=1\\\color{red}2\wedge x=2\\\dots\end{cases}\equiv\begin{cases}1\wedge x=1\\x\wedge x\neq1\end{cases}\equiv\cdots[/texx]

entonces es un sinsentido pues, como los puntos suspensivos indican una enumeración, ¿por ejemplo qué pasa con los valores en el intervalo [texx](1,2)[/texx]? No los puedo definir y por tanto [texx]f[/texx] en realidad no existe.

Ahora bien, sé que sonará muy insistente, pero ¿no puedo hacerlo así?:

[texx]f':\Bbb R\to\Bbb R\mid f'(x)=\begin{cases}\dots\\1\wedge x=1\\\dots\end{cases}\equiv\begin{cases}1\wedge x=1\\x\wedge x\neq1\end{cases}\equiv\cdots[/texx]

(quité lo que está en rojo). Como vemos, en este caso [texx]f'[/texx] sí está dada como función a trozos, pero esta vez claramente se dice que si [texx]x\neq1[/texx] entonces es [texx]x[/texx]; y si [texx]x=1[/texx] entonces la función vale [texx]1[/texx] allí. ¿Por qué de esta manera también está mal, porque no puedo enumerar una lista infinita?

Responder a la pregunta "¿Si quito esa línea de color rojo ahora es una función?" de la manera "Sí/No" va a aclararme todas las dudas.


No se entiende qué estás queriendo representar con esos puntos suspensivos.
Es una notación que requiere explicación.

De todos modos no importa, porque sospecho que estás tratando de buscar una manera de enumerar los valores de una función de R en R.
Eso no se puede hacer, y se basa en el siguiente razonamiento:

Para concretar, quedémonos en el intervalo (0,1) por ahora.
Supongamos que uno puede enumerar los valores reales del intervalo (0,1), poniéndolos en alguna sucesión.
Tendría un aspecto similar al siguiente (es sólo un ejemplo):

1ro ____ 0.10324719827304198...
2do ____ 0.01293749021734901...
3ro ____  0.83740981734104791...
4to ____  0.24712734980721908...
5to ____ 0.123471239487901287...
6to ____ 0.421390849082134799...
...            ....
...            ....

En cada renglón he puesto puntos suspensivos para significar que hay una secuencia infinita de dígitos que continúa hacia la derecha.
Desde el séptimo lugar hacia abajo he puesto puntos suspensivos para indicar que los demás números reales se enumeran en la lista siguiendo hacia abajo.

La pregunta que hacemos es ésta: ¿es posible enumerar los números reales de arriba hacia abajo de manera que aparezcan todos ellos?
Eso implica elegir una manera de ordenar los números reales tal que puedan listarse en sucesión.

Supongamos que sí es posible. Al suponer esto llegaremos enseguida a una contradicción, un absurdo.

Suponiendo que es posible listar los números reales del intervalo (0,1) en sucesión, tendríamos un primero, un segundo, etc., así:

\[
\begin{matrix}
1ro & r_1 := & 0.d_{1,1}d_{1,2}d_{1,3}d_{1,4}d_{1,5}\ldots\ldots\\
2do & r_2 := & 0.d_{2,1}d_{2,2}d_{2,3}d_{2,4}d_{2,5}\ldots\ldots\\
3ro & r_3 := & 0.d_{3,1}d_{3,2}d_{3,3}d_{3,4}d_{3,5}\ldots\ldots\\
4to & r_4 := & 0.d_{4,1}d_{4,2}d_{4,3}d_{4,4}d_{4,5}\ldots\ldots\\
5to & r_5 := & 0.d_{5,1}d_{5,2}d_{5,3}d_{5,4}d_{5,5}\ldots\ldots\\
6to & r_6 := & 0.d_{6,1}d_{6,2}d_{6,3}d_{6,4}d_{6,5}\ldots\ldots\\
\vdots & \vdots \\
\vdots &  \vdots
\end{matrix}
\]

La notación  \(0.d_{1,1}d_{1,2}d_{1,3}d_{1,4}d_{1,5}\ldots\ldots\) por ejemplo,
significa que el primer número tiene parte entera 0,
y que detrás del punto decimal tiene dígitos \(d_{1,1},d_{1,2},d_{1,3},d_{1,4},d_{1,5},\), etcétera, siguiendo hacia la derecha infinitos dígitos.

La notación  \(0.d_{4,1}d_{4,2}d_{4,3}d_{4,4}d_{4,5}\ldots\ldots\)  
significa que el cuarto número tiene parte entera 0,
y que detrás del punto decimal tiene dígitos \(d_{4,1},d_{4,2},d_{4,3},d_{4,4},d_{4,5},\), etcétera, siguiendo hacia la derecha infinitos dígitos.

Y así con todas las filas de la tabla.

Los dígitos son elementos del conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Observemos que todos los números tienen una representación con infinitos dígitos,
porque aquellos números que tienen sólo una cantidad finita de decimales tras el punto decimal,
en realidad es que hacia la derecha siguen infinitos dígitos 0.

Recordemos que habíamos dicho que todos los números del intervalo (0,1) podían ponerse en esa tabla.
Entonces, en esa supuesta tabla están todos los números reales.
Si están todos, es que ninguno ha quedado sin enumerar.

Pero es posible producir un número real del intervalo (0,1) que no está en la tabla.
Esto se hace así:

Recorramos los dígitos en diagonal:
De la primer fila, tomemos el dígito \(d_{1,1}\) y cambiémoslo por \(D_{1}\),
usando la regla de que si \(d_{1,1}\) está entre 0 y 4, definimos a \(D_{1}\) como 5,
y si \(d_{1,1}\) está entre 5 y 9, definimos a \(D_{1}\) como 4.
Con esta elección nos queda \(d_{1,1}\neq D_1\).

Ahora repetimos el mismo procedimiento con las demás filas, tomando el dígito de la diagonal.
De la segunda fila, tomemos el dígito \(d_{2,2}\) y cambiémoslo por \(D_{2}\),
usando la regla de que si \(d_{2,2}\) está entre 0 y 4, definimos a \(D_{2}\) como 5,
y si \(d_{2,2}\) está entre 5 y 9, definimos a \(D_{2}\) como 4.
Con esta elección nos queda \(d_{2,2}\neq D_2\).

De la tercer fila, tomemos el dígito \(d_{3,3}\) y cambiémoslo por \(D_{3}\),
usando la regla de que si \(d_{3,3}\) está entre 0 y 4, definimos a \(D_{3}\) como 5,
y si \(d_{3,3}\) está entre 5 y 9, definimos a \(D_{3}\) como 4.
Con esta elección nos queda \(d_{3,3}\neq D_3\).

Seguimos con ese procedimiento en las infinitas filas hacia abajo,
y vamos a obtener que el dígito de la diagonal \(d_{4,4}\) es distinto al dígito que nosotros elegimos como \(D_4\),
luego \(d_{5,5}\neq D_5\), \(d_{6,6}\neq D_6\), \(d_{7,7}\neq D_7\),
y así sucesivamente.

Por último, definimos un número x en el intervalo (0,1), usando los dígitos que nosotros hemos construido, así:

\[x=0.D_1D_2D_3D_4D_5\ldots\ldots\]

Ese número x, fijate que lo hemos construido de tal manera que su primer dígito difiere del primer dígito de \(x \) es distinto del primer dígito de \(r_1\), por lo tanto \(x\neq r_1\).
También el 2do dígito de \(x\) difiere del 2do dígito de \(r_2\), por lo tanto \(x\neq r_2\).
También el 3er dígito de \(x\) difiere del 3er dígito de \(r_3\), por lo tanto \(x\neq r_3\).
También el 4to dígito de \(x\) difiere del 4to dígito de \(r_4\), por lo tanto \(x\neq r_4\).
Y así sucesivamente ocurre con los demás números de la tabla hacia abajo.

Es decir, el número \(x\) difiere de todos los elementos de la tabla en al menos un dígito,
por lo tanto es un número distinto a cada número de la tabla.

Pero ahí está el absurdo, porque \(x\) es un número real del intervalo (0,1),
y tendría que estar enumerado en la tabla, ya que originalmente habíamos supuesto que todos los números del intervalo estaban allí enumerados.


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« Respuesta #49 : 05/01/2019, 18:49:36 pm »

En cuanto a que las computadoras tienen un 0 que no es positivo ni negativo...

Lamento informarte que de nuevo eso no es así, sino que las máquinas son ambiguas en ese detalle.

Los números enteros en una computadora tienen muchas representaciones posibles,
de las cuales las más conocidas son: "signo+mantisa", "complemento-a-1", "complemento-a-2".
De esas representaciones, las primeras dos admiten un cero con signo, con lo cual el número cero tiene dos representacoines, una con signo negativo y otra con signo positivo.
Por suerte, en la actualidad los procesadores siguen en su mayoría la arquitectura de Intel, que utiliza "complemento-a-2", que es una representación en la cual el número 0 tiene una sola representación... sin embargo en dicha representación el bit de signo es 0, que significa "número positivo".
Esto no quiere decir que el 0 sea un número positivo, sino que así queda representado.

Sin embargo, no se terminan ahí las tristes noticias,
porque tanto en Intel, como en los estándares de representación de números en punto flotante,
está establecido que los números reales se representan con un exponente, un signo, y una mantisa,
y de tal forma ocurre esto que, de nuevo, el número 0 admite dos representaciones: una con signo negativo y otra con signo negativo.

Dado que la representación de punto flotante está estandarizada, esto quedará así por muuuuucho tiempo en todas las computadoras y programas que encuentres.

----------------------------

La discusión de lo "positivo" y "negativo" se ha complicado innecesariamente.
Está claro lo que quiere decir que un número real sea positivo o negativo.
En cualquier caso, el 0 no es ni positivo ni negativo.

Es distinta la cuestión cuando en algún libro de matemática se definen otros conceptos que llevan el adjetivo de "positivo" o "negativo", y no se habla de números, sino de otra cosa, como por ejemplo, conjuntos.

Es posible definir que un conjunto de números, digamos E, es "positivo", si todos sus elementos son números reales positivos.
Pero también es posible que otro autor defina un conjunto E como positivo, si contiene números positivos o cero.

Son dos definiciones distintas, y claramente incompatibles.
Y eso ocurre porque no hay una noción estandarizada del concepto de "conjunto positivo".
No es un problema matemático, sino un problema cultural de ausencia de convención.

Y la solución no es ponerse a discutir la definición, como si se tratara de una cuestión absoluta decidido por todos los matemáticos, porque eso es un error: justamente, los matemáticos no han decidido en forma consensuada dicha definición.
La solución es entender la definición que da el autor, y luego juzgar a lo largo de todo el libro de dicho autor si la definición por él inventada se utiliza de un modo coherente, libre de contradicciones internas.

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« Respuesta #50 : 05/01/2019, 20:14:43 pm »

Hola

Pues no es que esté bien o esté mal. Es que yo leo eso, aislado, sin tus explicaciones posteriores, y no lo entiendo, con o sin la línea en rojo. Me refiero a la primera de las dos expresiones que pones. Y, en cuanto a la segunda, la que ya no tiene puntos suspensivos, pues dando por hecho que cuando pones [texx]\land[/texx] quieres decir "si", pues me podría hacer una idea de lo que quieres decir, aunque no entendería por qué separas el caso [texx]x=1[/texx] de todos los demás si también en ese caso se cumple [texx]f(x)=x[/texx], y luego, cuando pones al final tres rayitas y unos puntos suspensivos, ahí si que no adivino qué pueden significar esos puntos suspensivos.

De hecho, ya no estoy seguro del todo de si con esos jeroglíficos pretendes definir la humilde función [texx]f(x)=x[/texx].

Es correcto. Quería tratar de definir una función infinita de variable real mediante particiones de su dominio y de su expresión/fórmula, pero veo que no es posible.

Se te escapa la sutileza: digo que puedes definir funciones y funciones a trozos sin necesidad de hablar nunca de definiciones de funciones o de funciones a trozos. Por ejemplo, yo puedo definir [texx]f:\mathbb R\longrightarrow \mathbb R[/texx]:

[texx]f(x)=\begin{cases} 3 & \text{si}& x>5\\ 2 & \text{si}& x\leq 5\end{cases}[/texx]

Y eso es una definición completamente rigurosa de una función a trozos, y puedo hacerlo sin necesidad de haber definido antes lo que es una función a trozos. La definición es rigurosa porque si alguien me pregunta cómo hay que entender esa definición (formalmente), la respuesta formal y rigurosa es que eso es una forma de expresar la función

[texx]f=\{(x, y)\in \mathbb R^2\mid (x>5\land y=3)\lor (x\leq 5\land y=2)\}[/texx]

Y así he definido una función a trozos sin definir el concepto de "función a trozos". Lo que te decía es si necesitas definir funciones a trozos (que es lo más habitual) puedes definir todas las que quieras sin necesidad de definir primero el concepto de función definible a trozos.

Trataré de tenerlo en cuenta.

Pero esto venía a cuento de que te había puesto un ejemplo de función que podríamos considerar que no admite definición si entendemos que una definición no puede dejar parámetros indefinidos, y nos habíamos parado porque me decías que no entendías de qué función te estaba hablando. Si ahora ya entiendes qué función es, podrías releer lo que te decía sobre ella. Concretamente, ¿qué sucede si el conjunto [texx]A[/texx] no admite una definición? ¿Dirías entonces que la función definida así a partir de [texx]A[/texx] tiene una definición? ¿Admites que una función definida a trozos pueda separar los trozos mediante conjuntos no definibles o eso ya no lo llamarías función definida a trozos?

No sé qué es un conjunto no definible, pero en base a la cita anterior no es posible definir una función si el conjunto [texx]A[/texx] no admite definición.

Pues en otra ocasión te puse un ejemplo (el que hablaba de [texx]\pi[/texx]) para tratar de iluminarte y te quejaste de que un ejemplo no sirve.

Dije que un ejemplo no sirve para demostrar propiedades, pero el ejemplo sirve para iluminar cualquier concepto (si uno está atento).

¿La que enumera los primos? Me parece que Luis no ha pasado por este hilo, porque como lo lea te remitirá a un enlace al que remite a todo el que dice algo así, donde se da una definición elemental de una función que enumera los primos.

Sí. Wikipedia no dice nada de una fórmula que liste todos los números primos.

Pero ahí hay algo que no encaja del todo en tus neuronas, porque si realmente has entendido cómo funciona esa función, no puede ser que me pidas una prueba de "relación, existencia y unicidad". Hay algo que se me escapa y que no entiendes, porque si no, no dirías eso. Si has entendido que [texx]f(28)=3[/texx], tendrías que haber entendido que, dado cualquier número natural [texx]n[/texx], siempre puedes descomponerlo en primos, con lo que obtienes un número finito de primos, con lo que el conjunto de los primos que no están en ese conjunto es no vacío (porque hay infinitos primos) y siempre puedes tomar el mínimo [texx]p[/texx] de todos ellos, y ese [texx]p[/texx], que existe y es único, es el único que cumple [texx](n,p)\in f[/texx], luego, en efecto, [texx]f[/texx] es por definición una relación definida sobre los números naturales tal que para cada [texx]n[/texx] hay un único [texx]p[/texx] que cumple [texx](n,p)\in f[/texx].

Pero insisto en que todo esto no debería hacer falta. Deberías tener claro que siempre que puedes asignar a cada [texx]x[/texx] en un conjunto [texx]A[/texx] un único [texx]y[/texx] en un conjunto [texx]B[/texx] tienes definida una función [texx]f: A\longrightarrow B[/texx]. En este caso, si has visto que a cada [texx]n[/texx] le podemos asignar un [texx]p[/texx] (el mínimo primo que no divide a [texx]n[/texx]) entonces deberías tener claro que con eso hemos definido una función de [texx]\mathbb N[/texx] en [texx]\mathbb N[/texx].

Entonces, sí, te digo que se puede demostrar que [texx]f[/texx] es una función. Te lo acabo de demostrar, de hecho. Y entonces me dices que eso es un ejemplo de función que no está definida por una fórmula. ¿Entonces ya está? ¿Te has convencido de que no toda función puede definirse mediante una fórmula?

Aunque podría quedar un cabo suelto: ¿te sirve esa [texx]f[/texx] también como ejemplo de función no definida a trozos?

Sí, gracias. Encontraste un ejemplo de función que no admite fórmula (eso de poner variables, operaciones, etc.) ni se puede definir mediante una función a trozos.

1) Está la función del mínimo primo que no divide a [texx]n[/texx]. Parece que me has admitido que no está definida por una fórmula, con lo cual ya no puedes decir que una función está determinada por su dominio, su codominio y su fórmula.

2)Te he puesto el ejemplo de la función definida en función de si un número es o no suma de dos primos, que es igual a otra función definida de forma elemental si y sólo si se cumple la conjetura de Goldbach, con lo cual aun suponiendo que ésta se demostrara, ese ejemplo tira por tierra tu idea de que dos funciones son iguales si sus fórmulas son equivalentes a través de operaciones fundamentales. En este caso, aunque se demostrara la conjetura de Goldbach, la equivalencia no tendría nada de "operaciones fundamentales".

3) Es posible usar un concepto de fórmula más generoso que haga que los ejemplos anteriores sí que se consideren definidos mediante una fórmula, pero en tal caso te he puesto el ejemplo de la función definida a trozos a partir de un conjunto [texx]A[/texx] de modo que a su vez el conjunto [texx]A[/texx] no admita definición (por ejemplo, por ser no medible Lebesgue, un concepto que aparece en cualquier tratamiento sólido del cálculo integral de una y varias variables, aunque, ciertamente. no en un curso introductorio).

4) También te he puesto un ejemplo de función [texx]f: \mathbb R\longrightarrow \mathbb R[/texx] definida a partir de un buen orden en [texx]\mathbb R[/texx], que es muy similar a la función que me has reconocido que no está definida mediante una fórmula, pero en la que además aparece explícitamente un parámetro no definible.

5) Y habría ejemplos mucho más concluyentes, pero esos ya no soy capaz de explicártelos en términos asequibles. Por ejemplo, una función [texx]f: \mathbb N\longrigharrow \mathbb N[/texx] genérica sobre la clase de los conjuntos constructibles, o una exensión de ella a [texx]\mathbb R[/texx] de cualquier forma elemental. Y pongo esto para que si me lee alguien que entienda de estas cosas sepa en qué estoy pensando, pero no puedo explicarte lo que significa eso. Pero la idea es que es un ejemplo de función que puede probarse que es consistente que exista, pero que no admite una definición la mires como la mires.

Te creo todos los ejemplos, salvo que no entiendo muy bien el 2). Esto es Lógica: Si tengo [texx]p\iff q[/texx], con [texx]p="\text{Soy Dios}"[/texx] y [texx]q="\text{Hoy es sábado}"[/texx], si [texx]q[/texx] es verdadera inmediatamente [texx]p[/texx] será verdadera, pero por sí misma [texx]p[/texx] es falsa (aunque esto no lo podemos demostrar hasta que no sepamos el valor de verdad de [texx]q[/texx], supongo). Sin embargo sabemos que yo no soy Dios, por lo que [texx]q[/texx] es falsa. ¿En qué estoy fallando?

Pero lo importante es que nada de eso es necesario para fundamentar la matemática en general y el análisis de una variable en particular. Por eso es contraproducente vincular el concepto de función al de "fórmula definitoria", ni clasificar las funciones por la forma en que se definen, porque no es necesario en absoluto y sólo lleva a complicaciones innecesarias. La teoría de conjuntos permite hablar de conjuntos (en particular funciones) arbitrarios sin presuponer nada sobre cómo se definen, y luego puedes definir conjuntos (y funciones) concretos mediante definiciones rigurosas concretas, sin necesidad de apelar a ninguna teoría general de la definición.

Ok.

Yo sólo digo que los dos criterios son rigurosos, claros, y todo lo que tú dices que no son. Y que no traumatizan a ningún ordenador. Y que en contextos diferentes puede ser más conveniente aplicar uno u otro, o incluso no aplicar ninguno si puede inducir a confusión.

De acuerdo. Si dije que una u otra definición que define cualquier cosa es más o menos rigurosa que otra (sin que luego ninguna produzca lagunas lógicas) me retracto completamente, porque una, dos, quince notaciones distintas pueden sobrevivir todas al mismo tiempo (mientras todas no tengan paradojas).

Otro ejemplo que se me ocurre: Es típico del análisis hablar de "Series de términos positivos", que son sumas infinitas de números reales que cumplen criterios específicos de convergencia que no valen para series arbitrarias, y las "series de términos positivos" se definen como las series [texx]\sum_{n=0}^\infty a_n[/texx] tales que [texx]a_n\geq 0[/texx], y eso creo que es bastante estándar.

De acuerdo, pero no sé qué tiene que ver con la cita anterior.

Así, aislado, eso induce a entender que sólo estás diciendo que [texx]f(2)=4[/texx], pero es que la notación matemática usual no sólo depende de las fórmulas, sino también de las palabras que las acompañan. Si no dices sólo [texx]f(m)=m+2[/texx], sino que dices, "sea [texx]f:\mathbb R\longrightarrow \mathbb R[/texx] la función dada por [texx]f(m)=m+2[/texx]" y luego dices "estudiar la continuidad en [texx]m=2[/texx]", está perfectamente claro que las emes son distintas en cada caso, aunque, por supuesto, es mejor no usar la misma letra.

De acuerdo. El "luego" mío podía incluir quinientas palabras que diferencien la [texx]m[/texx] en [texx]f(m)[/texx] y la [texx]m[/texx] en [texx]m=2[/texx].

Te pongo otro caso:

Dada la función [texx]f:\mathbb R\longrightarrow \mathbb R[/texx] dada por [texx]f(x)=|x|[/texx], estudiar si es derivable en [texx]x_0=0[/texx] y en [texx]x_0=1[/texx].


¿Deducirías de ahí que [texx]0 = x_0 = 1[/texx]? Si, por ejemplo, has dado la definición de derivabilidad usando las letras [texx]x[/texx] y [texx]x_0[/texx], es razonable que para un ejercicio en el que pretendes aplicar esa definición mantengas la notación [texx]x_0[/texx] para el punto en los dos casos, indicando que se trata de aplicar la definición de derivabilidad sustituyendo [texx]x_0=0[/texx] en un caso y [texx]x_0=1[/texx] en otro caso. Repetir la misma letra puede ser orientativo, por ejemplo, si es una forma de relacionar el enunciado del problema con la definición de derivabilidad, para que el alumno sepa que, en ambos casos, debe tomar el dato como el [texx]x_0[/texx] que aparece en general en la definición.

Claro... Una vez definida la derivabilidad en un punto [texx]x_0[/texx], poner [texx]x_0=0[/texx] y [texx]x_0=1[/texx] no induce ninguna contradicción. Y hasta el momento no veo una mejor forma de decirlo, porque si solamente digo "En los puntos [texx]0[/texx] y [texx]1[/texx]" queda incompleto; cualquier estudiante imaginario podría decirme "Profe, usted nos dijo que había que usar [texx]x_0[/texx] pero en el enunciado no hay nada parecido a eso", y tendrían razón. Así que acepto que me equivoqué.

En cualquier caso, por supuesto que nunca conviene usar la misma letra para dos cosas distintas, y en muchos casos eso será directamente inadmisible. Pero yo nunca he dicho lo contrario. Esto venía a que tú me preguntabas si es necesario usar dos notaciones distintas para "puntos genéricos" y "puntos concretos" y yo te decía que no es imprescindible, pero no en el sentido de que puedas llamar igual a dos puntos distintos (que es lo que has hecho en tu pretendido contraejemplo), sino en el sentido de que no es necesario adoptar ningún convenio de notación específico para referirse de una manera u otra a un punto según si es "genérico" o "concreto", como usar subíndices para los específicos, o algo así.

Mientras me asegures que en un contexto riguroso no sirve de nada diferenciar "punto genérico" de "punto particular" yo súper contento. Pensé que psicológicamente estaba probado que diferenciar esos puntos hacían de la definición un poco más clara para el estudiante.

Toma, por ejemplo [texx]f(\pi)[/texx], para calcularlo miras los naturales pares mayores que [texx]\pi[/texx]. El primero es [texx]4[/texx], que es suma de dos primos, el siguiente es [texx]6[/texx], que es suma de dos primos... Si encuentras un [texx]n[/texx] par que no sea suma de dos primos, entonces [texx]f(\pi)=n[/texx] por definición de [texx]f[/texx], pero, ¿qué sucede si todos los números pares a partir del 4 son suma de dos primos? ¿Cuál es entonces la imagen de [texx]x[/texx]? Pues la definición de [texx]f[/texx] afirma que en tal caso [texx]f(\pi)=0[/texx]. Esto te asegura que cualquier número real tiene una única imagen por [texx]f[/texx], que, o bien será el menor ejemplo de número natural par mayor que [texx]x[/texx] que no sea suma de dos primos, o bien, en caso de que no haya ninguno, será [texx]0[/texx].

De acuerdo.

Pero no me refería a eso. Me refería a que, en efecto, puedes calcular esos conjuntos y muchos otros, y por muchos motivos de interés, pero te preguntaba qué tiene que ver el cálculo de esos conjuntos con "buscar números". El programa GAMS entiende que son positivos los números [texx]\geq 0[/texx] y no tiene ningún problema "buscando números". Lo que te decía es que eso de que tal o cual definición es un problema porque "los ordenadores se liarían buscando números" es surrealista. Los números no hay que buscarlos, no están escondidos en ninguna parte. Otra cosa es que quieras calcular qué números cumplen determinadas condiciones, y eso se puede hacer independientemente de cómo definas los números positivos o negativos. Y en la medida en que sean cálculos que pueda hacer un ordenador, éste no se liará porque su sintaxis llame números positivos a los [texx]\geq 0[/texx], como ocurre con el programa GAMS.

Lo que yo digo es que si definís dos conjuntos [texx]A=\{0,1\}[/texx] y [texx]B=\{0,2\}[/texx], cuando te pida que me digas dónde está el [texx]0[/texx], me vas a contestar que en los dos. De acuerdo. Sin embargo, en computación se prefiere que los datos estén almacenados sin repetición, porque se debería tender a repetir lo menos posible. De esta manera, tratando de solucionar la redundancia de datos se definiría [texx]A=\{1\}[/texx], [texx]C=\{0\}[/texx] y [texx]B=\{2\}[/texx]. Pensé que esto también era aplicable a la Lógica; esto de no definir [texx]x_0=1[/texx] y [texx]x_1=1[/texx], no poner un mismo número en dos conjuntos, ... Aunque claro que se puede.

También no olvidemos que no se prefiere definir un conjunto [texx]A[/texx] que sea igual a [texx]B\cup\emptyset\cup\emptyset[/texx] porque los vacíos son innecesarios. Lo mismo con [texx]f(x)=x+2-2[/texx].

Saludos
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« Respuesta #51 : 05/01/2019, 20:20:00 pm »

Hola argentinator, muchas gracias por tu mensaje

De todos modos no importa, porque sospecho que estás tratando de buscar una manera de enumerar los valores de una función de R en R.

O sea, parecería que sí, pero en realidad mi pregunta era si es posible dar una lista infinita de números reales con sólo definir un elemento de la lista, por más que sea totalmente innecesario ya que se puede expresar mediante fórmulas o mediante palabras en castellano. Parece que no.

En cuanto a que las computadoras tienen un 0 que no es positivo ni negativo...

Lamento informarte que de nuevo eso no es así, sino que las máquinas son ambiguas en ese detalle.

Toda la razón. Si en algún momento dije eso me retracto completamente.

Saludos
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« Respuesta #52 : 05/01/2019, 20:24:34 pm »

Hola

Si ya se sabe cuál es el dominio de la función podrías olvidarte de escribir [texx]f(x)[/texx] y usar simplemente [texx]f[/texx], como se hace muchas veces en física cuando se habla de la velocidad por ejemeplo. La gente suele escribir [texx]v[/texx] y no [texx]v(t)[/texx]. Y si hablan del valor que toma la velocidad en cierto momento escriben [texx]v(t_1)[/texx] o [texx]v_{t_1}[/texx].

De hecho siempre critiqué despojadamente la notación que los físicos emplean, pero, visto lo visto, existe una equivalencia entre "Pueden existir distintas notaciones que apunten a lo mismo en Matemática sin problemas" y "Pueden existir distintas notaciones que apunten a lo mismo en Física sin problemas", con lo que me hace ver que, como la primera oración es cierta, indefectiblemente la segunda también lo es. Algo que me duele mucho, porque los ojos me sangran al ver que los físicos omiten muchas cuestiones de notación, pero que tendré que aceptar.

Gracias y saludos
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« Respuesta #53 : 06/01/2019, 01:24:44 am »

manooooh:

Tanto físicos, matemáticos, informáticos, como en general los de ciencias (que a los de letras les trae al pairo :malvado:), se tragan variables o codifican regularcillo (o mal si se complica el tema).

Si te sangran los ojos no te conformes, que es claro indicativo de que lo que ves, de entenderlo, está sujeto con alfileres... a los mismos ojos, por lo que la visión se hace borrosa, por la sangre, y la comprensión también, de la mano. Casi me atrevería a decir, me atrevo, que se entiende un asunto cuando está clara la codificación, es mas completa y directa.

Si tomamos por ejemplo un enunciado de un teorema de integrales, con varias variables algo espesito, me di cuenta con asombro que no acertaba con la cantidad de funciones distintas intervinientes, mediando las perradas o procesos. Ni que decir tiene que, a duras penas, sacaba las variables que quedaban vivas para optar a ser candidatas a tales y tan viles escarnios sucesivos. Esto es: no identificaba bien ni los parámetros ni las funciones distintas (y eso que podía partir de una genérica y simple f(x,y)).

Y esto te lo comento descontando lo torpe que soy, y la apariencia sencilla clásica de las cuestiones. Y repito: si te sangran los ojos es que el tema es feo "de vicio" (como diría Carlos) y lo feo no se asimila. Nota Ahora procedo al revés: primero aguapo y luego intento comprender (repitiendo el ciclo si pretendo ahondar mas), que me jeringa pensar para olvidar, que prefiero olvidarme de pensar.

Si acertamos con identificar x, f, f(x) (y sus derivados), por lo menos sabremos... lo que nos queda, que es un magnífico paso, de paso a muchas partes.

Suerte ecuménica con los magos de oriente. 
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« Respuesta #54 : 06/01/2019, 05:39:17 am »

manooooh:
Si te sangran los ojos no te conformes, que es claro indicativo de que lo que ves, de entenderlo, está sujeto con alfileres...

Pues eso debió de ser que me pinché con los alfileres; menos mal que los Reyes me traerán algodón y tiritas :sonrisa:

Decía que podrían sangrar los ojos porque yo nunca he visto, o no recuerdo, algo así [texx]f(x)\in f[/texx].
Sin embargo, la idea no está tomada por los pelos, como dices.

Una función es una cosa, en esa cosa hay variables, que son cosas suyas, cosas de la función (se puede decir que le pertenecen). Y hay una variable que, de algún modo (aunque puede llegar a ser totalmente caprichoso, azaroso) depende o “depende” de la otra, que es a la que le ponemos la efe. Habitualmente, ya se sabe, el ejemplo suele ser  [texx]f(x)=y[/texx].
Pero es más habitual escribir un punto así [texx](x,y)[/texx] que así [texx](x,f(x))[/texx]; y aunque quiera decir lo mismo, a mí me resulta menos familiar y los ojos “sufren”.

Es como si un señor va por la calle con un sombrero amarillo, una chaqueta verde con margaritas y unos zapatos de plataforma (los cuales tienen una pecera en los tacones con peces de vivos colores; incluido el magenta). Pues a mí me sangrarán los ojos, pero no es objetivo, es falta de costumbre, es una cultura... Si todo el mundo fuera vestido así, no nos parecería raro.

Aquí han surgido dos cuestiones principales, dos cuestiones interesantes (como siempre que plantea manooooh algo en este tipo de hilos). La de la grafía de las “efes”, como asunto principal, y lo del cero. Ambos aspectos tienen que ver con dos cosas, con la forma de definir objetos matemáticos y con los prejuicios.

Hace mucho, en un programa de variedades de la televisión, entrevistaron a tres matemáticos, profesores y catedráticos de universidades españolas. En un momento dado, el presentador habló de la rigidez de las matemáticas y uno de ellos (un hombre ya mayor) le contestó: “qué va, la matemática es lo más libre que hay, en matemáticas usted puede definir lo que quiera, un espacio vectorial de todas las dimensiones que quiera, por ejemplo...” (la frase no sé si será exacta, pero casi).  Y creo que es verdad porque, años después, ya aquí en el foro, yo he visto que cuando alguien define algo por su cuenta, mientras se entienda y sea razonable, no se ponen pegas; se ponen pegas a lo confuso y a lo que es poco consistente. Pero existe ese prejuicio de que la matemática es muy rígida, cuando sólo lo es en el sentido de que no permite contradicciones.

Además, hay contradicciones y “contradicciones”. Aquí se ha dicho varias veces la frase “a la vez”, frase contra la que manooooh se ha rebelado un poco y no sé por qué, eso lo tendrá que decir él.
Pero no tiene nada de malo ese “a la vez”. No es falso que sea de día y de noche a la vez; aquí en España, prácticamente ahora, ha salido el sol y en otros países, a la vez, es de noche.
Lógicamente, lo que no es posible es que tú o yo o cualquiera, como observadores particulares, veamos a la vez que es de noche y de día; al menos si nos preocupamos de excluir posibles “clones” nuestros en posibles universos paralelos (porque hay que hacer todas las restricciones que uno pueda para curarse en salud; en ese sentido sí hay rigor en las matemáticas, pero eso no es falta de libertad ni rigidez, como decía el presentador televisivo).

Si una definición se ve clara, aunque lleve “zapatos de pecera”, se ve clara; si no se ve clara, no se ve, pero hay que cerciorarse de que no es por algún prejuicio personal.

Por otro lado, hay un tercer asunto que entra en juego, que es la cuestión de la concepción o enfoque de una definición; lo cual no cambia o no tiene por qué cambiar la definición ni dar ningún problema. Por ejemplo, normalmente la gente visualiza un conjunto de números, digamos el conjunto “A”, como un saco de bolitas o algo así; donde uno mete la mano y obtiene elementos para utilizarlos. Pero yo también puedo imaginar que A es una onda que colapsa en un solo número, A=7. Y el 7 sigue siendo siete y me vale igual que al que piensa que lo extrae de un saco; no violo ninguna definición, he tomado un elemento de A, sólo que utilizo la idea “Ahora “A” es particularmente 7”.  No hay una “bolsita” con números para mí, hay un suceso que yo, en un momento dado, considero”. Y con esto no critico ni digo que la otra mentalidad, la clásica (la “griega”, que decía) sea menos válida; simplemente me tomo la libertad de enfocarlo como me da la gana, porque las matemáticas para cosas así son muy libres, como dijo ese profesor en la televisión.

Esto, por ejemplo, es un enfoque [texx]f(x)\in f[/texx], la manera de representar una idea (la cual yo veo con mucha claridad y creo que cualquiera con buena voluntad lo entiende, aunque a lo mejor la escritura, formalmente, no sea habitual). Puedo tomar, definir, con toda libertad, f(x) como un elemento de una cosa que llamo “f” o puedo tomar también el par (x,f(x)) como un elemento de “f”; y, por supuesto, al que no le guste, tiene derecho a no gustarle, faltaría más.

(Ni en Reyes descanso, soy un "contestatario" incorregible :sonrisa: ).

Saludos.

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Carlos Ivorra
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« Respuesta #55 : 06/01/2019, 07:31:34 am »

2)Te he puesto el ejemplo de la función definida en función de si un número es o no suma de dos primos, que es igual a otra función definida de forma elemental si y sólo si se cumple la conjetura de Goldbach, con lo cual aun suponiendo que ésta se demostrara, ese ejemplo tira por tierra tu idea de que dos funciones son iguales si sus fórmulas son equivalentes a través de operaciones fundamentales. En este caso, aunque se demostrara la conjetura de Goldbach, la equivalencia no tendría nada de "operaciones fundamentales".

Te creo todos los ejemplos, salvo que no entiendo muy bien el 2). Esto es Lógica: Si tengo [texx]p\iff q[/texx], con [texx]p="\text{Soy Dios}"[/texx] y [texx]q="\text{Hoy es sábado}"[/texx], si [texx]q[/texx] es verdadera inmediatamente [texx]p[/texx] será verdadera, pero por sí misma [texx]p[/texx] es falsa (aunque esto no lo podemos demostrar hasta que no sepamos el valor de verdad de [texx]q[/texx], supongo). Sin embargo sabemos que yo no soy Dios, por lo que [texx]q[/texx] es falsa. ¿En qué estoy fallando?

No acabo de ver qué tiene que ver esto con 2), pero yo te lo decía por esto:

Yo pensé que por "definición" te referías a fórmula; entonces "no toda función tiene una fórmula", y de ahí el ejemplo de dar una función a través de pares ordenados sin que pueda definirse una fórmula explícita (no al menos en operaciones fundamentales como la suma, resta, etc.

De ahí deduje que cuando hablabas de "operaciones fundamentales" te referías a algo bastante restrictivo y elemental, por lo que te ponía un ejemplo de dos funciones que sólo puede probarse que son iguales demostrando algo que dista mucho de ser "operaciones fundamentales" en un sentido restrictivo.

Otro ejemplo que se me ocurre: Es típico del análisis hablar de "Series de términos positivos", que son sumas infinitas de números reales que cumplen criterios específicos de convergencia que no valen para series arbitrarias, y las "series de términos positivos" se definen como las series [texx]\sum_{n=0}^\infty a_n[/texx] tales que [texx]a_n\geq 0[/texx], y eso creo que es bastante estándar.

De acuerdo, pero no sé qué tiene que ver con la cita anterior.

Sólo era un ejemplo más de un contexto en el que es habitual usar la palabra "positivo" con el significado de [texx]\geq 0[/texx], para que vieras que es algo con lo que vas a tener que convivir, te guste o no.

Mientras me asegures que en un contexto riguroso no sirve de nada diferenciar "punto genérico" de "punto particular" yo súper contento. Pensé que psicológicamente estaba probado que diferenciar esos puntos hacían de la definición un poco más clara para el estudiante.

Ojo. Yo no he dicho que no sirva de nada. Al contrario, he dicho en todo momento que esa clase de distinciones notacionales son útiles psicológicamente para ayudar al lector a que tenga claro en cada momento qué es cada cosa. Lo que digo es que entre un texto que use esos criterios notacionales para ayudar al lector y otro que no los use, la diferencia que se puede establecer entre ellos es que el primero será más didáctico que el segundo, pero no más riguroso. Y, en cualquier caso, no estoy diciendo que se pueda llamar con la misma letra a dos cosas distintas (salvo en casos muy particulares en los que el contexto deja bien clara la situación). Lo que digo es que, en lugar de adoptar el convenio psicológicamente útil y didáctico de hablar de la derivada de una función [texx]f(x)[/texx] en un punto [texx]x_0[/texx], sería igualmente riguroso hablar de la derivada de una función [texx]x(f)[/texx] en un punto [texx]\epsilon\in \mathbb R^n[/texx], donde sigo usando una letra distinta para cada cosa, pero no respeto el convenio de que la [texx]f[/texx] se usa para funciones, la [texx]x[/texx] para variables, la [texx]x_0[/texx] para puntos fijos y la [texx]\epsilon[/texx] para números reales suficientemente pequeños. Leer un texto así sería un suplicio para cualquiera acostumbrado a los convenios usuales, pero eso no haría al texto menos riguroso, sino únicamente, malévolo y puñetero.

Lo que yo digo es que si definís dos conjuntos [texx]A=\{0,1\}[/texx] y [texx]B=\{0,2\}[/texx], cuando te pida que me digas dónde está el [texx]0[/texx], me vas a contestar que en los dos. De acuerdo. Sin embargo, en computación se prefiere que los datos estén almacenados sin repetición, porque se debería tender a repetir lo menos posible.

Pero eso es un caso muy particular que en absoluto puede servir para condicionar una notación matemática:

Por una parte, un programador no siempre puede decidir cómo organizar los datos con los que tiene que tratar, porque a veces el archivo de datos le puede venir dado y ser como sea.

Por otra parte, un ordenador puede analizar perfectamente cualquier clase de datos tenga el formato que tenga y con las repeticiones que tenga.

Por otra parte, pensar en el [texx]0[/texx] como un elemento en una familia de conjuntos de datos es sólo una situación particularísima de entre los innumerables contextos en los que un ordenador puede tener que tratar con el número [texx]0[/texx]. En el contexto de las funciones y sus raíces, no hay razón para presuponer que a un ordenador le va a interesar más tener determinado el conjunto de los [texx]x[/texx] donde [texx]f(x)>0[/texx] que el conjunto de los [texx]x[/texx] donde [texx]f(x)\geq 0[/texx]. Por ejemplo, porque a lo mejor sólo le interesa el conjunto de los [texx]x[/texx] donde [texx]f(x)\geq 0[/texx] (por ejemplo, para saber dónde puede calcular la raíz cuadrada de [texx]x[/texx]) y no necesita para nada el conjunto de los [texx]x[/texx] donde [texx]f(x)<0[/texx] ni tratar aparte el conjunto de los [texx]x[/texx] donde [texx]f(x)=0[/texx], por lo que hacer la distinción supondría tratar con dos conjuntos en lugar de uno, lo cual hace todo más engorroso sin necesidad. Todo depende del contexto y de la finalidad.

De esta manera, tratando de solucionar la redundancia de datos se definiría [texx]A=\{1\}[/texx], [texx]C=\{0\}[/texx] y [texx]B=\{2\}[/texx].

Pero insisto en que presupones que los tres conjuntos tienen interés. ¿Y si tenemos una función y sólo nos interesa determinar el conjunto donde [texx]f(x)\geq 0[/texx] y ningún otro conjunto? Entonces no hay ninguna redundancia. Al contrario, introducir distinciones innecesarias también enturbia un algoritmo.

También no olvidemos que no se prefiere definir un conjunto [texx]A[/texx] que sea igual a [texx]B\cup\emptyset\cup\emptyset[/texx] porque los vacíos son innecesarios. Lo mismo con [texx]f(x)=x+2-2[/texx].

Bien, pero no hay nada de innecesario en las definiciones de los conjuntos [texx]\{x\in \mathbb R\mid f(x)\geq 0\}[/texx], etc. Son conjuntos que en cualquier momento pueden servir para muchas cosas, tanto esos como los definidos con [texx]>[/texx] y [texx]<[/texx], por supuesto.
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« Respuesta #56 : 07/01/2019, 04:27:26 am »

Hola

Algo muy relacionado a esto es definir una fórmula para encontrar cualquier número primo; no sé si se probó que es imposible o que no, pero ¿podría ser un ejemplo de función (pues esta función va de [texx]\Bbb N[/texx] hacia [texx]\Bbb N[/texx] y cumple unicidad, bla bla) que, por el momento, NO acepte fórmula?

¿La que enumera los primos? Me parece que Luis no ha pasado por este hilo, porque como lo lea te remitirá a un enlace al que remite a todo el que dice algo así, donde se da una definición elemental de una función que enumera los primos.

 :cara_de_queso: :cara_de_queso:

https://primes.utm.edu/notes/faq/p_n.html

Saludos.
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« Respuesta #57 : 07/01/2019, 12:31:33 pm »

Hola

No acabo de ver qué tiene que ver esto con 2) (...)

Me refería a que no entiendo la relación que tiene la conjetura de Goldbach con demostrar o refutar una proposición equivalente a la conjetura.

Del resto de acuerdo. Muchas gracias!

Saludos
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« Respuesta #58 : 07/01/2019, 12:34:58 pm »

Hola

Tanto físicos, matemáticos, informáticos, como en general los de ciencias (que a los de letras les trae al pairo :malvado:), se tragan variables o codifican regularcillo (o mal si se complica el tema).

Si te sangran los ojos no te conformes, que es claro indicativo de que lo que ves, de entenderlo, está sujeto con alfileres... a los mismos ojos, por lo que la visión se hace borrosa, por la sangre, y la comprensión también, de la mano. Casi me atrevería a decir, me atrevo, que se entiende un asunto cuando está clara la codificación, es mas completa y directa.

Si tomamos por ejemplo un enunciado de un teorema de integrales, con varias variables algo espesito, me di cuenta con asombro que no acertaba con la cantidad de funciones distintas intervinientes, mediando las perradas o procesos. Ni que decir tiene que, a duras penas, sacaba las variables que quedaban vivas para optar a ser candidatas a tales y tan viles escarnios sucesivos. Esto es: no identificaba bien ni los parámetros ni las funciones distintas (y eso que podía partir de una genérica y simple f(x,y)).

Y esto te lo comento descontando lo torpe que soy, y la apariencia sencilla clásica de las cuestiones. Y repito: si te sangran los ojos es que el tema es feo "de vicio" (como diría Carlos) y lo feo no se asimila. Nota Ahora procedo al revés: primero aguapo y luego intento comprender (repitiendo el ciclo si pretendo ahondar mas), que me jeringa pensar para olvidar, que prefiero olvidarme de pensar.

Si acertamos con identificar x, f, f(x) (y sus derivados), por lo menos sabremos... lo que nos queda, que es un magnífico paso, de paso a muchas partes.

Suerte ecuménica con los magos de oriente. 

Gracias por el poema, me inspira. Creo que es la primera vez que logro decodificar gran parte de uno de tus mensajes :risa:.

Saludos
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« Respuesta #59 : 07/01/2019, 16:13:25 pm »

Me refería a que no entiendo la relación que tiene la conjetura de Goldbach con demostrar o refutar una proposición equivalente a la conjetura.

Pues me temo que sigo sin entender a qué te refieres. Sin duda es lo mismo demostrar o refutar la conjetura de Goldbach que demostrar o refutar una versión equivalente.
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