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Autor Tema: ¿[texx]f[/texx] o [texx]f(x)[/texx]?  (Leído 10310 veces)
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manooooh
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« : 27/10/2018, 03:52:43 am »

Hola

Esto es algo que siempre me pregunté pero no quería dejarlo pasar, ahora que estoy hasta durmiendo con funciones del análisis. Se trata sobre notación.

Cuando estamos hablando de una función [texx]f[/texx], ¿por qué no podemos decir que explícitamente siempre depende de [texx]x[/texx] (por ejemplo)? ¿Depende del contexto?

Porque por ejemplo si uno está hablando (*) de límites en varias variables, decir [texx]f(x,y)[/texx], [texx]f[/texx] o [texx]f(x,0)[/texx] (al analizar la función a través de la curva [texx]y=0[/texx]), claramente apuntan a cosas distintas. Este es un ejemplo (el único) que se me vino a la mente de posible confusión.

No voy a preguntar cómo escriben ustedes porque lo hacen según el contexto, incluso yo. ¿No creen que sería más correcto escribirlo explícitamente?

Gracias!
Saludos

(*) "hablando" en el sentido de estar diciendo "la función piripipí hace tal y tal cosa, y si analizamos por tal y tal...", NO cuando tenemos que hacer cálculos con ella.

EDIT. Según el contexto y también según la simplificación, porque muchas veces resulta más cómodo y ágil escribir sin los paréntesis.
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #1 : 27/10/2018, 04:05:00 am »

Hola

Esto es algo que siempre me pregunté pero no quería dejarlo pasar, ahora que estoy hasta durmiendo con funciones del análisis. Se trata sobre notación.

Cuando estamos hablando de una función [texx]f[/texx], ¿por qué no podemos decir que explícitamente siempre depende de [texx]x[/texx] (por ejemplo)? ¿Depende del contexto?

¡No entiendo la pregunta!. ¿Qué quieres decir con "explícitamente siempre"?.

No se si te refieres a cuando en un desarrollo teórico decimos: "sea [texx]f(x)[/texx] una función..." sino podría decirse "sea [texx]f[/texx] una función...". Si eso, pues si podría decirse simplemente [texx]f[/texx] y de hecho aunque quizá no sea lo más común, se usa en algunos libros y artículos sin mayor problema.

Si no te refieres a eso.. aclara más.

Saludos.
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manooooh
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« Respuesta #2 : 27/10/2018, 04:06:56 am »

Hola

Perdón por la confusión.

Sí me refiero a esos casos. Cosas como "la función [texx]f[/texx] admite plano tangente en..." etcétera. Es muy común ver [texx]f[/texx].

¿No creen que los libros han simplificado esta notación para ahorrar espacio y tinta, y así reducir gastos?....

Saludos
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sugata
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« Respuesta #3 : 27/10/2018, 06:08:44 am »

Yo suelo ver [texx]f[/texx] cuando se conoce el contexto.
Si estamos trabajando en una dimensión se entiende [texx]f(x) [/texx], si estamos en dos [texx]f(x, y) [/texx]
Cuando aparece sin contexto, se determinan las variables.
No se si me explico.
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #4 : 27/10/2018, 07:57:44 am »

Sí me refiero a esos casos. Cosas como "la función [texx]f[/texx] admite plano tangente en..." etcétera. Es muy común ver [texx]f[/texx].

¿No creen que los libros han simplificado esta notación para ahorrar espacio y tinta, y así reducir gastos?....

En realidad es al revés. Escribir "la función [texx]f(x, y)[/texx] admite plano tangente en..." es un abuso de notación, un abuso útil y conveniente, pero un abuso al fin y al cabo. Porque si nos ponemos puristas, [texx]f(x, y)[/texx] no es una función, sino la imagen por la función [texx]f[/texx] del par [texx](x, y)[/texx].

Este tipo de abusos de notación están relacionados con la conveniencia de fijar unas variables concretas para los argumentos de la función, pero esto no son leyes, sino a lo sumo "pactos entre caballaros" que nadie está obligado a respetar, aunque convenga hacerlo.

Por ejemplo, es totalmente correcto decir "[texx]f[/texx] es una función", y significa ni más ni menos que [texx]f[/texx] es un conjunto de pares ordenados.

Si queremos precisar más, podemos decir que [texx]f: \mathbb R^2\longrightarrow \mathbb R[/texx], y con ello seguimos sin mencionar ninguna variable en concreto.

Si queremos definir explícitamente [texx]f[/texx], ya necesitamos usar variables, y podemos decir, por ejemplo, que se trata de la función dada por [texx]f(x, y)=x^2y^3[/texx]. Ahora bien, este uso de las variables [texx]x[/texx], [texx]y[/texx] no nos compromete a nada (si no nos importa no ser caballerosos). Dada la función [texx]f:\mathbb R^2\longrightarrow \mathbb R[/texx] definida así, es totalmente correcto afirmar que [texx]f(u, v)=u^2v^3[/texx], o incluso que [texx]f(y, x)=y^2x^3[/texx].

Normalmente se evita invertir así el uso de las variables porque resultará confuso para un lector que no esté infinitamente atento, pero no hay ninguna confusión intrínseca en hacer eso, pues un lector infinitamente atento entenderá de qué se está hablando en cada momento se usen las variables que se usen.

También podemos definir las derivadas parciales de [texx]f[/texx] y llamarlas [texx]D_1f[/texx], [texx]D_2f[/texx] (la derivada respecto de la primera coordenada y respecto de la segunda coordenada, sin importar qué variables usemos para referirnos a ellas, que en teoría pueden ser las que queramos cuando queramos, cambiando de criterio cuando queramos). Así: [texx]D_1f(x, y)=2xy^3[/texx], pero también [texx]D_1(y, x)=2yx^3[/texx].

Incluso podría escribir:

[texx]\displaystyle \frac{\partial f(x, y)}{\partial x}= 2xy^3[/texx], [texx]\displaystyle \frac{\partial f(y,x)}{\partial x}=3y^2x^2[/texx].

Si adoptamos el pacto de caballeros de representar siempre por [texx]x[/texx] la primera variable y siempre por [texx]y[/texx] la segunda, podemos escribir cosas como

[texx]\dfrac{\partial f}{\partial x}[/texx]

y que se entienda que nos referimos a la derivada respecto de la primera variable, pero insisto en que eso sólo es un convenio útil. Ahora depende de cómo haya que interpretar tu pregunta:

Si cuando dices "más correcto" quieres decir "más riguroso", entonces, no, no es ni más ni menos riguroso explicitar o no las variables. Incluso, en una formalización extrema hasta la náusea, te verías obligado a no explicitar las variables, pues en un entorno repelentemente formal no puedes poner una variable donde no corresponde estrictamente ponerla, y una función es [texx]f[/texx], no [texx]f(x, y)[/texx].

Si cuando dices "más correcto" quieres decir "de forma más acorde a los convenios usuales", pues tampoco. Los convenios usuales son los que tú mismo dices haber visto en los que a veces se explicitan las variables y a veces no. Nunca da lugar a confusión. Por supuesto que no es lo mismo [texx]f[/texx] que [texx]f(x, 0)[/texx], y por eso nadie escribe [texx]f[/texx] cuando quiere decir [texx]f(x, 0)[/texx]. A su vez, cuando se usa [texx]f(x,0)[/texx], no para referirse a la imagen por [texx]f[/texx] del par [texx](x, 0)[/texx], sino a una función de una variable, eso es un abuso de notación, pero un abuso que no genera ninguna ambigüedad y que, al contrario, agiliza el lenguaje.
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manooooh
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« Respuesta #5 : 27/10/2018, 20:07:16 pm »

Hola

Siempre tienen razón. Aunque en algún tiempo remoto va a llegar el día en el que veamos [texx]f[/texx] y no signifique [texx]f(x)[/texx] (si trabajamos en una variable), y se van a acordar de este hilo...

Me gustaría aprender un poco más el por qué [texx]f:A\to B\mid y=f(x)[/texx]. ¿Exactamente cómo decimos [texx]f:[/texx]? ¿"[texx]f[/texx] va de... [hasta... tal que...]" o "[texx]f[/texx] se define como la relación que va de... [hasta... tal que...]"? ¿Es equivalente decir [texx]f:= A\to B\mid y=f(x)[/texx]?

Además, tengo entendido que si uno comienza un texto diciendo "Sea la función [texx]f(x)=1/x[/texx]" está MAL, MAL: una función tiene tres partes:

  • dominio,
  • codominio,
  • regla de correspondencia o fórmula.

Por esto uno pensaría que al hablar de [texx]f[/texx] siempre debería decir "Así que la función [texx]f:A\to B\mid f(x)=1/x[/texx]..." o sino "De vuelta con la función [texx]f:A\to B\mid f(x)=1/x[/texx]...", pero esto es un claro abuso de notación. Como ustedes mencionaron, simplemente se define la primera vez la función, y luego se la cita solamente con [texx]f[/texx] y no las tres partes.

Era sólo un comentario.

Saludos
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manooooh
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« Respuesta #6 : 02/01/2019, 15:11:18 pm »

Hola

(...) Porque si nos ponemos puristas, [texx]f(x, y)[/texx] no es una función, sino la imagen por la función [texx]f[/texx] del par [texx](x, y)[/texx].

Me cuesta distinguir. [texx]f[/texx] es un conjunto (de pares ordenados) (que asocia el elemento de partida [texx]x[/texx] con el [texx]y[/texx] a través de una relación de correspondencia o, simplemente, fórmula). ¿[texx]f(x,y)[/texx] será un elemento entonces?

Pero entonces [texx]f(1,2)[/texx] también será un elemento. Quizás habría que especificar que el primero es uno genérico, mientras que este último es un elemento del conjunto [texx]f[/texx] a secas.

Con esto en mente, recordé un extracto de un mensaje que dice:

(...) Si [texx]0\le x \le 1[/texx] entonces [texx]f(x)\le 0[/texx] y si [texx]1\le x \le 2[/texx], [texx]f(x)\ge 0[/texx]. (...)

Para entender, un elemento puede ser mayor, menor o igual a un número ([texx]0[/texx] en este caso ya que se trata de intervalos de positividad y negatividad -- aunque me parece que técnicamente no sería correcto poner la desigualdad en sentido amplio ni en [texx]f(x)\geq0[/texx] ni en [texx]f(x)\leq0[/texx] ya que ¿cuándo [texx]f(x)=0[/texx]?). ¿Entonces es incorrecto poner [texx]f\geq0[/texx] y/o [texx]f\leq0[/texx] pues no tiene sentido hablar de un conjunto mayor a un número?

Si la respuesta es "incorrecto", supongo que también estará mal decir [texx]|f|\geq0[/texx] o [texx]|f|\leq0[/texx].

Saludos
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #7 : 02/01/2019, 19:18:08 pm »

Me cuesta distinguir. [texx]f[/texx] es un conjunto (de pares ordenados) (que asocia el elemento de partida [texx]x[/texx] con el [texx]y[/texx] a través de una relación de correspondencia o, simplemente, fórmula).

Salvo por que no tiene por qué haber ninguna fórmula, sí.

¿[texx]f(x,y)[/texx] será un elemento entonces?

Si somos puristas, [texx]f(x,y)[/texx] es el [texx]z[/texx] que cumple que [texx](x, y, z)\in f[/texx]. Otra cosa es que sea habitual el convenio de decir "sea [texx]f(x, y)[/texx] una función", y de este modo no sólo decimos que vamos a hablar de una función [texx]f[/texx], sino también que vamos a usar las variables [texx]x, y[/texx] para referirnos a los puntos de su dominio. Es una mera declaración de intenciones, que incluso somos libres de violar en cualquier momento sin hacer nada ilegal. A lo sumo antiestético.

Pero entonces [texx]f(1,2)[/texx] también será un elemento.

Claro.

Quizás habría que especificar que el primero es uno genérico, mientras que este último es un elemento del conjunto [texx]f[/texx] a secas.

No entiendo. [texx]f(1,2)[/texx] es el elemento [texx]z[/texx] que cumple [texx](1, 2, z)\in f[/texx], mientras que [texx]f(x, y)[/texx] es el elemento [texx]z[/texx] que cumple [texx](x, y, z)\in f[/texx].

Con esto en mente, recordé un extracto de un mensaje que dice:

(...) Si [texx]0\le x \le 1[/texx] entonces [texx]f(x)\le 0[/texx] y si [texx]1\le x \le 2[/texx], [texx]f(x)\ge 0[/texx]. (...)

Para entender, un elemento puede ser mayor, menor o igual a un número ([texx]0[/texx] en este caso ya que se trata de intervalos de positividad y negatividad -- aunque me parece que técnicamente no sería correcto poner la desigualdad en sentido amplio ni en [texx]f(x)\geq0[/texx] ni en [texx]f(x)\leq0[/texx] ya que ¿cuándo [texx]f(x)=0[/texx]?).

No veo el problema. ¿No es cierto que si [texx]0\le x \le 1[/texx] entonces [texx]f(x)\le 0[/texx]? ¿Qué valor de [texx]x[/texx] cumple [texx]0\le x \le 1[/texx] pero no cumple [texx]f(x)\le 0[/texx]? Por ejemplo, si [texx]x=1[/texx], se cumple [texx]f(1)=0\geq 0[/texx], ¿cuál es el problema?

¿Entonces es incorrecto poner [texx]f\geq0[/texx] y/o [texx]f\leq0[/texx] pues no tiene sentido hablar de un conjunto mayor a un número?

Ninguna notación es incorrecta si uno deja claro qué quiere expresar con ella. Es frecuente escribir [texx]f\geq 0[/texx] para indicar que [texx]f(x)\geq 0[/texx] en todo punto [texx]x[/texx] del dominio de [texx]f[/texx]. En un contexto en el que este convenio está claro (explícita o implícitamente) no hay nada malo en escribir [texx]f\geq 0[/texx].

Si lo prefieres, puedes definir una relación de orden parcial en el conjunto de todas las funciones de un conjunto [texx]A[/texx] en [texx]\mathbb R[/texx] dada por [texx]f\leq g[/texx] si y sólo si [texx]f(x)\leq g(x)[/texx] para todo [texx]x\in A[/texx]. Si además convenimos en llamar [texx]0[/texx] a la función constante igual a [texx]0[/texx], entonces [texx]f\geq 0[/texx] expresa que la función [texx]f[/texx] es mayor o igual que la función [texx]0[/texx] respecto de dicha relación de orden.

Si la respuesta es "incorrecto", supongo que también estará mal decir [texx]|f|\geq0[/texx].

Nunca está mal decir nada si se deja claro qué se quiere decir con ello. Otra cosa es que un criterio de notación pueda entrar en conflicto con otros criterios más habituales y entonces se preste a confusión, con lo que es mejor evitarlo. Pero ése justamente es muy habitual.
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« Respuesta #8 : 02/01/2019, 19:37:14 pm »

Hola

Salvo por que no tiene por qué haber ninguna fórmula, sí.

:sorprendido: en Análisis 1 me dijeron que toda función se representa por:

  • dominio,
  • codominio,
  • regla de correspondencia o fórmula.

Entonces si definimos dos funciones [texx]f:D_f\subseteq\Bbb R\to\Bbb R[/texx] y [texx]g:D_f\subseteq\Bbb R\to\Bbb R[/texx] ¿para vos resultarán iguales? Pero no tendría sentido definir una función sin una fórmula, ningún sentido. ¿Por qué no podemos olvidarnos del dominio, o codominio pero podemos olvidarnos de la fórmula?

Si somos puristas, [texx]f(x,y)[/texx] es el [texx]z[/texx] que cumple que [texx](x, y, z)\in f[/texx]. Otra cosa es que sea habitual el convenio de decir "sea [texx]f(x, y)[/texx] una función", y de este modo no sólo decimos que vamos a hablar de una función [texx]f[/texx], sino también que vamos a usar las variables [texx]x, y[/texx] para referirnos a los puntos de su dominio. Es una mera declaración de intenciones, que incluso somos libres de violar en cualquier momento sin hacer nada ilegal. A lo sumo antiestético.

Me encanta intentar ser purista.

Al ser [texx]f[/texx] una función también es una relación. ¿Entonces podría afirmarse que [texx](x,y,z)\in f\equiv(x,y)f\,z[/texx]?

No entiendo. [texx]f(1,2)[/texx] es el elemento [texx]z[/texx] que cumple [texx](1, 2, z)\in f[/texx], mientras que [texx]f(x, y)[/texx] es el elemento [texx]z[/texx] que cumple [texx](x, y, z)\in f[/texx].

Salvo notación (cambiar los nombres de las variables, etc.), [texx]f(x,y)[/texx] es el "elemento último" de la función. A partir de esa regla general podemos derivar particulares (determinar si [texx]f[/texx] es continua en UN PUNTO, la derivada en UN PUNTO, etcétera para el caso de una variable real). Por eso la distinción entre [texx]f(x,y)[/texx] como genérico y cualquier otro elemento "particular" de él.

No veo el problema. ¿No es cierto que si [texx]0\le x \le 1[/texx] entonces [texx]f(x)\le 0[/texx]? ¿Qué valor de [texx]x[/texx] cumple [texx]0\le x \le 1[/texx] pero no cumple [texx]f(x)\le 0[/texx]? Por ejemplo, si [texx]x=1[/texx], se cumple [texx]f(1)=0\geq 0[/texx], ¿cuál es el problema?

El problema es cómo definimos [texx]0[/texx]. Número es. ¿Es positivo, negativo... o ninguno de los dos?

Pensá en [texx]f:D\subseteq\Bbb R\to\Bbb R\mid f(x)=x[/texx]. Usando las desigualdades en sentido amplio, tendríamos que [texx]C^+=\{x\in f\mid f(x)\geq0\}=\{x\in f\mid x\geq0\}=[0,\infty)[/texx] y [texx]C^-=\{x\in f\mid f(x)\leq0\}=\{x\in f\mid x\geq0\}=(-\infty,0)[/texx]. Incluso podemos armar el conjunto [texx]C^0=\{x\in f\mid f(x)=0\}=\{x\in f\mid x=0\}=\{0\}[/texx] (denominado conjunto de ceros de [texx]f[/texx]).

Como ves, [texx]0\in C^+[/texx] pero también [texx]0\in C^-[/texx] pero también [texx]0\in C^0[/texx], indicando que "[texx]0[/texx] es un número positivo, negativo (incluso a ambos a la vez)". Una locura. Por eso propongo [texx]f(x)>0[/texx], [texx]f(x)<0[/texx] y eventualmente [texx]f(x)=0[/texx] (o sin el [texx](x)[/texx] como prefieras jaja).

Si lo prefieres, puedes definir una relación de orden parcial en el conjunto de todas las funciones de un conjunto [texx]A[/texx] en [texx]\mathbb R[/texx] dada por [texx]f\leq g[/texx] si y sólo si [texx]f(x)\leq g(x)[/texx] para todo [texx]x\in A[/texx]. Si además convenimos en llamar [texx]0[/texx] a la función constante igual a [texx]0[/texx], entonces [texx]f\geq 0[/texx] expresa que la función [texx]f[/texx] es mayor o igual que la función [texx]0[/texx] respecto de dicha relación de orden.

Recuerdo haber hecho un ejercicio con esa relación, que es muy conocida por todos :sonrisa_amplia:. ¿No es que [texx]\Bbb R[/texx] ya está ordenado? Aparte, ¿esa relación que proponés no es la que se usa en todas las universidades del mundo, incluso en la definición propia de Cálculo?

Ninguna notación es incorrecta si uno deja claro qué quiere expresar con ella. Es frecuente escribir [texx]f\geq 0[/texx] para indicar que [texx]f(x)\geq 0[/texx] en todo punto [texx]x[/texx] del dominio de [texx]f[/texx]. En un contexto en el que este convenio está claro (explícita o implícitamente) no hay nada malo en escribir [texx]f\geq 0[/texx].

(...)

Si la respuesta es "incorrecto", supongo que también estará mal decir [texx]|f|\geq0[/texx].

Nunca está mal decir nada si se deja claro qué se quiere decir con ello. Otra cosa es que un criterio de notación pueda entrar en conflicto con otros criterios más habituales y entonces se preste a confusión, con lo que es mejor evitarlo. Pero ése justamente es muy habitual.

Ok. No estaba preguntando si la notación de Fernando era incorrecta, sólo quería saber si [texx]f\geq0[/texx] también es válido.

Carlos: yo no escribo libros rigurosos, por lo que el contexto en el que escribo es para el ámbito universitario. Creo que en este contexto puedo usar [texx]f(x)[/texx] o [texx]f[/texx], gracias a tus mensajes.

Saludos
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« Respuesta #9 : 02/01/2019, 20:37:34 pm »



Carlos: yo no escribo libros rigurosos, por lo que el contexto en el que escribo es para el ámbito universitario. Creo que en este contexto puedo usar [texx]f(x)[/texx] o [texx]f[/texx], gracias a tus mensajes.


¿Acaso en el ámbito universitario no es importante ser claro, preciso y riguroso?
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #10 : 02/01/2019, 20:46:13 pm »

Entonces si definimos dos funciones [texx]f:D_f\subseteq\Bbb R\to\Bbb R[/texx] y [texx]g:D_f\subseteq\Bbb R\to\Bbb R[/texx] ¿para vos resultarán iguales?

Serán iguales si [texx]f(x)=g(x)[/texx] para todo [texx]x\in D_f[/texx], si no, pues no, claro.

Por otro lado, si defines una función como un conjunto de pares ordenados, tienes que admitir que la función [texx]f:\mathbb N\longrightarrow \mathbb N[/texx] dada por [texx]f(n)=n+1[/texx] es la misma que la función [texx]f:\mathbb N\longrightarrow \mathbb R[/texx] dada por [texx]f(n)=n+1[/texx], a pesar de que vayan a conjuntos distintos.

Si no quieres que sea así, tendrás que dar una definición más elaborada de función, lo cual es posible, pero innecesario a todos los efectos.

Pero no tendría sentido definir una función sin una fórmula, ningún sentido. ¿Por qué no podemos olvidarnos del dominio, o codominio pero podemos olvidarnos de la fórmula?

Pero es que no toda función admite una definición. Una función [texx]f[/texx] tiene un dominio perfectamente determinado quieras o no, a saber, el conjunto de todos los [texx]x[/texx] tales que existe un [texx]y[/texx] tal que [texx](x, y)\in f[/texx]. Una misma función admite como codominio cualquier conjunto que contenga a todos esos [texx]y[/texx]. Pero, dada una función arbitraria, no tiene por qué haber una fórmula que relacione cada [texx]x[/texx] con [texx]f(x)[/texx] (salvo la fórmula autorreferente [texx]y=f(x)[/texx], claro).

Al ser [texx]f[/texx] una función también es una relación. ¿Entonces podría afirmarse que [texx](x,y,z)\in f\equiv(x,y)f\,z[/texx]?

En efecto.

Salvo notación (cambiar los nombres de las variables, etc.), [texx]f(x,y)[/texx] es el "elemento último" de la función. A partir de esa regla general podemos derivar particulares (determinar si [texx]f[/texx] es continua en UN PUNTO, la derivada en UN PUNTO, etcétera para el caso de una variable real). Por eso la distinción entre [texx]f(x,y)[/texx] como genérico y cualquier otro elemento "particular" de él.

Pero esa distinción está en tu mente, no en la función o en el punto. Es como si dices que hay "personas genéricas" como "alguien" y personas concretas como "Juan". Hay personas y punto, con independencia de que puedas refererite a ellas con pronombres genéricos o con nombres propios.

El problema es cómo definimos [texx]0[/texx]. Número es. ¿Es positivo, negativo... o ninguno de los dos?

La respuesta, por supuesto, es que lo puedes definir como quieras, con tal de que dejes clara tu definición cuando la uses. Pero ¿eso qué tiene que ver con que la expresión de Fernando es impecable? Fernando no habla de positivos ni de negativos, sino de [texx]\geq 0[/texx] o [texx]\leq 0[/texx], y eso no ofrece ambigüedad alguna.

Pensá en [texx]f:D\subseteq\Bbb R\to\Bbb R\mid f(x)=x[/texx]. Usando las desigualdades en sentido amplio, tendríamos que [texx]C^+=\{x\in f\mid f(x)\geq0\}=\{x\in f\mid x\geq0\}=[0,\infty)[/texx] y [texx]C^-=\{x\in f\mid f(x)\leq0\}=\{x\in f\mid x\geq0\}=(-\infty,0][/texx]. Incluso podemos armar el conjunto [texx]C^0=\{x\in f\mid f(x)=0\}=\{x\in f\mid x=0\}=\{0\}[/texx] (denominado conjunto de ceros de [texx]f[/texx]).

Como ves, [texx]0\in C^+[/texx] pero también [texx]0\in C^-[/texx] pero también [texx]0\in C^0[/texx],

En efecto, con esas definiciones se cumple lo que dices. No hay problema.

indicando que "[texx]0[/texx] es un número positivo, negativo (incluso a ambos a la vez)". Una locura.

Si defines "positivo" como perteneciente a [texx][0,+\infty[[/texx] y negativo como perteneciente a [texx]]-\infty, 0][/texx], entonces el cero es positivo y negativo por definición. No hay problema. Los topólogos dicen que el conjunto vacío es abierto y cerrado y nadie les llama locos.

Por eso propongo [texx]f(x)>0[/texx], [texx]f(x)<0[/texx] y eventualmente [texx]f(x)=0[/texx] (o sin el [texx](x)[/texx] como prefieras jaja).
[/quote]

No entiendo qué es lo que propones. ¿Qué significa "propongo que f de equis sea mayor que cero"?

Recuerdo haber hecho un ejercicio con esa relación, que es muy conocida por todos :sonrisa_amplia:. ¿No es que [texx]\Bbb R[/texx] ya está ordenado? Aparte, ¿esa relación que proponés no es la que se usa en todas las universidades del mundo, incluso en la definición propia de Cálculo?

Parece que estás siendo irónico, pero no a partir de algo que está claro, sino a partir de algún malentendido, pero la ironía me hace difícil saber en qué estás pensando. No sé si piensas que lo que he definido es la relación de orden en [texx]\mathbb R[/texx], pero si es eso [lo que piensas], pues no es eso. Lo que he definido es, a partir de la relación de orden en [texx]\mathbb R[/texx], otra relación en el conjunto [texx]\mathbb R^A[/texx] de las funciones de [texx]A[/texx] en [texx]\mathbb R[/texx].

Ok. No estaba preguntando si la notación de Fernando era incorrecta, sólo quería saber si [texx]f\geq0[/texx] también es válido.

Claro. Es válido si dejas claro que significa que [texx]f(x)\geq 0[/texx] para todo [texx]x[/texx] en el dominio de [texx]f[/texx].

Carlos: yo no escribo libros rigurosos, por lo que el contexto en el que escribo es para el ámbito universitario. Creo que en este contexto puedo usar [texx]f(x)[/texx] o [texx]f[/texx], gracias a tus mensajes.

Aparte del comentario incisivo de argentinator, si entendemos que un texto matemático es riguroso si en él no hay ambigüedades ni lagunas de razonamiento, entonces cualquiera puede usar [texx]f(x)[/texx] o [texx]f[/texx] y ser totalmente riguroso, sin más que dejar claro a qué se refiere en cada momento, o dejar que el contexto lo deje claro si el uso que se hace es estándar.
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« Respuesta #11 : 02/01/2019, 21:20:24 pm »

Hola argentinator

¿Acaso en el ámbito universitario no es importante ser claro, preciso y riguroso?

Teóricamente sí. Lo que pasa es que en una universidad que no sea de matemáticas no se insiste con cuestiones de notación. No en mi caso. Por ahí si pregunto a un profesor de Análisis qué piensa de si escribir [texx]f[/texx] o [texx]f(x)[/texx] dirá "es lo mismo", y en el foro encuentro las razones de por qué es igual de una u otra manera, lo que me lleva a formular otras preguntas, como lo de si escribir la desigualdad en sentido amplio o no de una inecuación, cosa que un profesor dedicado a una sola materia no le prestará atención.

También están aquellos profesores que tocan y que no explican bien y uno no sabe si está bien o no porque quiere sacarse la materia de encima. Para este caso muchos se conforman con la notación que se impone, y quizás está bien o quizás no. Acá depende si uno quiere abrir un libro y/o Internet y comparar notaciones.

Cuando me refiero al "ámbito universitario" es el del ambiente en clases e incluso parciales. ¿Creés que en este ambiente los profesores son rigurosos con la notación, o por el contrario, como tienen que terminar el plan de la materia o porque son amargados o por cualquier otra cosa se olvidan de aclarar estas cosas? Yo creo (y vivo) lo segundo. Esta es una de las patas por las que pregunto (la otra es por curiosidad).

Pero en mi universidad en particular no es todo homogéneo ni la notación está universalmente establecida por los profesores.

Saludos
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« Respuesta #12 : 02/01/2019, 22:28:33 pm »

Lamento que tengas que vivir eso.
Lo importante no es la notación,  sino la precisión.
Si lo que escribís es lo bastante preciso para que no queden dudas
de lo que querés decir,  entonces está bien. Si te suena a que puede haber alguna duda,  nunca está de más agregar alguna aclaración.
Y en cuanto al dominio y el codominio de una función son algo importante. Si escribís una función sin tener claro el dominio y el codominio,  siempre vas a tambalear.
Según mi experiencia,  un manejo sólido de las funciones requiere que uno siempre tenga presente cuál es el dominio y el codominio.
Y para que te pongan buena nota,  todos los detalles  que tenés presente tenés que escribirlos, aunque sea con una explicación con palabras.
Lo que no está escrito en la hoja no suma nota.
Suerte.

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« Respuesta #13 : 02/01/2019, 22:38:05 pm »

Hola

Serán iguales si [texx]f(x)=g(x)[/texx] para todo [texx]x\in D_f[/texx], si no, pues no, claro.

Allí ya estás dando una fórmula.

Por otro lado, si defines una función como un conjunto de pares ordenados (...)

¿De qué otra manera se puede definir una función? Hablando siempre en Cálculo.

(...) Tienes que admitir que la función [texx]f:\mathbb N\longrightarrow \mathbb N[/texx] dada por [texx]f(n)=n+1[/texx] es la misma que la función [texx]f:\mathbb N\longrightarrow \mathbb R[/texx] dada por [texx]f(n)=n+1[/texx], a pesar de que vayan a conjuntos distintos.

Si no quieres que sea así, tendrás que dar una definición más elaborada de función, lo cual es posible, pero innecesario a todos los efectos.

Hasta hace unos momentos me había "comido" la definición que me habían dicho en la universidad. Pero veo que tenés razón con ese contraejemplo.

Dicho informalmente, ¿cuál de las 3 condiciones que propongo (que no es más que una transmisión de lo que me enseñaron) debería quitar y/o agregar?: "Dos funciones son iguales sii tienen 1) Dominios iguales, 2) Codominios iguales, 3) Fórmulas iguales".

Pero es que no toda función admite una definición. (...)

¿Por ejemplo?

(...) Una función [texx]f[/texx] tiene un dominio perfectamente determinado quieras o no, a saber, el conjunto de todos los [texx]x[/texx] tales que existe un [texx]y[/texx] tal que [texx](x, y)\in f[/texx]. Una misma función admite como codominio cualquier conjunto que contenga a todos esos [texx]y[/texx]. Pero, dada una función arbitraria, no tiene por qué haber una fórmula que relacione cada [texx]x[/texx] con [texx]f(x)[/texx] (salvo la fórmula autorreferente [texx]y=f(x)[/texx], claro).

Ahhh... creo que ya sé por dónde vas. Una función de toda la vida que cualquiera sabe son las que se ven en Cálculo, pero ahora me hacés notar que hay muchas más funciones, como por ejemplo [texx]f:\{1,2\}\to\{1,2\}\mid f=\{(1,1),(2,2)\}[/texx]. O sea me refiero a estos ejemplos, donde [texx]f[/texx] se da mediante un conjunto y no una fórmula (aunque sé que podría representarse por [texx]f:\{1,2\}\to\{1,2\}\mid f(x)=x[/texx] pero la idea es esta creo). Aunque hasta el momento no he sido capaz de encontar un ejemplo. ¿Podrías indicarme un ejemplo de función que no esté dada por una fórmula, por favor?

Pero esa distinción está en tu mente, no en la función o en el punto. Es como si dices que hay "personas genéricas" como "alguien" y personas concretas como "Juan". Hay personas y punto, con independencia de que puedas refererite a ellas con pronombres genéricos o con nombres propios.

¿Entonces te parece totalmente irrelevante distinguirlo por el resto de elementos?

La respuesta, por supuesto, es que lo puedes definir como quieras, con tal de que dejes clara tu definición cuando la uses. Pero ¿eso qué tiene que ver con que la expresión de Fernando es impecable? Fernando no habla de positivos ni de negativos, sino de [texx]\geq 0[/texx] o [texx]\leq 0[/texx], y eso no ofrece ambigüedad alguna.

¿Qué tengo que dejar claro? ¿Qué debo aclarar cuando digo [texx]f(x)\geq0[/texx] o si quiero [texx]f(x)>0[/texx]?

Ofrece ambigüedad porque un mismo elemento está en varios conjuntos al mismo tiempo.

Con el caso de [texx]f(x)=x[/texx], si se pidiera "¿A qué conjunto pertenece el [texx]0[/texx]?" dirías "A los tres", lo que es totalmente ambigüo. ¿No te parece que una función es positiva cuando la fórmula (o imagen, digamos) es estrictamente mayor a [texx]0[/texx]? El [texx]=[/texx] reservémoslo para el conjunto de ceros.

Si defines "positivo" como perteneciente a [texx][0,+\infty[[/texx] y negativo como perteneciente a [texx]]-\infty, 0][/texx], entonces el cero es positivo y negativo por definición. No hay problema. Los topólogos dicen que el conjunto vacío es abierto y cerrado y nadie les llama locos.

No creo que sea rigurosamente cierto. Un número no puede tener dos estados al mismo tiempo. No es binario, como ocurre en informática. Que el [texx]0[/texx] sea par está bien, pero que [texx]0[/texx] sea positivo y negativo al mismo tiempo no. Incluso si decís "positivo o negativo" tampoco; el [texx]0[/texx] es un número que cumple la propiedad de no tener signo. Por ello decir que el conjunto de positividad ocurre cuando [texx]f(x)>0[/texx], el de negatividad [texx]f(x)<0[/texx] y el de ceros [texx]f(x)=0[/texx]. Aparte quedan mejor distinguidos, sino te encontrás con que un elemento del conjunto de ceros está también en uno de positividad y en uno de negatividad; difuso por lo menos para mí.

No entiendo qué es lo que propones. ¿Qué significa "propongo que f de equis sea mayor que cero"?

Esto ya es fuera de contexto (recordemos que la duda era de si escribir [texx]f\geq0[/texx] y/o [texx]f(x)\geq0[/texx]). Me refiero a definir [texx]C_f^+[/texx] como el conjunto de todos los elementos del dominio tales que [texx]f(x)>0[/texx] y no [texx]f(x)\geq0[/texx].

Parece que estás siendo irónico, pero no a partir de algo que está claro, sino a partir de algún malentendido, pero la ironía me hace difícil saber en qué estás pensando. No sé si piensas que lo que he definido es la relación de orden en [texx]\mathbb R[/texx], pero si es eso [lo que piensas], pues no es eso. Lo que he definido es, a partir de la relación de orden en [texx]\mathbb R[/texx], otra relación en el conjunto [texx]\mathbb R^A[/texx] de las funciones de [texx]A[/texx] en [texx]\mathbb R[/texx].

No soy irónico, quiero quitarme las lagunas en mi cabeza jajaja.

Lo que me refiero es preguntar si [texx]f\leq g\iff f(x)\leq g(x)[/texx] es lo que se usa para determinar si una función es más grande que otra (en un intervalo). Por ejemplo, si queremos comparar cuál de [texx]f(x)=x[/texx] o [texx]g(x)=x^2[/texx] es menor en [texx][0,1][/texx] usamos [texx]f(x)\leq g(x)[/texx] y, mediante manipulaciones algebraicas, concluimos cuál es más chica (en caso de que [texx]f(x)\neq g(x)[/texx]). Pero esta relación de orden es la que me enseñaron para decidir qué función es más chica que otra, ¿por qué decís "si lo prefieres, puedes definir (...)"? Es algo que siempre usé.

Claro. Es válido si dejas claro que significa que [texx]f(x)\geq 0[/texx] para todo [texx]x[/texx] en el dominio de [texx]f[/texx].

No entiendo si ya estás dando la respuesta o si tengo que definir qué significa que "[texx]f(x)\geq 0[/texx] para todo [texx]x[/texx] en el dominio de [texx]f[/texx]".

Si es lo segundo, ¡es obvio saber qué significa [texx]f(x)\geq0[/texx]! Dada [texx]f(x)[/texx] se busca/n el/los valor/es de [texx]x[/texx] que hagan cierta [texx]f(x)\geq0[/texx]. Esto lo sé del secundario y de la universidad. ¿Por qué habría que aclarar qué significa si todo el mundo lo sabe?

Aparte del comentario incisivo de argentinator, si entendemos que un texto matemático es riguroso si en él no hay ambigüedades ni lagunas de razonamiento, entonces cualquiera puede usar [texx]f(x)[/texx] o [texx]f[/texx] y ser totalmente riguroso, sin más que dejar claro a qué se refiere en cada momento, o dejar que el contexto lo deje claro si el uso que se hace es estándar.

Lo llevás al caso de libros pero muchos alumnos (incluido yo) no leemos todo lo que teóricamente necesitaríamos leer. Pregunto por el caso del ámbito universitario. ¿Creés que en cualquier universidad es igualmente válido decir [texx]f[/texx] y [texx]f(x)[/texx]? Recordá que busco rigurosidad en un ámbito universitario, sino no estaría preguntando todo esto.

Gracias y saludos
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« Respuesta #14 : 02/01/2019, 22:50:58 pm »

Hola

Lamento que tengas que vivir eso.
Lo importante no es la notación,  sino la precisión.
Si lo que escribís es lo bastante preciso para que no queden dudas
de lo que querés decir,  entonces está bien. Si te suena a que puede haber alguna duda,  nunca está de más agregar alguna aclaración.
Y en cuanto al dominio y el codominio de una función son algo importante. Si escribís una función sin tener claro el dominio y el codominio,  siempre vas a tambalear.
Según mi experiencia,  un manejo sólido de las funciones requiere que uno siempre tenga presente cuál es el dominio y el codominio.
Y para que te pongan buena nota,  todos los detalles  que tenés presente tenés que escribirlos, aunque sea con una explicación con palabras.
Lo que no está escrito en la hoja no suma nota.

En la UBA muchísimas veces se evalúa mediante múltiple choice sin justificación alguna. Marcás la respuesta y te corrigen solamente si el puntito que marcaste era la opción A. Sin embargo la UBA está catalogada como una de las mejores universidades del mundo. Lo de "mejor" también incluye el modo de evalución supongo.

En realidad lo que actualmente pasa es que los profesores tienen mucha libertad a la hora de corregir un trabajo o un examen.

Lo que me quedó claro es que en un contexto de poca rigurosidad (como una universidad no matemática) es válido escribir [texx]f[/texx] o [texx]f(x)[/texx]. Yo pensé que [texx]f(x)[/texx] dejaba las cosas más claras.

Gracias por lo de tener en claro dominio y codominio.

Saludos
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« Respuesta #15 : 02/01/2019, 23:30:49 pm »

En la UBA muchísimas veces se evalúa mediante múltiple choice sin justificación alguna. Marcás la respuesta y te corrigen solamente si el puntito que marcaste era la opción A. Sin embargo la UBA está catalogada como una de las mejores universidades del mundo. Lo de "mejor" también incluye el modo de evalución supongo.

En realidad lo que actualmente pasa es que los profesores tienen mucha libertad a la hora de corregir un trabajo o un examen.

Se supone que una prueba de selección múltiple es tan buena (o mala) como otra, pero son muy difíciles de redactar.

En mi opinión, no hay una "mejor forma" de evaluar el aprendizaje de un curso numeroso, pero tampoco creo que sea lo más importante. Si los alumnos son buenos, el profesor enseña bien, los alumnos tienen acceso a buen material (libros apropiados, listados de ejercicios bien hechos...) las pruebas son lo de menos, mientras se pregunte lo que se vio, por supuesto.

Yo creo que eligiendo buenos profesores, mientras más libertad de cátedra tengan es mejor. Cualquier intento de estandarización será peor que la libertad (libertad bajo reglamentos mínimos, obvio).
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« Respuesta #16 : 03/01/2019, 07:51:14 am »

Hola, manoooh, paso nada más que nada a darte los buenos días pero por comentar algo.


¿No creen que los libros han simplificado esta notación para ahorrar espacio y tinta, y así reducir gastos?....



Creo que no se trata de ahorrar, en mi inexperta opinión.

Piensa por ejemplo en esto:

f: [texx]x^{2}+x+3[/texx],     [texx]y^{2}+y+3[/texx],     [texx]a^{2}+a+3[/texx]...

g: [texx]x^{2}+8[/texx],      [texx]y^{2}+8[/texx],      [texx]a^{2}+8[/texx]

Se trata de la misma [texx]f[/texx], por una parte, y de la misma [texx]g[/texx], siendo ambas distintas, y donde hay infinitas letras distintas que poner para representar la variable.

Si acaso se podría convenir una notación general como [texx]f(var)[/texx] o con los paréntesis vacíos, como se usa en los lenguajes de programación para muchas cosas, [texx]f()[/texx], pero, personalmente, me parece inecesario añadir esos paréntesis (dejando aparte rutinas informáticas) a no ser que haya confusión con una “f” igual que signifique otra cosa. Sólo cuando entre en juego alguna cuestión particular (como un ejemplo, un desarrollo...) será necesario introducir la variable que se vaya a usar (que no tiene por qué ser “x”); en otros casos puede incluso confundir.

* Lo que digo es también por mi corta experiencia personal, En la UNED tuve que estudiar solo, ya sabes, yo contra el libro y el libro contra mí; y de repente había que estudiar el Teorema del valor medio, por ejemplo, donde entraba f(a), f(b), f(c)... o sea, entraba “f de varias cosas”.
Cuando uno ya ha aprendido un concepto, no se acuerda demasiado de las dificultades  que tuvo al principio, pero, creo recordar que una de ellas fue ver que una “f” es en la pura práctica una fórmula, es una “forma”, un cuenta concreta independiente de la variable o letra que se use para ésta (y la culpa de esa pequeña dificultad -no fue mucha, me di cuenta pronto- que yo tuve radicaba en el abuso de escribir casi siempre f(x); no es bueno institucionalizar las letras; también tuve problemas con la "n", que muchas veces es un entero y no necesariamente un natural)


Saludos.
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« Respuesta #17 : 03/01/2019, 09:55:50 am »

Creo que, efectivamente, estamos tan acostumbrados a manejar distintas notaciones que no les damos importancia, y nos cuesta ver las diferencias y clasificarlas, lo que sucede con frecuencia cuando algo, por la misma experiencia, se nos vuelve transparente.

Yo suelo distinguir entre dos niveles que aparecen en el asunto:
  
   El primero es el de los conjuntos intervinientes,
   el conjunto inicial, el final y la propia correspondencia,
   con sus subconjuntos cantados.
   Ya la misma función (un tipo de correspondencia) es subconjunto
   del producto cartesiano, del inicial por el final,
   o la imagen es subconjunto del final, etc.

   El segundo es el de los elementos que les pueden pertenecer a los tres.

Son tres por tres, seis elementos diferenciados, a los que aplicamos las convenciones de escritura.
Las primeras regletas se definen con los seis dando menos símbolos (que pasan a ser supuestos o implícitos), como cuando decimos que f<g, o que f(x)<g(x), donde vemos que es la misma expresión, pero dada en los dos niveles, omitiendo el recorrido. O la mas extraña f=x+y, que es decir f(x,y)=x+y, donde se igualan los dos nombres de la imagen de (x,y), el estándar general y el concreto.

Esto último, hablar solo de la imagen, es lo que mas se lleva, porque tiene todos los elementos de la escena a recomponer: su "x","y" y su "f", y por ende las de los conjuntos a los que pertenecen, sus mayores del primer piso, que serian "X","Y" y su "F", por sugerir nombres similares. A veces, por la generalidad del tema, basta con el primer nivel, el de los conjuntos, cuando hablamos p.e. de f+g, donde se supone que antes se definió la suma de funciones, etc.
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« Respuesta #18 : 03/01/2019, 10:52:19 am »

Allí ya estás dando una fórmula.

Pues entonces tendrías que aclarar a qué te refieres con una fórmula. En principio, yo entendía que te referías a que si, por ejemplo, defines [texx]f(x)=x^2+1[/texx], entonces [texx]x^2+1[/texx] es la fórmula que define a [texx]f[/texx]. Pero si escribo [texx]f(x)=g(x)[/texx], no estoy diciendo nada sobre si [texx]f[/texx] y [texx]g[/texx] tienen o no fórmulas que las definen.

¿De qué otra manera se puede definir una función? Hablando siempre en Cálculo.

Pues, si quieres forzar a que una función determine su codominio, puedes decir que una función es una terna [texx]f=(G, A, B)[/texx], donde [texx]G\subset A\times B[/texx] es lo que usualmente se llama función de [texx]A[/texx] en [texx]B[/texx]. De este modo, para que dos funciones [texx]f=(G, A, B)[/texx] y [texx]f' = (G', A', B')[/texx] sean iguales es necesario que coincidan los dominios [texx]A=A'[/texx], los codominios [texx]B=B'[/texx] y que se cumpla [texx]f(x)=g(x)[/texx] para todo [texx]x\in A[/texx], donde [texx]f(x)[/texx] se define como el único [texx]y\in B[/texx] tal que [texx](x, y)\in G[/texx].

Pero no se gana nada complicando las cosas así.

Dicho informalmente, ¿cuál de las 3 condiciones que propongo (que no es más que una transmisión de lo que me enseñaron) debería quitar y/o agregar?: "Dos funciones son iguales sii tienen 1) Dominios iguales, 2) Codominios iguales, 3) Fórmulas iguales".

Insisto en que tendrás que explicar a qué te refieres con "fórmulas", porque, en el sentido que te decía antes, una función no tiene por qué estar definida por ninguna fórmula. En cualquier caso, dos funciones [texx]f[/texx] y [texx]g[/texx] son iguales si y sólo si tienen un mismo dominio [texx]A[/texx] y para todo [texx]x\in A[/texx] se cumple que [texx]f(x)=g(x)[/texx].

Pero es que no toda función admite una definición. (...)

¿Por ejemplo?

Eso también depende de qué entiendes por definición. Entrar en eso con detalle nos metería en vericuetos lógicos, pero voy a tratar de explicar algo sin entrar en tecnicismos y relacionándolo también con la cuestió de a qué puedes estar llamando "fórmula" definitoria de una función.

Está claro que la función [texx]f(x)=x^2+1[/texx] está definida por la fórmula [texx]x^2+1[/texx]. De todos modos, sigo sin tener claro cómo hay que entender eso que decías de que para que dos funciones sean iguales tienen que tener fórmulas iguales, porque, por ejemplo, [texx]f(x)=x^2[/texx] y [texx]g(x)=|x^2|[/texx] están definidas por dos fórmulas distintas, pero son iguales.

Ahora, una función como

[texx]f(x)=\begin{cases} x^2+1 & \text{si}& x\geq 0\\ 1-x^2 & \text{si}& x\leq 0\end{cases}[/texx]

¿está definida por una fórmula? Podríamos entender que sí si la escribimos como

[texx]f=\{(x,y)\in \mathbb R^2\mid (x\geq 0\land y=x^2+1)\lor (x\leq 0\land y=1-x^2)\}[/texx]

Entonces, la fórmula que la define es [texx](x\geq 0\land y=x^2+1)\lor (x\leq 0\land y=1-x^2)[/texx].

Ahora supongamos que digo: sea [texx]A\subset \mathbb R[/texx] un conjunto y consideremos la función

[texx]f(x)=\begin{cases} 1 & \text{si}& x\in A\\ 0 & \text{si}& x\notin A\end{cases}[/texx]


¿Está [texx]f[/texx] definida por una fórmula? Lo digo porque [texx]f[/texx] está definida en términos de un conjunto [texx]A[/texx] que no he definido. ¿Vale eso como definición de [texx]f[/texx]? Si te digo "llamo x al padre de cierto y" ¿he definido a una persona?

Si me dices que sí en un sentido amplio, entonces toda función está definida por una fórmula, porque siempre podemos decir que [texx]f(x)= [/texx] el [texx]y[/texx] que cumple [texx](x, y)\in f[/texx], pero esto es una "definición" circular. ¿Vale, no obstante, la anterior (la de la [texx]A[/texx]) porque no es circular? ¿Consideras que en ese caso [texx]f[/texx] está definida por una fórmula aunque aparezca en ella una [texx]A[/texx] no definida?

Naturalmente, podría darse el caso de que el conjunto [texx]A[/texx] pudiera definirse a su vez por una fórmula, por ejemplo, [texx]A=[0,1][/texx], y entonces, incorporando esa fórmula a la definición de [texx]f[/texx], tendríamos una definición de [texx]f[/texx] mediante una fórmula, pero, ¿y si digo: sea [texx]A[/texx] un subconjunto de [texx]\mathbb R[/texx] no medible Lebesgue? (Eso significa un conjunto que no tiene definida una longitud.) Puede probarse que existen conjuntos así, pero es imposible definir ninguno de ellos mediante una fórmula. En tal caso, si [texx]f[/texx] está definida a partir de [texx]A[/texx] y no existen fórmulas que definen a [texx]A[/texx], ¿dirías que [texx]f[/texx] está definido por una fórmula?

Y, aun en el supuesto de que me contestes que sí a todo, está el siguiente argumento general: el conjunto [texx]\mathbb R^{\mathbb R}[/texx] de todas las funciones de [texx]\mathbb R[/texx] en sí mismo tiene cardinal mayor que el de [texx]\mathbb R[/texx], en particular, es no numerable. Sin embargo, sólo hay una cantidad numerable de definiciones posibles, porque el lenguaje que empleamos para definir cosas tiene una cantidad numerable de signos. (Aquí habría que discutir hasta qué punto admitimos parámetros en las definiciones, pero eso ya nos llevaría a cuestiones muy técnicas.) Si admitimos que sólo hay una cantidad numerable de definiciones posibles, entonces la mayoría de las funciones de [texx]\mathbb R[/texx] en sí mismo no admiten definición alguna, porque hay muchas más que una cantidad numerable.

Ahhh... creo que ya sé por dónde vas. Una función de toda la vida que cualquiera sabe son las que se ven en Cálculo, pero ahora me hacés notar que hay muchas más funciones, como por ejemplo [texx]f:\{1,2\}\to\{1,2\}\mid f=\{(1,1),(2,2)\}[/texx]. O sea me refiero a estos ejemplos, donde [texx]f[/texx] se da mediante un conjunto y no una fórmula (aunque sé que podría representarse por [texx]f:\{1,2\}\to\{1,2\}\mid f(x)=x[/texx] pero la idea es esta creo). Aunque hasta el momento no he sido capaz de encontar un ejemplo. ¿Podrías indicarme un ejemplo de función que no esté dada por una fórmula, por favor?

Cualquier función finita es definible mediante una fórmula. Por ejemplo [texx]f=\{(x, y)\mid (x, y)=(1,1)\lor (x, y)=(2,2)\}[/texx]. Para la última pregunta me remito a lo dicho más arriba.

Pero esa distinción está en tu mente, no en la función o en el punto. Es como si dices que hay "personas genéricas" como "alguien" y personas concretas como "Juan". Hay personas y punto, con independencia de que puedas refererite a ellas con pronombres genéricos o con nombres propios.

¿Entonces te parece totalmente irrelevante distinguirlo por el resto de elementos?

No entiendo la pregunta.

¿Qué tengo que dejar claro? ¿Qué debo aclarar cuando digo [texx]f(x)\geq0[/texx] o si quiero [texx]f(x)>0[/texx]?

Pues ahí está. Que para mí (y para todo el mundo, creo) está completamente claro, por lo que no entiendo qué objeciones encuentras.

Ofrece ambigüedad porque un mismo elemento está en varios conjuntos al mismo tiempo.

Algo que dices es ambiguo cuando no está claro lo que quieres decir, cuando se puede interpretar de formas distintas. Que un mismo elemento esté en varios conjuntos al mismo tiempo no es ninguna ambigüedad siempre que esté claro cuándo pertenece y cuándo no a cada conjunto. ¿Qué ambigüedad hay en que el [texx]3[/texx] esté al mismo tiempo en [texx][2,3][/texx] y en [texx][3,4][/texx]? Para eso creó Dios la intersección, para hablar de los elementos que están en dos conjuntos al mismo tiempo.

Con el caso de [texx]f(x)=x[/texx], si se pidiera "¿A qué conjunto pertenece el [texx]0[/texx]?" dirías "A los tres", lo que es totalmente ambigüo.

No tiene nada de ambiguo. Sería ambiguo si no estuviera claro a qué conjuntos pertenece y a cuáles no.

¿No te parece que una función es positiva cuando la fórmula (o imagen, digamos) es estrictamente mayor a [texx]0[/texx]? El [texx]=[/texx] reservémoslo para el conjunto de ceros.

Una función es positiva cuando cumple lo que hayas querido definir como función positiva. Si en un libro lees "la función f es positiva" y ves que algo de lo que dice no te acaba de cuadrar, tendrás que mirar si unas páginas más atrás ha definido función positiva de forma distinta de la que tú dabas por supuesta. Y puedes encontrarte con que diga: "llamaremos funciones positivas a las que son siempre mayores que 0" o bien "llamaremos funciones positivas a las que son siempre mayores o iguales que 0" y, si lo ha dejado bien claro, todo lo que diga luego que sea coherente con su definición estará libre de ambigüedades, porque no habrá ninguna duda de lo que quiere decir con "función positiva".

Si defines "positivo" como perteneciente a [texx][0,+\infty[[/texx] y negativo como perteneciente a [texx]]-\infty, 0][/texx], entonces el cero es positivo y negativo por definición. No hay problema. Los topólogos dicen que el conjunto vacío es abierto y cerrado y nadie les llama locos.

No creo que sea rigurosamente cierto.

¿No es rigurosamente cierto que el conjunto vacío es abierto y cerrado?

Un número no puede tener dos estados al mismo tiempo. No es binario, como ocurre en informática. Que el [texx]0[/texx] sea par está bien, pero que [texx]0[/texx] sea positivo y negativo al mismo tiempo no. Incluso si decís "positivo o negativo" tampoco; el [texx]0[/texx] es un número que cumple la propiedad de no tener signo.

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Pero todo eso que dices es arbitrario. No existe nada llamado "estado de un número". Los números son números y pertenecen a los conjuntos a los que pertenecen, y no hay ningún problema en que un número pertenezca a varios conjuntos. No hay problema en que el cero sea el único número positivo y negativo (si se opta por definir estos conceptos para que así sea) igual que no hay ningún problema en que el 2 sea el único número primo y par.

Por ello decir que el conjunto de positividad ocurre cuando [texx]f(x)>0[/texx], el de negatividad [texx]f(x)<0[/texx] y el de ceros [texx]f(x)=0[/texx]. Aparte quedan mejor distinguidos, sino te encontrás con que un elemento del conjunto de ceros está también en uno de positividad y en uno de negatividad; difuso por lo menos para mí.

Pero eso es discutir qué definición es más conveniente, lo cual no tiene nada que ver con si una definición es más o menos rigurosa. Cualquier definición que no deje dudas sobre cómo se aplica es rigurosa. Otra cosa es que haya distintas definiciones posibles y se opte por una u otra por conveniencia.

No entiendo qué es lo que propones. ¿Qué significa "propongo que f de equis sea mayor que cero"?

Esto ya es fuera de contexto (recordemos que la duda era de si escribir [texx]f\geq0[/texx] y/o [texx]f(x)\geq0[/texx]). Me refiero a definir [texx]C_f^+[/texx] como el conjunto de todos los elementos del dominio tales que [texx]f(x)>0[/texx] y no [texx]f(x)\geq0[/texx].

Pues repito lo mismo: puedes defiinirlo como quieras con tal de que dejes clara cuál es tu definición. Y cuando leas un texto de otro que hable de eso, tendrás que fijarte en cuál es su definición para no caer en equívocos.

No soy irónico, quiero quitarme las lagunas en mi cabeza jajaja.

Quede claro que no tengo nada en contra de las ironías (al contrario). Hay a quien le molestan, pero no es mi caso en absoluto. Lo que pasa es que en este caso me parecía que el intento de ironía oscurecía lo que querías decir.

Lo que me refiero es preguntar si [texx]f\leq g\iff f(x)\leq g(x)[/texx] es lo que se usa para determinar si una función es más grande que otra (en un intervalo). Por ejemplo, si queremos comparar cuál de [texx]f(x)=x[/texx] o [texx]g(x)=x^2[/texx] es menor en [texx][0,1][/texx] usamos [texx]f(x)\leq g(x)[/texx] y, mediante manipulaciones algebraicas, concluimos cuál es más chica (en caso de que [texx]f(x)\neq g(x)[/texx]). Pero esta relación de orden es la que me enseñaron para decidir qué función es más chica que otra, ¿por qué decís "si lo prefieres, puedes definir (...)"? Es algo que siempre usé.

Lo que quería era mostrarte que [texx]f\geq 0[/texx] puede interpretarse como una comparación entre dos funciones respecto de dicha relación de orden que conoces, en un intento de hacerte ver que no hay ninguna falta de rigor en esa notación.

Claro. Es válido si dejas claro que significa que [texx]f(x)\geq 0[/texx] para todo [texx]x[/texx] en el dominio de [texx]f[/texx].

No entiendo si ya estás dando la respuesta o si tengo que definir qué significa que "[texx]f(x)\geq 0[/texx] para todo [texx]x[/texx] en el dominio de [texx]f[/texx]".

Pues para eso se inventaron los acentos. He dicho "dejas claro que significa", no "dejas claro qué significa". Por lo tanto, estoy dando la respuesta.

Lo llevás al caso de libros pero muchos alumnos (incluido yo) no leemos todo lo que teóricamente necesitaríamos leer. Pregunto por el caso del ámbito universitario. ¿Creés que en cualquier universidad es igualmente válido decir [texx]f[/texx] y [texx]f(x)[/texx]? Recordá que busco rigurosidad en un ámbito universitario, sino no estaría preguntando todo esto.

No dije libros, dije textos, lo cual incluye apuntes, cosas escritas en la pizarra y cualquier otra cosa. No veo qué pintan las universidades en todo esto. En cualquier escrito matemático (sea un libro, sea lo que un profesor pone en la pizarra, sea lo que sea) será válido escribir [texx]f[/texx] o [texx]f(x)[/texx] cuando los convenios establecidos (tácita o explícitamente) por el que lo escribe así lo permiten. Lo único importante es que haya unos criterios que permitan interpretar sin duda alguna lo que se quiere decir al escribir una cosa o la otra.
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« Respuesta #19 : 03/01/2019, 15:07:50 pm »


Feliz Año, nía (para esto entro, para felicitarte el año, pero, ya que estoy, pues digo algo).


Yo suelo distinguir entre dos niveles que aparecen en el asunto:
 

Aunque se pueda hablar de niveles, dimensiones u otras cosas, yo creo que aquí la duda planteada es más simple. Una función supone un procedimiento, al que podemos llamar coloquialmente como queramos (yo he dicho antes fórmula, “forma”, cuenta... pero podemos decir algoritmo, operaciones... no sé). Y el procedimiento es tal que involucra a una o varias variables que se “transforman” en otras cosas mediante eso que llamamos función.

Pero de igual manera que si tengo un conjunto “A” no vacío, no escribimos normalmente A(x) para decir “Oiga, que tiene elementos y además se llaman “x” porque les he puesto ese nombre”, tampoco, en muchas ocasiones, va a ser necesario escribir f(x); ya va implícito que una función, por como está definida, funciona con una variable independiente o las que sean; luego si la variable no hace falta para describir algo, casi es redundante ponerla.

Con otro ejemplo, si hablamos de la operación suma, en general basta con esto “+”, no hace falta escribir “+(a,b...)”; porque ya se supone que sumaremos algo. 

Es cierto que las letras “x,y,z”, en gran parte de las ocasiones, hacen alusión a los números reales de los ejes, pero también existen las funciones de tiempo, donde solemos usar “t”, otras veces la variable es un ángulo y usamos letras griegas... y un mismo procedimiento “f”, o fórmula cerrada cuando lo sea de la función, puede servir para cosas que solemos llamar de distinta manera; el dominio no tiene la obligación de llamarse “equis” ni “y” ni nada en especial, ya sean números reales o lo que sea. El viento se puede llevar un sombrero, un paraguas, una cometa... y no depende de esas cosas que se lleva para ser por sí mismo el viento.
Pues una función, lo mismo, igual respecto de las letras que puedan representar sus variables, esto, “f”, tiene suficiente entidad; y, si no es necesario, no necesita adornos. Porque, de hecho, la propia “x” podría ser a su vez otro función que dependiera de otra variable; y a su vez ésa podría depender de otra... y nadie escribirá (si no es completamente necesario) una composición de funciones con 14 variables involucradas; porque sería un coñazo. Y éste, precisamente, es el argumento para escribir “f” (cuando no sea necesario añadir la variable) porque es la misma cuestión exactamente; con menos variables, pero la misma. Entonces, ¿por qué en este caso tiene que ir pegado esto (x) -con una letra particular, para mayor mal- como si fuera una parte de la morfología del signo gráfico que usamos para una función? Avisado que "f" es una función, si no hay que mostrar nada más en particular, con eso basta.   

Saludos.
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