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Autor Tema: Darle sentido a expresiones del tipo \(\displaystyle\int_{f(x)}^{g(x)}h(x)\,dx\)  (Leído 769 veces)
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Masacroso
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« : 27/10/2018, 12:04:15 am »

Ayer vi en MSE una manera de darle sentido a expresiones de la forma [texx]\int_{f(x)}^{g(x)}h(x)\, dx[/texx] para funciones reales [texx]f,g,h:\Bbb R\to\Bbb R[/texx] utilizando la "parafernalia" de las integrales de Lebesgue asumiendo alguna medida (como por ejemplo la medida de Lebesgue), por ejemplo:

[texx]\displaystyle\int_{f(x)}^{g(x)}h(x)\, dx:=\int_{\Bbb R}\chi_{[f(x),g(x)]}(x)h(x)\lambda(dx)[/texx]

donde [texx]\lambda(dx)[/texx] es la medida de Lebesgue respecto de [texx]x[/texx] y [texx]\chi_A[/texx] es la función indicatriz del conjunto [texx]A[/texx]. Aunque claro que en vez de tomar el intervalo cerrado [texx][f(x),g(x)][/texx] también podría tomarse uno abierto o semiabierto, etc.

Me ha parecido curioso e interesante que se pudiese dar sentido a esas expresiones, ya que este tipo de expresiones han aparecido en el foro en los últimos meses, erróneamente escritas, asociadas a integrales de Riemann.
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manooooh
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« Respuesta #1 : 27/10/2018, 02:19:26 am »

Yo soy uno de los que vio comenzar esa respuesta de MSE que dio nacimiento a este [prometedor] hilo :sonrisa_amplia:.

Pregunta de alguien que no sabe nada de esto: ¿las funciones [texx]f[/texx], [texx]g[/texx] y [texx]h[/texx] deben ser continuas en algún subconjunto de [texx]\Bbb R[/texx]?

Saludos
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Luis Fuentes
el_manco
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« Respuesta #2 : 27/10/2018, 03:36:52 am »

Hola

Yo soy uno de los que vio comenzar esa respuesta de MSE que dio nacimiento a este [prometedor] hilo :sonrisa_amplia:.

Pregunta de alguien que no sabe nada de esto: ¿las funciones [texx]f[/texx], [texx]g[/texx] y [texx]h[/texx] deben ser continuas en algún subconjunto de [texx]\Bbb R[/texx]?

Deben de ser medibles, que es más débil (para la medida de Lebesgue) que ser continuas.

En la práctica equivale a restringir el conjunto de integración a los puntos solución de:

[texx]f(x)\leq x\leq g(x)[/texx]

que para funciones "normales" será una unión de ciertos intervalos.

Saludos.
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