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Autor Tema: Estudiar la validez de dos razonamientos  (Leído 3941 veces)
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manooooh
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« : 23 Octubre, 2018, 03:53 »

Hola!

Escriba en forma simbólica, previa definición de un diccionario y analice la validez de los siguientes razonamientos, demostrando por reglas de inferencia o justificando correctamente:

a) Todos los grafos completos son conexos. Existen grafos simples que no son conexos. Por lo tanto, existen grafos simples que no son completos.

b) Algunos invitados son ingenieros. Algunos ingenieros dan clases en la facultad. Por lo tanto, algunos invitados dan clases en la facultad.




En primer lugar, ¿qué significa "definir un diccionario"? ¿Será definir las proposiciones que actúan en cada caso? Pero entonces ¿qué es escribir de manera simbólica?

¿O definir un universo en cada caso ([texx]\mathcal U_{\text{a)}}=\{\text{El conjunto de todos los grafos}\}[/texx] y [texx]\mathcal U_{\text{b)}}=\{\text{El conjunto de todas las personas}\}[/texx])?



a) Todos los grafos completos son conexos. Existen grafos simples que no son conexos. Por lo tanto, existen grafos simples que no son completos.

[texx]
\begin{array}{l}
p(x)=\text{Un grafo es completo}.\\
q(x)=\text{Un grafo es conexo}.\\
r(x)=\text{Un grafo es simple}.
\end{array}
[/texx]

[texx]
\begin{array}{cc}
\forall x:&p(x)\implies q(x)\\
\exists x:&r(x)\wedge\neg q(x)\\\hline
\exists x:&r(x)\wedge\neg p(x)
\end{array}
[/texx]



Tiene sentido que todo grafo completo [texx]K_n[/texx] sea conexo, ya que si no lo fuera, existiría un camino que no formaría parte del grafo y por tanto el grado de valencia de cada vértice sería [texx]n-2[/texx], contradiciendo de que en un grafo completo hay [texx]n-1[/texx] vértices conectados. ¿Bien?

Que exista un grafo simple pero no conexo también es cierto, pues por ejemplo sea el grafo [texx]|_{\!\!\bullet}^{\!\!\bullet}\;\;|_{\!\!\bullet}^{\!\!\bullet}[/texx]; es simple pues no tiene lazos ni aristas paralelas pero no conexo, ya que tiene dos componentes conexas. ¿Bien?

Vemos que las premisas NO son contradictorias. Resta analizar si la conclusión es válida o no.

Por ejemplo, sea el grafo : es simple pues no tiene lazos ni aristas paralelas pero no es completo, puesto que, como tiene [texx]4[/texx] vértices, cada uno debería tener asociados [texx]4-1[/texx] aristas, y todas tienen [texx]2[/texx].

Por tanto el razonamiento es VÁLIDO. ¿Está bien justificado? ¿Son suficientes los ejemplos que mostré?



Sin embargo, si nos vamos por el lado de la lógica:

[texx]
\begin{array}{lll}
1)&\forall x:p(x)\implies q(x)&\text{Premisa}\\
2)&\exists x:r(x)\wedge\neg q(x)&\text{Premisa}\\
3)&p(x)\implies q(x)&\text{Eliminación generalizador 1)}\\
4)&r(x)\wedge\neg q(x)&\text{Eliminación particularizador 2)}\\
5)&r(x)&\text{Eliminación conjunción 4)}\\
6)&\neg q(x)&\text{Eliminación conjunción 4)}\\
7)&p(x)&\text{Modus tollendo tollens 3), 6)}\\
8)&r(x)\wedge p(x)&\text{Introducción conjunción 5), 7)}\\\hline
9)&\exists x:r(x)\wedge p(x)&\text{Introducción particularizador 8)}.
\end{array}
[/texx]

Como se ve, concluimos que [texx]\exists x:r(x)\wedge p(x)[/texx], mientras que el enunciado decía [texx]\exists x:r(x)\wedge\neg p(x)[/texx]. Por tanto, el razonamiento es INVÁLIDO.



Conociéndome, prefiero analizar el costado de la lógica ya que es el que nos garantiza la veracidad del razonamiento. ¿Es correcto?

Aunque también me gustaría saber por qué el primer argumento está mal.




b) Algunos invitados son ingenieros. Algunos ingenieros dan clases en la facultad. Por lo tanto, algunos invitados dan clases en la facultad.

[texx]
\begin{array}{l}
p(x)=\text{Una persona es un invitado}.\\
q(x)=\text{Una persona es un ingeniero}.\\
r(x)=\text{Un ingeniero da clases en la facultad}.
\end{array}
[/texx]

[texx]
\begin{array}{cc}
\exists x:&p(x)\implies q(x)\\
\exists x:&q(x)\wedge r(x)\\\hline
\exists x:&p(x)\wedge r(x)
\end{array}
[/texx]

Otra vez vamos con la tabla:

[texx]
\begin{array}{lll}
1)&\exists x:p(x)\implies q(x)&\text{Premisa}\\
2)&\exists x:q(x)\wedge r(x)&\text{Premisa}\\
3)&p(x)\implies q(x)&\text{Eliminación particularizador 1)}\\
4)&q(x)\wedge r(x)&\text{Eliminación particularizador 2)}\\
5)&q(x)&\text{Eliminación conjunción 4)}\\
6)&r(x)&\text{Eliminación conjunción 4)}\\
7)&\neg p(x)\vee q(x)&\text{Equivalencia condicional 3)}\\
8)&\neg p(x)&\text{Absorción 5), 7)}\\
9)&\neg p(x)\wedge r(x)&\text{Introducción conjunción 6), 8)}\\\hline
10)&\exists x:\neg p(x)\wedge r(x)&\text{Introducción particularizador 8)}.
\end{array}
[/texx]

Como se ve, otra vez estamos en la situación a): por tanto el razonamiento es INVÁLIDO. ¿Sí?



Gracias!
Saludos

P.D. En los casos de la lógica, ¡por favor no me maten con la quita de cuantificadores! :risa:. Nunca supe cuándo quitarlos y cuándo no..... ¿será porque las premisas no tienen relación unas con otras? En ambos casos, ¿quité correctamente?

P.D.2. No se pretende ser estrictamente formal con la parte de la lógica.

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martiniano
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« Respuesta #1 : 23 Octubre, 2018, 04:39 »

Hola.

No es que entienda mucho de lógica, pero creo que en el primer razonamiento, a partir del tollendo tollens del punto siete te falta negar la [texx]p(x)[/texx], por lo que el razonamiento sería VÁLIDO.

Saludos.
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manooooh
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« Respuesta #2 : 23 Octubre, 2018, 04:49 »

Siiií, ¡genio! Ahora estoy en el móvil, luego lo edito. Gracias.

Faltarían analizar las otras cosas: incluso si la cadencia lógica es correcta.

Con respecto al primero, lo de los grafos, considero que por poner UN ejemplo no se puede probar que es cierto aunque haya un "existe" y no "para todo". Creo que debería, en tal caso, mencionar los infinitos ejemplos donde se cumple (imposible), o bien:

1) hallar un contraejemplo;

2) Probar utilizando teoría de grafos (no quiero, me da mucha pereza, no me gustan grafos).

¿Qué opinan?

Saludos
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #3 : 23 Octubre, 2018, 07:17 »

En primer lugar, ¿qué significa "definir un diccionario"? ¿Será definir las proposiciones que actúan en cada caso? Pero entonces ¿qué es escribir de manera simbólica?

¿O definir un universo en cada caso ([texx]\mathcal U_{\text{a)}}=\{\text{El conjunto de todos los grafos}\}[/texx] y [texx]\mathcal U_{\text{b)}}=\{\text{El conjunto de todas las personas}\}[/texx])?

Supongo que se refiere simplemente a esto:

[texx]
\begin{array}{l}
p(x)=\text{Un grafo es completo}.\\
q(x)=\text{Un grafo es conexo}.\\
r(x)=\text{Un grafo es simple}.
\end{array}
[/texx]

Por tanto el razonamiento es VÁLIDO. ¿Está bien justificado? ¿Son suficientes los ejemplos que mostré?

Has probado que las premisas son verdaderas y que la conclusión también lo es. Pero eso no prueba en absoluto que el razonamiento sea válido. Si no, también sería válido este razonamiento:

La leche es blanca,
la sangre es roja,
luego la nieve es blanca.

Aunque también me gustaría saber por qué el primer argumento está mal.

Ya te ha señalado un fallo martiniano, pero hay más.

P.D. En los casos de la lógica, ¡por favor no me maten con la quita de cuantificadores! :risa:. Nunca supe cuándo quitarlos y cuándo no..... ¿será porque las premisas no tienen relación unas con otras? En ambos casos, ¿quité correctamente?

No, no los quitaste correctamente. Es de sentido común que no puedes quitar un [texx]\exists x[/texx] dejando libre la [texx]x[/texx] si ya estás usando la variable [texx]x[/texx] para llamar a otra cosa, porque el [texx]x[/texx] que dices que existe no tiene por qué ser el mismo del que ya estás hablando. Por eso la línea 4) de tu razonamiento no es correcta. Ahora bien, con el cuantificador universal no pasa eso, porque si algo vale para todo x, vale para cuaquiera del que ya estés habando, luego ese fallo se arregla sin más que poner la línea 4 antes que la 3.

En cualquier caso, no puedes decir que un razonamiento es inválido sólo porque te has puesto a deducir cosas y te ha salido algo parecido, pero distinto de lo que te piden. Eso no impide que el razonamiento sea válido. Es posible que de unas premisas se pueda deducir [texx]A[/texx] y también [texx]B[/texx]. Si te piden demostrar que puedes deducir [texx]A[/texx] y vas y deduces [texx]B[/texx], con ello no niegas que también se pueda deducir [texx]A[/texx].

Si quieres probar que un razonamiento es inválido tendrás que mostrar un ejemplo en el que las premisas sean verdaderas y la conclusión sea falsa. No es el caso de este ejemplo, porque el razonamiento es válido.

b) Algunos invitados son ingenieros. Algunos ingenieros dan clases en la facultad. Por lo tanto, algunos invitados dan clases en la facultad.

[texx]
\begin{array}{l}
p(x)=\text{Una persona es un invitado}.\\
q(x)=\text{Una persona es un ingeniero}.\\
r(x)=\text{Un ingeniero da clases en la facultad}.
\end{array}
[/texx]

[texx]
\begin{array}{cc}
\exists x:&p(x)\implies q(x)\\
\exists x:&q(x)\wedge r(x)\\\hline
\exists x:&p(x)\wedge r(x)
\end{array}
[/texx]

Ésta la tienes mal de salida. La primera premisa es [texx]\exists x(p(x)\land q(x))[/texx]. De hecho, es igual que la segunda, que la has formalizado bien. Voy a demostrar mal que el razonamiento es válido:

[texx]
\begin{array}{lll}
1)&\exists x(p(x)\land q(x))&\text{Premisa}\\
2)&\exists x(q(x)\wedge r(x))&\text{Premisa}\\
3)&p(x)\land q(x)&\text{Eliminación particularizador 1)}\\
4)&q(x)\land r(x)&\text{Eliminación particularizador 2)}\\
5)&p(x)&\text{Eliminación conjunción 3)}\\
6)&r(x)&\text{Eliminación conjunción 4)}\\
7)&p(x)\land r(x)&\text{Introducción conjunción 5, 6)}\\
8)&\exists x:(p(x)\land r(x))&\text{Introducción particularizador 7)}.
\end{array}
[/texx]

En realidad el razonamiento es inválido, así que, ¿qué está mal en esta "demostración"?

Para demostrar que es inválido no sirve de nada demostrar nada. Lo que tienes que hacer es poner un ejemplo de un conjunto de invitados, otro de ingenieros y otro de gente que da clases de modo que se cumplan las premisas, pero no la conclusión.
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manooooh
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« Respuesta #4 : 25 Octubre, 2018, 21:30 »

Hola

Has probado que las premisas son verdaderas y que la conclusión también lo es. Pero eso no prueba en absoluto que el razonamiento sea válido. Si no, también sería válido este razonamiento:

La leche es blanca,
la sangre es roja,
luego la nieve es blanca.

Pero ese razonamiento es válido, ya que las premisas y la conclusión son verdaderas. En tu ejemplo, ¿te referís a que de las premisas NO se puede deducir la conclusión? Otra justificación no veo.

No, no los quitaste correctamente. Es de sentido común que no puedes quitar un [texx]\exists x[/texx] dejando libre la [texx]x[/texx] si ya estás usando la variable [texx]x[/texx] para llamar a otra cosa, porque el [texx]x[/texx] que dices que existe no tiene por qué ser el mismo del que ya estás hablando. Por eso la línea 4) de tu razonamiento no es correcta. Ahora bien, con el cuantificador universal no pasa eso, porque si algo vale para todo x, vale para cuaquiera del que ya estés habando, luego ese fallo se arregla sin más que poner la línea 4 antes que la 3.

En cualquier caso, no puedes decir que un razonamiento es inválido sólo porque te has puesto a deducir cosas y te ha salido algo parecido, pero distinto de lo que te piden. Eso no impide que el razonamiento sea válido. Es posible que de unas premisas se pueda deducir [texx]A[/texx] y también [texx]B[/texx]. Si te piden demostrar que puedes deducir [texx]A[/texx] y vas y deduces [texx]B[/texx], con ello no niegas que también se pueda deducir [texx]A[/texx].

Si quieres probar que un razonamiento es inválido tendrás que mostrar un ejemplo en el que las premisas sean verdaderas y la conclusión sea falsa. No es el caso de este ejemplo, porque el razonamiento es válido.

¿Entonces? No sé cómo proseguir incluso con la ayuda de martiniano. Notar que debería poder resolverse sin artilugios pesados, sólo con leyes (absorción, De Morgan, etc.) e inferencias (ponens, tollens, dilemas constructivo, adición, simplificación, silohismo hipotético - disyuntivo y ley de exportación) lógicas. Y poner contraejemplos.

Ésta la tienes mal de salida. La primera premisa es [texx]\exists x(p(x)\land q(x))[/texx]. De hecho, es igual que la segunda, que la has formalizado bien. Voy a demostrar mal que el razonamiento es válido:

[texx]
\begin{array}{lll}
1)&\exists x(p(x)\land q(x))&\text{Premisa}\\
2)&\exists x(q(x)\wedge r(x))&\text{Premisa}\\
3)&p(x)\land q(x)&\text{Eliminación particularizador 1)}\\
4)&q(x)\land r(x)&\text{Eliminación particularizador 2)}\\
5)&p(x)&\text{Eliminación conjunción 3)}\\
6)&r(x)&\text{Eliminación conjunción 4)}\\
7)&p(x)\land r(x)&\text{Introducción conjunción 5, 6)}\\
8)&\exists x:(p(x)\land r(x))&\text{Introducción particularizador 7)}.
\end{array}
[/texx]

En realidad el razonamiento es inválido, así que, ¿qué está mal en esta "demostración"?

(...)

Que no usaste la proposición [texx]q(x)[/texx], te quedó colgada. ¿Bien?

Para demostrar que es inválido no sirve de nada demostrar nada. Lo que tienes que hacer es poner un ejemplo de un conjunto de invitados, otro de ingenieros y otro de gente que da clases de modo que se cumplan las premisas, pero no la conclusión.

Aquí sí que estoy muy perdido. No sé qué contraejemplo poner, si creo que ya el mismo razonamiento es un ejemplo. ¿Qué debería hacer, definir tres universos y qué más? Si ya los conectivos están puestos, además de que ya sabemos que son ingenieros, personas, etcétera, o sea hacen cosas. No es que son genéricos.




De todas maneras, ¿podrías elaborar una guía de casos de uso para saber cuándo sí y cuándo no se pueden quitar cuantificadores "a lo bruto", por favor? O algún link donde esté todo perfectamente tabulado.

Por ejemplo tomemos el apartado b) que tiene las 3 proposiciones con un existencial (y lo llevo al caso [texx]\forall[/texx]):

[texx]\begin{array}{cc} \exists(\text o\;\forall)x:&p_1(x)\\ \exists(\text o\;\forall)x:&p_2(x)\\\vdots&\\\exists(\text o\;\forall)x:&p_i(x)\\\hline\exists(\text o\;\forall)x:&q(x).\end{array}[/texx]

¿Se puede escribir todas las proposiciones ya sin [texx]\exists(\text o\;\forall)[/texx]? ¿Y qué ocurre con

[texx]\begin{array}{cc} \exists x:&p_1(x)\\ \forall x:&p_2(x)\\\vdots&\\\exists x:&p_i(x)\\\hline\exists x:&q(x)\text?\end{array}[/texx]

¿Y con

[texx]\begin{array}{cc} \exists x:&p_1(x)\\ \forall x:&p_2(x)\\\vdots&\\\exists x:&p_i(x)\\\hline\forall x:&q(x)\text?\end{array}[/texx]

¿Y si

[texx]\begin{array}{cc} \forall x:&p_1(x)\\ \forall x:&p_2(x)\\\vdots&\\\forall x:&p_i(x)\\\hline\exists x:&q(x)\text?\end{array}[/texx]

Etcétera, donde la proposición [texx]i[/texx]-ésima [texx]p(x)[/texx] es compleja (contiene condicionales, disyunciones, negaciones, etc.). ¿Cuándo se pueden quitar así sin más?

Gracias y saludos
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #5 : 26 Octubre, 2018, 06:18 »

Pero ese razonamiento es válido, ya que las premisas y la conclusión son verdaderas. En tu ejemplo, ¿te referís a que de las premisas NO se puede deducir la conclusión? Otra justificación no veo.

Ojo, esto es muy importante y no lo tienes claro. El razonamiento anterior NO es válido, lo mires por donde lo mires. No es cierto que un razonamiento con premisas y conclusión verdaderas sea necesariamente válido. Más aún: La validez de un razonamiento no depende para nada de si sus premisas o su conclusión son verdaderas o falsas. Por ejemplo, aquí tienes un razonamiento válido con premisas falsas y conclusión verdadera:

Las palomas son mamíferos,
Los mamíferos vuelan,
Luego: las palomas vuelan.

Y aquí otro razonamiento válido con todo falso

Las palomas son mamíferos,
los mamíferos son verdes,
Luego: Las palomas son verdes.

En cambio, el ejemplo del mensaje anterior es un razonamiento NO válido con todo verdadero.

Un razonamiento es válido cuando, en el supuesto de que las premisas sean verdaderas, puedes estar seguro de que la conclusión también lo será. Pero si alguien sabe que la leche es blanca y la sangre es roja, con eso no puede asegurar que la nieve sea blanca. Si no lo tienes claro, piensa en este otro razonamiento:

La leche es blanca,
la sangre es roja,
luego mi cepillo de dientes es verde.

Te pregunto: Dando por hecho que la leche es blanca y la sangre es roja, ¿estarías dispuesto a cortarte las venas si mi cepillo de dientes no fuera verde? Si la respuesta es que no, con eso estás poniendo en evidencia que el razonamiento no es válido.

En general: para saber si un razonamiento es válido o no, es suficiente con analizar el razonamiento. No hace falta saber el color de la leche, ni de mi cepillo de dientes. Si no puedes saber si un razonamiento es válido sin conocer el color de la leche, es que el razonamiento no es válido.

¿Entonces? No sé cómo proseguir incluso con la ayuda de martiniano. Notar que debería poder resolverse sin artilugios pesados, sólo con leyes (absorción, De Morgan, etc.) e inferencias (ponens, tollens, dilemas constructivo, adición, simplificación, silohismo hipotético - disyuntivo y ley de exportación) lógicas. Y poner contraejemplos.

Pues eso te digo, que tienes que poner un contraejemplo. Sirve éste:

Tenemos un universo con tres objetos [texx]U=\{a,b,c\}[/texx], de los cuales [texx]a,b[/texx] son invitados, [texx]b,c[/texx] son ingenieros y [texx]c[/texx] da clases en la facultad.

Es cierto que algunos invitados son ingenieros ([texx]b[/texx] lo es) y es cierto que algunos ingenieros dan clase en la facultad [texx]c[/texx] lo hace), pero no es cierto que algunos invitados den clase en la facultad.

Esto prueba que el razonamiento no es válido, porque las premisas pueden ser verdaderas y la conclusión falsa.

Que no usaste la proposición [texx]q(x)[/texx], te quedó colgada. ¿Bien?

Fatal. No hay ninguna obligación de usar nada en particular en un razonamiento. Por ejemplo, este razonamiento es válido:

[texx]
\begin{array}{lll}
1)&p\land q&\text{premisa}\\
2)&q\land r&\text{premisa}\\
3)&p&\text{eliminación conjunción 1}\\
4)&r&\text{eliminación conjunción 2}\\
5)&p\land r&\text{introducción conjunción 3, 4}
\end{array}
[/texx]

Aquí tampoco se usa [texx]q[/texx] y no pasa nada por ello. Si te fijas, la única diferencia entre la estructura de este razonamiento y la del otro son los cuantificadores. Insisto: ¿qué está mal en el otro razonamiento? Es importante que lo veas, pues si no, podrás cometer el mismo error una y otra vez en cualquier momento.

Aquí sí que estoy muy perdido. No sé qué contraejemplo poner, si creo que ya el mismo razonamiento es un ejemplo. ¿Qué debería hacer, definir tres universos y qué más? Si ya los conectivos están puestos, además de que ya sabemos que son ingenieros, personas, etcétera, o sea hacen cosas. No es que son genéricos.

Ya te he puesto un contraejemplo antes, pero no entiendo lo que dices. Un razonamiento nunca es un ejemplo. ¿Qué tiene que ver que se hable de ingenieros o de cosas genéricas? La cuestión es fijar un caso en el que determinadas personas sean o no invitados, sean o no ingenieros y den o no clases, que es lo que he hecho más arriba, para que suceda que las premisas son verdaderas y la conclusión es falsa. Da igual que interpretes los predicados como "ser ingenieros" o como "ser astronautas".

De todas maneras, ¿podrías elaborar una guía de casos de uso para saber cuándo sí y cuándo no se pueden quitar cuantificadores "a lo bruto", por favor? O algún link donde esté todo perfectamente tabulado.

Si tienes [texx]\forall x\, p(x)[/texx], puedes quitar el cuantificador y poner [texx]p(t)[/texx], donde [texx]t[/texx] es cualquier término (cualquier variable o el nombre de cualquier objeto del que puedas hablar en el lenguaje formal considerado). Por ejemplo, si tienes

[texx]\forall x(x \text{ es primo}\land x>2\rightarrow x\text{ es impar})[/texx]

De ahí puedes deducir cualquiera de estas consecuencias

[texx]x \text{ es primo}\land x>2\rightarrow x\text{ es impar}[/texx]

[texx]y \text{ es primo}\land y>2\rightarrow y\text{ es impar}[/texx]

[texx]5 \text{ es primo}\land 5>2\rightarrow 5\text{ es impar}[/texx]

[texx]6 \text{ es primo}\land 6>2\rightarrow 6\text{ es impar}[/texx]

[texx]x^2+3 \text{ es primo}\land x^2+3>2\rightarrow x^2+3\text{ es impar}[/texx]

En cambio, si tienes [texx]\exists x p(x)[/texx], de ahí puedes deducir [texx]p(y)[/texx], donde [texx]y[/texx] es cualquier variable (tal vez la propia [texx]x[/texx]) con la condición de que no aparezca libre en líneas anteriores del razonamiento, porque el [texx]x[/texx] que cumple [texx]p(x)[/texx] no tiene por qué coincidir con ningún [texx]x[/texx] de que ya estés hablando.
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« Respuesta #6 : 26 Octubre, 2018, 14:19 »

Hola

Al final el que tiene la idea de hiperformalizar todos los conceptos matemáticos no sabe resolver dos razonamientos bien...

Ojo, esto es muy importante y no lo tienes claro. El razonamiento anterior NO es válido, lo mires por donde lo mires. No es cierto que un razonamiento con premisas y conclusión verdaderas sea necesariamente válido. Más aún: La validez de un razonamiento no depende para nada de si sus premisas o su conclusión son verdaderas o falsas. Por ejemplo, aquí tienes un razonamiento válido con premisas falsas y conclusión verdadera:

Las palomas son mamíferos,
Los mamíferos vuelan,
Luego: las palomas vuelan.

Y aquí otro razonamiento válido con todo falso

Las palomas son mamíferos,
los mamíferos son verdes,
Luego: Las palomas son verdes.

En cambio, el ejemplo del mensaje anterior es un razonamiento NO válido con todo verdadero.

Un razonamiento es válido cuando, en el supuesto de que las premisas sean verdaderas, puedes estar seguro de que la conclusión también lo será. Pero si alguien sabe que la leche es blanca y la sangre es roja, con eso no puede asegurar que la nieve sea blanca. Si no lo tienes claro, piensa en este otro razonamiento:

La leche es blanca,
la sangre es roja,
luego mi cepillo de dientes es verde.

Te pregunto: Dando por hecho que la leche es blanca y la sangre es roja, ¿estarías dispuesto a cortarte las venas si mi cepillo de dientes no fuera verde? Si la respuesta es que no, con eso estás poniendo en evidencia que el razonamiento no es válido.

En general: para saber si un razonamiento es válido o no, es suficiente con analizar el razonamiento. No hace falta saber el color de la leche, ni de mi cepillo de dientes. Si no puedes saber si un razonamiento es válido sin conocer el color de la leche, es que el razonamiento no es válido.

Creo que te entiendo. Es lo mismo que afirmabas aquí:

(...) Es posible que de unas premisas se pueda deducir [texx]A[/texx] y también [texx]B[/texx]. Si te piden demostrar que puedes deducir [texx]A[/texx] y vas y deduces [texx]B[/texx], con ello no niegas que también se pueda deducir [texx]A[/texx].

Dicho con otras palabras: que deduzcamos [texx]A[/texx] cuando deberíamos haber deducido [texx]B[/texx], ¿implica que el razonamiento es inválido?

Pues eso te digo, que tienes que poner un contraejemplo. Sirve éste:

Tenemos un universo con tres objetos [texx]U=\{a,b,c\}[/texx], de los cuales [texx]a,b[/texx] son invitados, [texx]b,c[/texx] son ingenieros y [texx]c[/texx] da clases en la facultad.

Es cierto que algunos invitados son ingenieros ([texx]b[/texx] lo es) y es cierto que algunos ingenieros dan clase en la facultad [texx]c[/texx] lo hace), pero no es cierto que algunos invitados den clase en la facultad.

Esto prueba que el razonamiento no es válido, porque las premisas pueden ser verdaderas y la conclusión falsa.

¿Pero cómo puede ser que tu contraejemplo valga? O sea, ¿cómo probás que el contraejemplo es válido con las reglas de juego impuestas? Esto es lo que no me cierra: no puedo jamás haber pensado haber hecho esas relaciones de "[texx]a,b[/texx] son invitados, [texx]b,c[/texx] son ingenieros y [texx]c[/texx] da clases en la facultad". ¿Buscaste un contraejemplo adecuado? ¿Existe otra manera de resolverlo?

Que no usaste la proposición [texx]q(x)[/texx], te quedó colgada. ¿Bien?

Fatal. (...)

Uy :triste: :triste:.

(...) No hay ninguna obligación de usar nada en particular en un razonamiento. Por ejemplo, este razonamiento es válido:

[texx]
\begin{array}{lll}
1)&p\land q&\text{premisa}\\
2)&q\land r&\text{premisa}\\
3)&p&\text{eliminación conjunción 1}\\
4)&r&\text{eliminación conjunción 2}\\
5)&p\land r&\text{introducción conjunción 3, 4}
\end{array}
[/texx]

Aquí tampoco se usa [texx]q[/texx] y no pasa nada por ello. Si te fijas, la única diferencia entre la estructura de este razonamiento y la del otro son los cuantificadores. Insisto: ¿qué está mal en el otro razonamiento? Es importante que lo veas, pues si no, podrás cometer el mismo error una y otra vez en cualquier momento.

No lo veo. Para mí está todo bien, encima lo hiciste más fácil porque no tiene los cuantificadores; usaste reglas lógicas válidas, no repetiste ninguna línea... Quizás no explicitaste la línea de la conclusión (faltó la barra horizontal), pero si no, no sé. :llorando:.

Ya te he puesto un contraejemplo antes, pero no entiendo lo que dices. Un razonamiento nunca es un ejemplo. ¿Qué tiene que ver que se hable de ingenieros o de cosas genéricas? La cuestión es fijar un caso en el que determinadas personas sean o no invitados, sean o no ingenieros y den o no clases, que es lo que he hecho más arriba, para que suceda que las premisas son verdaderas y la conclusión es falsa. Da igual que interpretes los predicados como "ser ingenieros" o como "ser astronautas".

Claro, pero yo creo que el propio razonamiento es un caso particular, al decir "algunos ingenieros", "algunos invitados", etc. Yo pensé que era poner un contraejemplo de un ejemplo (en este caso el ejemplo es el propio razonamiento, al tener todo particularizado) y esto, para mí, es imposible hacerlo. Pero me decís que no es así.

Si tienes [texx]\forall x\, p(x)[/texx], puedes quitar el cuantificador y poner [texx]p(t)[/texx], donde [texx]t[/texx] es cualquier término (cualquier variable o el nombre de cualquier objeto del que puedas hablar en el lenguaje formal considerado). Por ejemplo, si tienes

[texx]\forall x(x \text{ es primo}\land x>2\rightarrow x\text{ es impar})[/texx]

De ahí puedes deducir cualquiera de estas consecuencias

[texx]x \text{ es primo}\land x>2\rightarrow x\text{ es impar}[/texx]

[texx]y \text{ es primo}\land y>2\rightarrow y\text{ es impar}[/texx]

[texx]5 \text{ es primo}\land 5>2\rightarrow 5\text{ es impar}[/texx]

[texx]6 \text{ es primo}\land 6>2\rightarrow 6\text{ es impar}[/texx]

[texx]x^2+3 \text{ es primo}\land x^2+3>2\rightarrow x^2+3\text{ es impar}[/texx]

En cambio, si tienes [texx]\exists x p(x)[/texx], de ahí puedes deducir [texx]p(y)[/texx], donde [texx]y[/texx] es cualquier variable (tal vez la propia [texx]x[/texx]) con la condición de que no aparezca libre en líneas anteriores del razonamiento, porque el [texx]x[/texx] que cumple [texx]p(x)[/texx] no tiene por qué coincidir con ningún [texx]x[/texx] de que ya estés hablando.

Gracias. Aunque no cubre todas las posibilidades que mencioné, sirve como partida.

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« Respuesta #7 : 26 Octubre, 2018, 17:40 »

Dicho con otras palabras: que deduzcamos [texx]A[/texx] cuando deberíamos haber deducido [texx]B[/texx], ¿implica que el razonamiento es inválido?

No. De ninguna manera. De unas mismas premisas pueden deducirse muchas conclusiones. Que deduzcas una no implica que no puedan deducirse otras también.

¿Pero cómo puede ser que tu contraejemplo valga? O sea, ¿cómo probás que el contraejemplo es válido con las reglas de juego impuestas?

No entiendo lo que quieres decir. Si [texx]\{a,b\}[/texx] son invitados, [texx]\{b,c\}[/texx] son ingenieros y [texx]c[/texx] da clases, ¿es cierto o es falso que algunos invitados son ingenieros? Tendrás que reconocer que es cierto. ¿Es cierto o es falso que algunos ingenieros dan clase? Tendrás que reconocer que es cierto. ¿Es cierto o es falso que algunos invitados dan clase? Tendrás que reconocer que es falso, y eso prueba que no puedes demostrar la conclusión a partir de las premisas, porque si pudieras demostrarla, la conclusión tendría que ser verdadera, al serlo las premisas, y no es el caso.

Esto es lo que no me cierra: no puedo jamás haber pensado haber hecho esas relaciones de "[texx]a,b[/texx] son invitados, [texx]b,c[/texx] son ingenieros y [texx]c[/texx] da clases en la facultad". ¿Buscaste un contraejemplo adecuado? ¿Existe otra manera de resolverlo?

Pero te he visto hacer cosas más complicadas que eso. Hace poco tenías una afirmación sobre grafos y pusiste un ejemplo de grafo que cumplía tal cosa, pero no tal otra. Pues esto es lo mismo. Es ni más ni menos lo que se llama buscar un contraejemplo. Unos objetos en los que se cumplan unas cosas y otras no. Si te preguntan: ¿toda función continua es derivable? La única forma de probar que no es encontrar un ejemplo de función continua que no sea derivable. Y si te pongo el ejemplo del valor absoluto, ¿me dirás que jamás habrías pensado en esa función? Pues es lo mismo buscar una función continua y no derivable que buscar unos individuos en los que algunos invitados sean ingenieros y algunos ingenieros den clase, pero donde no sea cierto que algunos invitados dan clase.

No lo veo. Para mí está todo bien, encima lo hiciste más fácil porque no tiene los cuantificadores; usaste reglas lógicas válidas, no repetiste ninguna línea... Quizás no explicitaste la línea de la conclusión (faltó la barra horizontal), pero si no, no sé. :llorando:.

Pero, ¿de qué razonamiento hablas?, porque parece que hables de éste:

[texx]
\begin{array}{lll}
1)&p\land q&\text{premisa}\\
2)&q\land r&\text{premisa}\\
3)&p&\text{eliminación conjunción 1}\\
4)&r&\text{eliminación conjunción 2}\\
5)&p\land r&\text{introducción conjunción 3, 4}
\end{array}
[/texx]

Pero ese razonamiento está bien, no tienes que buscarle cinco pies al gato, que es totalmente correcto. El que te decía que era inválido es este otro:

[texx]\begin{array}{lll} 1)&\exists x(p(x)\land q(x))&\text{Premisa}\\ 2)&\exists x(q(x)\wedge r(x))&\text{Premisa}\\ 3)&p(x)\land q(x)&\text{Eliminación particularizador 1)}\\ 4)&q(x)\land r(x)&\text{Eliminación particularizador 2)}\\ 5)&p(x)&\text{Eliminación conjunción 3)}\\ 6)&r(x)&\text{Eliminación conjunción 4)}\\ 7)&p(x)\land r(x)&\text{Introducción conjunción 5, 6)}\\ 8)&\exists x:(p(x)\land r(x))&\text{Introducción particularizador 7)}. \end{array}[/texx]

Y cuando digo que es incorrecto no me refiero a que le falta una rayita por aquí o un comentario por allá. Me refiero a que no es cierto que la última línea se deduzca de las dos primeras. Es en éste en el que tendrías que encontrar un fallo garrafal que lo invalida. La prueba de que es inválido es el contraejemplo de los ingenieros invitados y que dan clase.

Claro, pero yo creo que el propio razonamiento es un caso particular, al decir "algunos ingenieros", "algunos invitados", etc. Yo pensé que era poner un contraejemplo de un ejemplo (en este caso el ejemplo es el propio razonamiento, al tener todo particularizado) y esto, para mí, es imposible hacerlo. Pero me decís que no es así.

Sigo sin entender lo que quieres decir cuando dices estas cosas. Poner un contraejemplo a la afirmación "toda función continua es derivable" es decir, por ejemplo, la función valor absoluto es continua en 0 y no es derivable.

Igualmente, poner un contraejemplo al caso de los ingenieros es decir: si tomamos estos ingenieros, estos invitados, etc., se cumplen las hipótesis (como la continuidad) pero no la presunta consecuencia (como la derivabilidad).

Gracias. Aunque no cubre todas las posibilidades que mencioné, sirve como partida.

¿Cómo que no cubre todas las posibilidades? Eso es todo lo que hay a la hora de eliminar cuantificadores. No hay más ni hace falta nada más. Puedes quitar un "para todo" cuando quieras, cambiando la variable por cualquier cosa, y puedes quitar un "existe" cuando quieras, pero cuidando de dejar una variable "nueva", no usada hasta el momento. Eso es todo.

Parece que lo que pretendas sea deshacerte de los cuantificadores para siempre. Es como si me preguntaras, ¿qué tengo que hacer para jugar al fútbol sin tocar para nada la pelota? La pelota en el fútbol no está para deshacerse de ella, sino para jugar con ella, e igualmente los cuantificadores en lógica no están para deshacerse de ellos, sino para razonar con ellos. Pretender razonar sin cuantificadores es como pretender jugar al fútbol sin tocar la pelota. Podría ocurrir que unos defensas pasen mucho tiempo sin tocar la pelota porque los delanteros no la dejen salir del campo contrario, pero si en un momento dado la pelota llega a su terreno, no vale decir, "no, yo prefiero jugar sin tocar la pelota". Cuando toca tocarla, hay que tocarla.
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« Respuesta #8 : 26 Octubre, 2018, 18:19 »

Hola

Propongo distinguir los casos a) y b):

a) Todos los grafos completos son conexos. Existen grafos simples que no son conexos. Por lo tanto, existen grafos simples que no son completos.

[texx]\begin{array}{l} p(x)=\text{Un grafo es completo}.\\ q(x)=\text{Un grafo es conexo}.\\ r(x)=\text{Un grafo es simple}. \end{array}[/texx]

[texx]\begin{array}{cc} \forall x:&p(x)\implies q(x)\\ \exists x:&r(x)\wedge\neg q(x)\\\hline \exists x:&r(x)\wedge\neg p(x) \end{array}[/texx]

El razonamiento es VÁLIDO. Prueba:

[texx]\begin{array}{lll} 1)&\forall x:p(x)\implies q(x)&\text{Premisa}\\ 2)&\exists x:r(x)\wedge\neg q(x)&\text{Premisa}\\ 3)&r(x)\wedge\neg q(x)&\text{Eliminación particularizador 2)}\\ 4)&p(x)\implies q(x)&\text{Eliminación generalizador 1)}\\ 5)&r(x)&\text{Eliminación conjunción 3)}\\ 6)&\neg q(x)&\text{Eliminación conjunción 3)}\\ 7)&\neg p(x)&\text{Modus tollendo tollens 4), 6)}\\ 8)&r(x)\wedge \neg p(x)&\text{Introducción conjunción 5), 7)}\\\hline 9)&\exists x:r(x)\wedge\neg p(x)&\text{Introducción particularizador 8)}. \end{array}[/texx]

Usé este comentario:

No, no los quitaste correctamente. Es de sentido común que no puedes quitar un [texx]\exists x[/texx] dejando libre la [texx]x[/texx] si ya estás usando la variable [texx]x[/texx] para llamar a otra cosa, porque el [texx]x[/texx] que dices que existe no tiene por qué ser el mismo del que ya estás hablando. Por eso la línea 4) de tu razonamiento no es correcta. Ahora bien, con el cuantificador universal no pasa eso, porque si algo vale para todo [texx]x[/texx], vale para cuaquiera del que ya estés habando, luego ese fallo se arregla sin más que poner la línea 4 antes que la 3.

Creo que entiendo, siempre hay que quitar de lo más particular a lo más general. ¿Ahora está bien resuelto el a)?




b) Algunos invitados son ingenieros. Algunos ingenieros dan clases en la facultad. Por lo tanto, algunos invitados dan clases en la facultad.


[texx]\begin{array}{l} p(x)=\text{Una persona es un invitado}.\\ q(x)=\text{Una persona es un ingeniero}.\\ r(x)=\text{Un ingeniero da clases en la facultad}. \end{array}[/texx]

[texx]\begin{array}{cc} \exists x:&p(x)\wedge q(x)\\ \exists x:&q(x)\wedge r(x)\\\hline \exists x:&p(x)\wedge r(x).\end{array}[/texx]

Ahora:

(...) El que te decía que era inválido es este otro:

[texx]\begin{array}{lll} 1)&\exists x(p(x)\land q(x))&\text{Premisa}\\ 2)&\exists x(q(x)\wedge r(x))&\text{Premisa}\\ 3)&p(x)\land q(x)&\text{Eliminación particularizador 1)}\\ 4)&q(x)\land r(x)&\text{Eliminación particularizador 2)}\\ 5)&p(x)&\text{Eliminación conjunción 3)}\\ 6)&r(x)&\text{Eliminación conjunción 4)}\\ 7)&p(x)\land r(x)&\text{Introducción conjunción 5, 6)}\\ 8)&\exists x:(p(x)\land r(x))&\text{Introducción particularizador 7)}. \end{array}[/texx]

Y cuando digo que es incorrecto no me refiero a que le falta una rayita por aquí o un comentario por allá. Me refiero a que no es cierto que la última línea se deduzca de las dos primeras. Es en éste en el que tendrías que encontrar un fallo garrafal que lo invalida. La prueba de que es inválido es el contraejemplo de los ingenieros invitados y que dan clase.

¿Por qué la última línea no se deduce de las dos primeras?

No entiendo las dos últimas oraciones. ¿Cuál es el "error garrafal"? ¿NO mencionar el contraejemplo que escribís aquí?:

Tenemos un universo con tres objetos [texx]U=\{a,b,c\}[/texx], de los cuales [texx]a,b[/texx] son invitados, [texx]b,c[/texx] son ingenieros y [texx]c[/texx] da clases en la facultad.

Es cierto que algunos invitados son ingenieros ([texx]b[/texx] lo es) y es cierto que algunos ingenieros dan clase en la facultad [texx]c[/texx] lo hace), pero no es cierto que algunos invitados den clase en la facultad.

Esto prueba que el razonamiento no es válido, porque las premisas pueden ser verdaderas y la conclusión falsa.

Si es así, no entiendo la relación de ese contraejemplo con:

(...) Si [texx]\{a,b\}[/texx] son invitados, [texx]\{b,c\}[/texx] son ingenieros y [texx]c[/texx] da clases, ¿es cierto o es falso que algunos invitados son ingenieros? Tendrás que reconocer que es cierto. ¿Es cierto o es falso que algunos ingenieros dan clase? Tendrás que reconocer que es cierto. ¿Es cierto o es falso que algunos invitados dan clase? Tendrás que reconocer que es falso, y eso prueba que no puedes demostrar la conclusión a partir de las premisas, porque si pudieras demostrarla, la conclusión tendría que ser verdadera, al serlo las premisas, y no es el caso.

¡¡Si es lo mismo que dice el enunciado "Algunos invitados son ingenieros. Algunos ingenieros dan clases en la facultad. Por lo tanto, algunos invitados dan clases en la facultad"!!





¿Cómo que no cubre todas las posibilidades? Eso es todo lo que hay a la hora de eliminar cuantificadores. No hay más ni hace falta nada más. Puedes quitar un "para todo" cuando quieras, cambiando la variable por cualquier cosa, y puedes quitar un "existe" cuando quieras, pero cuidando de dejar una variable "nueva", no usada hasta el momento. Eso es todo.

Parece que lo que pretendas sea deshacerte de los cuantificadores para siempre. Es como si me preguntaras, ¿qué tengo que hacer para jugar al fútbol sin tocar para nada la pelota? La pelota en el fútbol no está para deshacerse de ella, sino para jugar con ella, e igualmente los cuantificadores en lógica no están para deshacerse de ellos, sino para razonar con ellos. Pretender razonar sin cuantificadores es como pretender jugar al fútbol sin tocar la pelota. Podría ocurrir que unos defensas pasen mucho tiempo sin tocar la pelota porque los delanteros no la dejen salir del campo contrario, pero si en un momento dado la pelota llega a su terreno, no vale decir, "no, yo prefiero jugar sin tocar la pelota". Cuando toca tocarla, hay que tocarla.

No, no las cubre todas. ¿Qué sucede si, por ejemplo:

[texx]\begin{array}{cc} \forall x:&p_1(x)\\ \forall x:&p_2(x)\\\vdots&\\\forall x:&p_i(x)\\\hline\exists x:&q(x)\text?\end{array}[/texx]

Etcétera, donde la proposición [texx]i[/texx]-ésima [texx]p(x)[/texx] es compleja (contiene condicionales, disyunciones, negaciones, etc.) y [texx]q(x)[/texx] también es compleja. ¿Cuándo se pueden quitar así sin más?

¿o algo como

[texx]\begin{array}{cc} \forall x:&p_1(x)\\ \exists x:&p_2(x)\\ \forall x:&p_3(x)\\\vdots&\\\exists x:&p_i(x)\\\hline\color{red}\forall\color{black} x:&q(x)\text?\end{array}[/texx]

¿Se pueden quitar despiadadamente los cuantificadores?

Agregado.

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« Respuesta #9 : 26 Octubre, 2018, 18:41 »

Creo que entiendo, siempre hay que quitar de lo más particular a lo más general.

No existe el manual de "razone cualquier cosa siguiendo estos trucos sencillos". De hecho, es que no se trata de obsesionarse por quitar nada. Se quitan cuantificadores cuando conviene quitarlos, que no es siempre. Y no hay reglas de primero éste y luego aquél. En cada momento se quita el que conviene quitar.

¿Ahora está bien resuelto el a)?

Sí, ahora está bien porque cuando has quitado el "existe", la variable que dejas libre no estaba libre antes.

(...) El que te decía que era inválido es este otro:

[texx]\begin{array}{lll} 1)&\exists x(p(x)\land q(x))&\text{Premisa}\\ 2)&\exists x(q(x)\wedge r(x))&\text{Premisa}\\ 3)&p(x)\land q(x)&\text{Eliminación particularizador 1)}\\ 4)&q(x)\land r(x)&\text{Eliminación particularizador 2)}\\ 5)&p(x)&\text{Eliminación conjunción 3)}\\ 6)&r(x)&\text{Eliminación conjunción 4)}\\ 7)&p(x)\land r(x)&\text{Introducción conjunción 5, 6)}\\ 8)&\exists x:(p(x)\land r(x))&\text{Introducción particularizador 7)}. \end{array}[/texx]

Y cuando digo que es incorrecto no me refiero a que le falta una rayita por aquí o un comentario por allá. Me refiero a que no es cierto que la última línea se deduzca de las dos primeras. Es en éste en el que tendrías que encontrar un fallo garrafal que lo invalida. La prueba de que es inválido es el contraejemplo de los ingenieros invitados y que dan clase.

No entiendo las dos últimas oraciones. ¿Cuál es el "error garrafal"? ¿NO mencionar el contraejemplo que escribís aquí?:

No estás obligado a mencionar ningún contraejemplo cuando razonas algo. Lo que te digo es: si alguien te presenta un razonamiento formal, tendrás que distinguir uno de estos dos casos: o bien miras cada paso y concluyes que todos son correctos y que, por consiguiente, el razonamiento es válido, o bien te paras en un paso y dices: "el paso 157 no está debidamente justificado, por lo que no podemos asegurar que la conclusión sea válida".

En el caso de este razonamiento, sabemos que no es válido porque tenemos un contraejemplo, luego es necesario que alguno de los pasos del 3) al 8) tiene que ser incorrecto. Por ejemplo, si te pongo este razonamiento:

[texx]\begin{array}{lll}
1)& p\rightarrow q &\text{premisa}\\
2)& \lnot p&\text{premisa}\\
3& \lnot q&\text{Modus ponens} 1, 2
\end{array}
[/texx]

Cualquiera que lo vea tiene que decir que el paso 3 no está debidamente justificado, porque el modus ponens te permite deducir [texx]q[/texx] si tienes [texx]p[/texx], pero no te permite deducir [texx]\lnot q[/texx] si tienes [texx]\lnot p[/texx].

Pues lo mismo pasa con el razonamiento precedente. Tienes que señalar uno de los pasos del 3 al 8 y razonar que no está justificado dar ese paso. Tiene que haber un paso mál justificado, como el 3) del mini-razonamiento anterior, porque si no, el razonamiento sería válido, y no lo es.

Tenemos un universo con tres objetos [texx]U=\{a,b,c\}[/texx], de los cuales [texx]a,b[/texx] son invitados, [texx]b,c[/texx] son ingenieros y [texx]c[/texx] da clases en la facultad.

Es cierto que algunos invitados son ingenieros ([texx]b[/texx] lo es) y es cierto que algunos ingenieros dan clase en la facultad [texx]c[/texx] lo hace), pero no es cierto que algunos invitados den clase en la facultad.

Esto prueba que el razonamiento no es válido, porque las premisas pueden ser verdaderas y la conclusión falsa.

Si es así, no entiendo la relación de ese contraejemplo con:

(...) Si [texx]\{a,b\}[/texx] son invitados, [texx]\{b,c\}[/texx] son ingenieros y [texx]c[/texx] da clases, ¿es cierto o es falso que algunos invitados son ingenieros? Tendrás que reconocer que es cierto. ¿Es cierto o es falso que algunos ingenieros dan clase? Tendrás que reconocer que es cierto. ¿Es cierto o es falso que algunos invitados dan clase? Tendrás que reconocer que es falso, y eso prueba que no puedes demostrar la conclusión a partir de las premisas, porque si pudieras demostrarla, la conclusión tendría que ser verdadera, al serlo las premisas, y no es el caso.

¡¡Si es lo mismo que dice el enunciado "Algunos invitados son ingenieros. Algunos ingenieros dan clases en la facultad. Por lo tanto, algunos invitados dan clases en la facultad"!!

No te sigo. En efecto, eso último que has escrito es el enunciado, y el contraejemplo muestra que no es un razonamiento válido, porque en él las dos premisas "algunos invitados son ingenieros" y "algunos ingenieros dan clase en la universidad" son verdaderas, pero la conclusión "algunos invitados dan clase" es falsa.

Eso prueba que el razonamiento está mal, luego alguno de los pasos del 3 al 8 tiene que estar mal, y no porque le falte una rayita aquí o alla, sino porque es más falso que una moneda de plástico, como el modus ponens mal aplicado con negaciones.

No, no las cubre todas. ¿Qué sucede si, por ejemplo?:

[texx]\begin{array}{cc} \forall x:&p_1(x)\\ \forall x:&p_2(x)\\\vdots&\\\forall x:&p_i(x)\\\hline\exists x:&q(x)\text?\end{array}[/texx]

Etcétera, donde la proposición [texx]i[/texx]-ésima [texx]p(x)[/texx] es compleja (contiene condicionales, disyunciones, negaciones, etc.) y [texx]q(x)[/texx] también es compleja. ¿Cuándo se pueden quitar así sin más?

¿Cuándo se pueden quitar cuantificadores así, sin más? Fácil: Nunca se pueden quitar así sin más. Puedes quitar un cuantificador universal siempre que quieras, pero si tienes [texx]\forall x\, p(x)[/texx], al quitar el "para todo" tienes que elegir qué pones en lugar de la [texx]x[/texx], porque puede que te convenga dejar una simple [texx]x[/texx], o cambiarla por una [texx]y[/texx], o cambiarla por [texx]x^2+1[/texx], o cambiarla por un [texx]17[/texx], de modo que si la cambias por lo adecuado llegas a buen puerto, y si dejas la [texx]x[/texx] pierdes toda posibilidad de llegar a la conclusión que buscas,

Y puedes quitar el "existe" de [texx]\exists x p(x)[/texx] cuando quieras, pero nunca "sin más", sino siempre cuidando de que si ya estabas usando la [texx]x[/texx] antes, te asegures de escribir [texx]p(y)[/texx] y no [texx]p(x)[/texx], pues si pones [texx]p(x)[/texx] cuando ya hay una [texx]x[/texx] libre antes estás haciendo lo mismo que si usas el modus ponens con negadores, que es como meter una moneda de plástico en una máquina de refrescos. O no colará, o si cuela es que has estafado a la máquina, como te estoy estafando yo a ti al colarte el razonamiento del que te pido que me encuentres el fallo. Si lo das por bueno, es que te he pagado con una moneda de plástico y no has notado nada raro en ella.

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« Respuesta #10 : 26 Octubre, 2018, 19:30 »

Hola, gracias por tu infinita paciencia

No existe el manual de "razone cualquier cosa siguiendo estos trucos sencillos". De hecho, es que no se trata de obsesionarse por quitar nada. Se quitan cuantificadores cuando conviene quitarlos, que no es siempre. Y no hay reglas de primero éste y luego aquél. En cada momento se quita el que conviene quitar.

¿Cuándo se pueden quitar cuantificadores así, sin más? Fácil: Nunca se pueden quitar así sin más. Puedes quitar un cuantificador universal siempre que quieras, pero si tienes [texx]\forall x\, p(x)[/texx], al quitar el "para todo" tienes que elegir qué pones en lugar de la [texx]x[/texx], porque puede que te convenga dejar una simple [texx]x[/texx], o cambiarla por una [texx]y[/texx], o cambiarla por [texx]x^2+1[/texx], o cambiarla por un [texx]17[/texx], de modo que si la cambias por lo adecuado llegas a buen puerto, y si dejas la [texx]x[/texx] pierdes toda posibilidad de llegar a la conclusión que buscas,

Y puedes quitar el "existe" de [texx]\exists x p(x)[/texx] cuando quieras, pero nunca "sin más", sino siempre cuidando de que si ya estabas usando la [texx]x[/texx] antes, te asegures de escribir [texx]p(y)[/texx] y no [texx]p(x)[/texx], pues si pones [texx]p(x)[/texx] cuando ya hay una [texx]x[/texx] libre antes estás haciendo lo mismo que si usas el modus ponens con negadores, que es como meter una moneda de plástico en una máquina de refrescos. O no colará, o si cuela es que has estafado a la máquina, como te estoy estafando yo a ti al colarte el razonamiento del que te pido que me encuentres el fallo. Si lo das por bueno, es que te he pagado con una moneda de plástico y no has notado nada raro en ella.

Ok. En este caso (quitar cuantificadores), ¿todos los errores de "no puedes quitarlo así sin más" se resuelven intercambiando líneas en la prueba, como pasó con el apartado a)?


Sí, ahora está bien porque cuando has quitado el "existe", la variable que dejas libre no estaba libre antes.

No lo entiendo, y es fundamental que lo haga. Poniendo en otros términos, de [texx]\forall x:p(x)\wedge\exists x:q(x)\cdots[/texx], ¿luego?:

  • [texx]\cdots\;\;\not\!\!\!\!\implies\bigr(p(x)\wedge\exists x:q(x)\implies p(x)\wedge q(x)\bigl)[/texx]
  • [texx]\cdots\implies\bigr(\forall x:p(x)\wedge q(x)\implies p(x)\wedge q(x)\bigl)[/texx]

En el caso de este razonamiento, sabemos que no es válido porque tenemos un contraejemplo, luego es necesario que alguno de los pasos del 3) al 8) tiene que ser incorrecto. (...)

¡Que no lo encuentro! ¿Cuál es el error?




(...) Por ejemplo, si te pongo este razonamiento:

[texx]\begin{array}{lll}
1)& p\rightarrow q &\text{premisa}\\
2)& \lnot p&\text{premisa}\\
3& \lnot q&\text{Modus ponens} 1, 2
\end{array}
[/texx]

Cualquiera que lo vea tiene que decir que el paso 3 no está debidamente justificado, porque el modus ponens te permite deducir [texx]q[/texx] si tienes [texx]p[/texx], pero no te permite deducir [texx]\lnot q[/texx] si tienes [texx]\lnot p[/texx].

Sólo por curiosidad, ¿si fuese

[texx]\begin{array}{lll} 1)& p\rightarrow q &\text{premisa}\\ 2)& \lnot q&\text{premisa}\\ 3& \lnot p&\text{Modus ponens} 1, 2 \end{array}[/texx]

sí sería válido, al considerar [texx]p\implies q\equiv\neg q\implies\neg p[/texx]?

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« Respuesta #11 : 26 Octubre, 2018, 19:49 »

Ok. En este caso (quitar cuantificadores), ¿todos los errores de "no puedes quitarlo así sin más" se resuelven intercambiando líneas en la prueba, como pasó con el apartado a)?

No sólo es un problema de "resolver errores". Con los cuantificadores universales nunca puedes equivocarte quitándolos (siempre puedes quitarlos sin más), pero si los quitas sin más puedes alejarte irremediablemente de lo que quieres probar, puesto que puede hacer falta cambiar la [texx]x[/texx] cuantificada por otra variable concreta (que no te ayude en nada dejar la [texx]x[/texx]) o por otro término (un [texx]17[/texx], etc.), con lo que, si los quitas sin más, no has cometido ningún error, pero eliminas toda posibilidad de llegar a la conclusión por no haberlos quitado adecuadamente.

En el caso de los cuantificadores existenciales sí que es cuestión de "resolver errores", pero no es una mera cuestión de intercalar líneas, sino que la cuestión es que cada vez que quitas un "existe", tienes que introducir una variable nueva, y si no lo haces así, ya está todo mal.

Sí, ahora está bien porque cuando has quitado el "existe", la variable que dejas libre no estaba libre antes.

No lo entiendo, y es fundamental que lo haga. Poniendo en otros términos, de [texx]\forall x:p(x)\wedge\exists x:q(x)\cdots[/texx], ¿luego?:

  • [texx]\cdots\;\;\not\!\!\!\!\implies\bigr(p(x)\wedge\exists x:q(x)\implies p(x)\wedge q(x)\bigl)[/texx]
  • [texx]\cdots\implies\bigr(\forall x:p(x)\wedge q(x)\implies p(x)\wedge q(x)\bigl)[/texx]

En el caso de este razonamiento, sabemos que no es válido porque tenemos un contraejemplo, luego es necesario que alguno de los pasos del 3) al 8) tiene que ser incorrecto. (...)

¡Que no lo encuentro! ¿Cuál es el error?

Mira bien la línea 4) del "razonamiento de plástico". ¿Cómo está justificada? Se supone que se deduce de la línea 2), que dice [texx]\exists x\,(q(x)\land r(x))[/texx] y lo que hemos hecho ha sido quitar el "existe". Pero eso está MAL, descaradamente MAL, rematadamente MAL, debería dañarte la vista al mirarlo. Porque he quitado el "existe" dejando libre la variable [texx]x[/texx], cuando la variable [texx]x[/texx] ya estaba libre en la línea 3. Y eso no tiene remedio. No hay ninguna línea que puedas intercalar para que te resuelva el problema. Si quieres quitar legalmente el cuantificador, tienes que escribir como línea 4:

[texx]q(y)\land r(y)[/texx]

Y a partir de ahí todo lo que viene luego hace aguas. Primero he llamado [texx]x[/texx] a un cierto invitado que es ingeniero, y luego he llamado [texx]x[/texx] a otro ingeniero que da clases, pero ¿quién me asegura que el invitado ingeniero es el mismo que el ingeniero que da clases? Al llamar [texx]x[/texx] a ambos, estoy dando por hecho que son el mismo, cuando no tienen por qué serlo. Lo legal es llamar [texx]x[/texx] al invitado ingeniero y llamar [texx]y[/texx] al ingeniero que da clases, sin presuponer que [texx]x=y[/texx].

Sólo por curiosidad, ¿si fuese

[texx]\begin{array}{lll} 1)& p\rightarrow q &\text{premisa}\\ 2)& \lnot q&\text{premisa}\\ 3& \lnot p&\text{Modus ponens} 1, 2 \end{array}[/texx]

sí sería válido, al considerar [texx]p\implies q\equiv\neg q\implies\neg p[/texx]?

Sería válido, porque eso es lo que se conoce como Modus tollens, que es otra regla de inferencia válida. Pero no es Modus ponens. Si justificas mal un paso, nada impide que el paso sea correcto porque se pueda justificar bien, como en este caso, en que la justificación no sería modus ponens, sino modus tollens. Pero tambén puede ser que el paso esté mal justificado porque sea injustificable, como sucede en el falso razonamiento de los ingenieros. La eliminación del "existe" es injustificable, porque si se pudiera justificar el razonamiento sería válido, y sabemos que no lo es.
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« Respuesta #12 : 27 Octubre, 2018, 03:38 »

Hola

Estoy súper contento de dejarte casi en paz ya que, para mí, ha sido un pequeño debate muy fructífero, y ahora sólo falta una cosa:

Mira bien la línea 4) del "razonamiento de plástico". ¿Cómo está justificada? Se supone que se deduce de la línea 2), que dice [texx]\exists x\,(q(x)\land r(x))[/texx] y lo que hemos hecho ha sido quitar el "existe". Pero eso está MAL, descaradamente MAL, rematadamente MAL, debería dañarte la vista al mirarlo. Porque he quitado el "existe" dejando libre la variable [texx]x[/texx], cuando la variable [texx]x[/texx] ya estaba libre en la línea 3. Y eso no tiene remedio. No hay ninguna línea que puedas intercalar para que te resuelva el problema. Si quieres quitar legalmente el cuantificador, tienes que escribir como línea 4:

[texx]q(y)\land r(y)[/texx]

Y a partir de ahí todo lo que viene luego hace aguas. Primero he llamado [texx]x[/texx] a un cierto invitado que es ingeniero, y luego he llamado [texx]x[/texx] a otro ingeniero que da clases, pero ¿quién me asegura que el invitado ingeniero es el mismo que el ingeniero que da clases? Al llamar [texx]x[/texx] a ambos, estoy dando por hecho que son el mismo, cuando no tienen por qué serlo. Lo legal es llamar [texx]x[/texx] al invitado ingeniero y llamar [texx]y[/texx] al ingeniero que da clases, sin presuponer que [texx]x=y[/texx].

Entiendo, en este caso hay dos proposiciones cuantificadas existencialmente, y puede ser perfectamente el ejemplo que acabás de proponer. ¿Si la primer (o primera, nunca supe cómo se dice bien) premisa hubiera sido un "para todo", se podría haber concluido que el razonamiento es válido utilizando tu "razonamiento súper MALO, MALO"?

¿Y si la segunda está generalizada y la primera particularizada? ¿Estas premisas se intercambian de líneas, ya que la conjunción cumple la propiedad asociativa?

¿Entonces la única respuesta correcta para el apartado b) es?:

Tenemos un universo con tres objetos [texx]U=\{a,b,c\}[/texx], de los cuales [texx]a,b[/texx] son invitados, [texx]b,c[/texx] son ingenieros y [texx]c[/texx] da clases en la facultad.

Es cierto que algunos invitados son ingenieros ([texx]b[/texx] lo es) y es cierto que algunos ingenieros dan clase en la facultad [texx]c[/texx] lo hace), pero no es cierto que algunos invitados den clase en la facultad.

Esto prueba que el razonamiento no es válido, porque las premisas pueden ser verdaderas y la conclusión falsa.

Gracias y saludos
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #13 : 27 Octubre, 2018, 08:30 »

Entiendo, en este caso hay dos proposiciones cuantificadas existencialmente, y puede ser perfectamente el ejemplo que acabás de proponer. ¿Si la primer (o primera, nunca supe cómo se dice bien) premisa hubiera sido un "para todo", se podría haber concluido que el razonamiento es válido utilizando tu "razonamiento súper MALO, MALO"?

Si la primera premisa hubiera estado cuantificada universalmente estaríamos diciendo que todo el mundo es invitado y todo el mundo es ingeniero y, en efecto, si nos dicen luego que un ingeniero da clases, es cierto que algún invitado da clases, porque el que da clases (da igual que sea ingeniero) está invitado, ya que todo el mundo está invitado.

Formalmente, podrías quitar primero el cuantificador de la segunda premisa (y dejar la [texx]x[/texx], porque no habría ninguna variable libre en ese momento) y luego quitar el "para todo" de la primera premisa, dejando la [texx]x[/texx] pues con un "para todo" no tienes restricciones. Pero entonces ya no sería mi razonamiento súper malo. Sería otro razonamiento totalmente válido que no tendría nada que ver con el otro. En uno se elimina mal un cuantificador existencial y en el otro se elimina bien un cuantificador universal. Nada que ver.

¿Y si la segunda está generalizada y la primera particularizada? ¿Estas premisas se intercambian de líneas, ya que la conjunción cumple la propiedad asociativa?

No tienes ninguna necesidad de intercambiar líneas. Lo que importa es en qué orden eliminas los cuantificadores, y para ello no importa qué premisa tienes escrita antes o después. Como en el caso anterior, lo único que importa es que empieces eliminando el cuantificador existencial, para tener libertad de dejar la [texx]x[/texx], y luego el universal, donde siempre tienes libertad.

¿Entonces la única respuesta correcta para el apartado b) es?:

Tenemos un universo con tres objetos [texx]U=\{a,b,c\}[/texx], de los cuales [texx]a,b[/texx] son invitados, [texx]b,c[/texx] son ingenieros y [texx]c[/texx] da clases en la facultad.

Es cierto que algunos invitados son ingenieros ([texx]b[/texx] lo es) y es cierto que algunos ingenieros dan clase en la facultad [texx]c[/texx] lo hace), pero no es cierto que algunos invitados den clase en la facultad.

Esto prueba que el razonamiento no es válido, porque las premisas pueden ser verdaderas y la conclusión falsa.

Correcto.
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