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Autor Tema: Sobre condiciones necesarias y suficientes  (Leído 1561 veces)
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« : 15 Octubre, 2018, 19:20 »

Hola!

Esta es una pregunta un tanto básica, pero que últimamente me ha rondado la cabeza un tiempo.

He estado leyendo el maravilloso artículo de Gaussianos: Confusión entre necesario y suficiente: el caso de la diferenciabilidad (*) y ahora pregunto por el caso de derivabilidad en una variable.


Sea [texx]\boldsymbol{f:A\subseteq\Bbb R\to\Bbb R}[/texx] una función. Si [texx]\boldsymbol{f(x)}[/texx] es derivable en [texx]\boldsymbol{x=a\in A^\circ}[/texx] entonces es continua en [texx]\boldsymbol{x=a}[/texx].


1) ¿La contra recíproca es verdadera? Es decir, ¿que no sea continua en [texx]x=a[/texx] implica que no sea derivable en [texx]x=a[/texx]?

2) ¿Que la función sea derivable en [texx]x=a[/texx] es condición suficiente para que sea continua en [texx]x=a[/texx]?

3) ¿Cómo se podría interpretar la implicación para que aparezca una condición necesaria (si la respuesta anterior es errónea)? ¿Que no sea continua en [texx]x=a[/texx] es condición necesaria o suficiente para que no sea derivable en [texx]x=a[/texx]?



Con su ayuda, me gustaría saber si esto se puede generalizar para cualquier implicación:

Sean [texx]p[/texx] y [texx]q[/texx] dos proposiciones, y sea [texx]p\implies q[/texx].

1) ¿[texx]\neg q\implies\neg p[/texx] es equivalente a [texx]p\implies q[/texx]?

2) ¿Bajo qué hipótesis aseguramos que [texx]p[/texx] (o análogamente [texx]\neg q[/texx] si 1) es verdadera) es condición necesaria? ¿Y suficiente?

3) Si no hay hipótesis en 2), ¿cómo podemos asegurar que [texx]p[/texx] (o análogamente [texx]\neg q[/texx] si 1) es verdadera) es una condición necesaria y/o suficiente?

Gracias!
Saludos

(*) Sorpresivamete, en él aparece un famoso usuario del rincón, Carlos Ivorra :risa:.
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« Respuesta #1 : 15 Octubre, 2018, 19:51 »

1) ¿La contra recíproca es verdadera? Es decir, ¿que no sea continua en [texx]x=a[/texx] implica que no sea derivable en [texx]x=a[/texx]?

Si todas las gallinas son aves, ¿podría haber un animal que, no siendo un ave, fuera una gallina?

Si sabes responder a esto, sabes responder a lo que preguntas. No hace falta saber nada de derivadas.

2) ¿Que la función sea derivable en [texx]x=a[/texx] es condición suficiente para que sea continua en [texx]x=a[/texx]?

¿Sabrías usar sin equivocarte las palabras "suficiente" y "necesario" en contextos cotidianos?

¿Para entender un libro de matemáticas escrito en chino, es necesario saber chino? (= ¿Es posible entender algo sin saber chino?)

¿Para entender un libro de matemáticas escrito en chino, es suficiente saber chino? (= ¿saber chino te garantizará que lo entenderás, aunque contenga la demostración del Wiles último teorema de Fermat?)

¿Para ser un ave, es necesario ser una gallina? (= ¿Es posible ser un ave sin ser una gallina?)

¿Para ser un ave, es suficiente ser una gallina? (= ¿Si eres una gallina, eso te garantiza ser un ave?)

¿Ser derivable es suficiente para ser continua? (= ¿Si una función es derivable, eso te garantiza que es continua?)

3) ¿Cómo se podría interpretar la implicación para que aparezca una condición necesaria (si la respuesta anterior es errónea)? ¿Que no sea continua en [texx]x=a[/texx] es condición necesaria o suficiente para que no sea derivable en [texx]x=a[/texx]?

¿Es necesario que una función sea continua para que sea derivable? (= ¿Es posible que sea derivable sin ser continua?)

Con su ayuda, me gustaría saber si esto se puede generalizar para cualquier implicación:

Sean [texx]p[/texx] y [texx]q[/texx] dos proposiciones, y sea [texx]p\implies q[/texx].

1) ¿[texx]\neg q\implies\neg p[/texx] es equivalente a [texx]p\implies q[/texx]?

Sí.

2) ¿Bajo qué hipótesis aseguramos que [texx]p[/texx] (o análogamente [texx]\neg q[/texx] si 1) es verdadera) es condición necesaria? ¿Y suficiente?

Si [texx]p\rightarrow q[/texx], entonces [texx]p[/texx] es una condición suficiente para que se cumpla [texx]q[/texx] y [texx]q[/texx] es una condición necesaria para que se cumpla [texx]p[/texx].

3) Si no hay hipótesis en 2), ¿cómo podemos asegurar que [texx]p[/texx] (o análogamente [texx]\neg q[/texx] si 1) es verdadera) es una condición necesaria y/o suficiente?

Aquí ya me he perdido.
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« Respuesta #2 : 15 Octubre, 2018, 20:18 »

Hola

Si todas las gallinas son aves, ¿podría haber un animal que, no siendo un ave, fuera una gallina?

Si sabes responder a esto, sabes responder a lo que preguntas. No hace falta saber nada de derivadas.

Pero eso es otra cosa: creo que estás preguntando por si la implicación [texx]\neg q\implies p[/texx] es verdadera, mientras yo pregunto si la implicación [texx]\neg q\implies\neg p[/texx] es verdadera.

En tu caso, pues supongo que no, porque no existen aves que sean gallinas.

¿Sabrías usar sin equivocarte las palabras "suficiente" y "necesario" en contextos cotidianos?

No :avergonzado:, creo que sólo en matemáticas. No se me viene uno práctico a la mente que tenga como experiencia.

¿Para entender un libro de matemáticas escrito en chino, es necesario saber chino? (= ¿Es posible entender algo sin saber chino?)

Verdadero. Una suma podré entender, aunque esté en chino.

¿Para entender un libro de matemáticas escrito en chino, es suficiente saber chino? (= ¿saber chino te garantizará que lo entenderás, aunque contenga la demostración del Wiles último teorema de Fermat?)

Falso. La demostración del UTF no puedo entenderla ni aunque esté en español, chino, tibetano, swajili, polaco o etrusco.

¿Para ser un ave, es necesario ser una gallina? (= ¿Es posible ser un ave sin ser una gallina?)

No lo entiendo porque veo una contradicción. "¿Para ser un ave, es necesario ser una gallina?" es falso, pues puedo ser una paloma y soy un ave sin ser gallina. Pero la igualdad "¿Es posible ser un ave sin ser una gallina?" es verdadero, por lo que tenemos [texx]\mathrm{F}=\mathrm{V}[/texx]: contradicción.

¿Para ser un ave, es suficiente ser una gallina? (= ¿Si eres una gallina, eso te garantiza ser un ave?)

Verdadero. Todas las gallinas son aves (aunque no todas las aves sean gallinas).

¿Ser derivable es suficiente para ser continua? (= ¿Si una función es derivable, eso te garantiza que es continua?)

Verdadero. Es un teorema.

¿Es necesario que una función sea continua para que sea derivable? (= ¿Es posible que sea derivable sin ser continua?)

Falso. Una función puede ser continua pero no derivable.

3) Si no hay hipótesis en 2), ¿cómo podemos asegurar que [texx]p[/texx] (o análogamente [texx]\neg q[/texx] si 1) es verdadera) es una condición necesaria y/o suficiente?

Aquí ya me he perdido.

Me refiero a poder definir rigurosamente (i.e. hiperformalizado) los conceptos de "Condición suficiente" y "Condición necesaria". Algo como:


Sean [texx]p[/texx] y [texx]q[/texx] dos proposiciones, y sea [texx]p\implies q[/texx].

[texx]p[/texx] es condición suficiente si y sólo si [COMPLETAR].
[texx]p[/texx] es condición necesaria si y sólo si [COMPLETAR].
[texx]q[/texx] es condición suficiente si y sólo si [COMPLETAR].
[texx]q[/texx] es condición necesaria si y sólo si [COMPLETAR].


pero veo que algo de esto lo has dicho:

Si [texx]p\rightarrow q[/texx], entonces [texx]p[/texx] es una condición suficiente para que se cumpla [texx]q[/texx] y [texx]q[/texx] es una condición necesaria para que se cumpla [texx]p[/texx].

Esto jamás me lo hubiera puesto a pensar. ¡Fantástico saberlo!



Se me viene a la mente el tema de, por ejemplo, la comprobación de las hipótesis del teorema de la divergencia (= Gauss), en varias variables. Yo lo he definido así:

Teorema (de la divergencia o de Gauss). Sean [texx]D[/texx] y [texx]V[/texx] dos subconjuntos abiertos en [texx]\mathbb R^3[/texx] donde [texx]V\subset D[/texx] es simplemente conexo (cada par de puntos se puede unir con un segmento contenido totalmente en el subconjunto y además toda curva cerrada puede contraerse continuamente sobre la superficie a un punto) y [texx]\partial V[/texx] una curva regular o regular a trozos y cerrada (denominada frontera). Sea además [texx]\vec f:D\subseteq\mathbb R^3\to\mathbb R^3[/texx] un campo vectorial de clase [texx]\mathcal C^1(D)[/texx] ([texx]\vec f[/texx] tiene sus derivadas parciales de primer orden continuas). Entonces

[texx]\displaystyle\iint\limits_{\partial V}{\vec f\cdot\mathrm d\vec\sigma}=\iiint\limits_V{\vec\nabla\cdot\vec f\;\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz},[/texx]

donde [texx]V[/texx] es el volumen del cuerpo, [texx]\mathrm d\vec\sigma[/texx] es la normal a la superficie que apunta hacia el exterior del volumen y [texx]\vec\nabla\cdot\vec f[/texx] es la divergencia del campo, que se calcula como [texx]\operatorname{div}\vec f=\partial f_1/\partial x+\partial f_2/\partial y+\partial f_3/\partial z[/texx].


Aquí, si por ejemplo se cumple que [texx]D[/texx] NO es un subconjunto abierto contenido en [texx]\Bbb R^3[/texx] (ni siquiera, supongamos que
[texx]D\subseteq\Bbb R^4[/texx]) ¿entonces NO se puede aplicar el teorema de Gauss, verdad?

¿En este caso, que [texx]D[/texx] sea abierto en [texx]\Bbb R^3[/texx] es condición suficiente para que se cumpla la hipótesis del teorema de Gauss? ¿Todas las demás hipótesis son también suficientes? ¿Si alguna de ellas NO se cumple, entonces no podemos aplicar el teorema de Gauss?

¿Existen condiciones necesarias (o suficientes si me equivoqué antes) en este teorema? Supongo que si la igualdad

[texx]\displaystyle\iint\limits_{\partial V}{\vec f\cdot\mathrm d\vec\sigma}=\iiint\limits_V{\vec\nabla\cdot\vec f\;\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz}[/texx]

es cierta, entonces todas las hipótesis (o sea [texx]p_i[/texx]) son verdaderas. Y también que si

[texx]\displaystyle\iint\limits_{\partial V}{\vec f\cdot\mathrm d\vec\sigma}\color{red}\neq\color{black}\iiint\limits_V{\vec\nabla\cdot\vec f\;\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz}[/texx]

es verdadero (son distintos), entonces AL MENOS una de las condiciones no se cumplió, ¿correcto?


Por otro lado, ¿podemos imaginarnos una contenencia de condiciones, es decir, algo como [texx]\text{necesaria}\subseteq\text{suficiente}[/texx] o sino [texx]\text{suficiente}\subseteq\text{necesaria}[/texx]? ¿Cuándo [texx]\text{necesaria}=\text{suficiente}[/texx]? ¿Si es suficiente también es necesaria?



Por último, creo que todo esto me lleva a confusión pues me estoy confundiendo [texx]p\implies q[/texx] con [texx]p\iff q[/texx]. ¿Existen condiciones suficientes y necesarias para esta última proposición? ¿Cómo se las define, algo parecido a "Si [texx]p\color{red}\leftrightarrow\color{black}q[/texx], entonces [texx]p[/texx] es una condición suficiente para que se cumpla [texx]q[/texx] y [texx]q[/texx] es una condición necesaria para que se cumpla [texx]p[/texx]"?

Gracias y saludos
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« Respuesta #3 : 15 Octubre, 2018, 20:47 »


¿Es necesario que una función sea continua para que sea derivable? (= ¿Es posible que sea derivable sin ser continua?)

Falso. Una función puede ser continua pero no derivable.


Yo creo que, al no ser afirmaciones, sino preguntas, Carlos no espera que le contestes verdadero o falso; sería, creo, más bien algo como así; a la primera: “Sí, es necesario”. Y la segunda pregunta se contestaría más o menos “No, no es posible, porque es necesario que sea continua”.
¿Es suficiente que sea continua para que sea derivable? No, con eso no basta, pero sí que hace falta, o sea, es imprescindible, necesario (como son necesarios los ingredientes de una comida pero no suficientes; porque hace falta el horno o la parrilla también y quizá más cosas :cara_de_queso: ).

Pero, vamos, esto, por comentar algo. Más que nada, entro para dar las buenas noches.

Saludos.
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« Respuesta #4 : 15 Octubre, 2018, 20:53 »

Hola feriva! ¿Podés creer que a esta altura del partido me vienen estas dudas? :BangHead:


¿Es necesario que una función sea continua para que sea derivable? (= ¿Es posible que sea derivable sin ser continua?)

Falso. Una función puede ser continua pero no derivable.


Yo creo que, al no ser afirmaciones, sino preguntas, Carlos no espera que le contestes verdadero o falso; sería, creo, más bien algo como así; a la primera: “Sí, es necesario”. Y la segunda pregunta se contestaría más o menos “No, no es posible, porque es necesario que sea continua”.
¿Es suficiente que sea continua para que sea derivable? No, con eso no basta, pero sí que hace falta, o sea, es imprescindible, necesario.

Le contesto para que me corrija (si él quiere, o alguien más). Si lo tuviera claro hoy 15/10 no le estaría respondiendo nada, ni existiría este hilo :risa:.

Pero al principio decís que "sí" y luego que "no", pero Carlos escribió una igualdad, por lo que yo interpreto que estamos ante algo "verdadero = falso", que es imposible.

(como son necesarios los ingredientes de una comida pero no suficientes; porque hace falta el horno o la parrilla también y quizá más cosas :cara_de_queso: )

Claro, ¡faltan el cocinero y los hambrientos! :risa:. Es un muy buen ejemplo.

Pero, vamos, esto, por comentar algo. Más que nada, entro para dar las buenas noches.

Saludos y buenas noches
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Carlos Ivorra
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« Respuesta #5 : 15 Octubre, 2018, 21:04 »

Si todas las gallinas son aves, ¿podría haber un animal que, no siendo un ave, fuera una gallina?

Si sabes responder a esto, sabes responder a lo que preguntas. No hace falta saber nada de derivadas.

Pero eso es otra cosa: creo que estás preguntando por si la implicación [texx]\neg q\implies p[/texx] es verdadera, mientras yo pregunto si la implicación [texx]\neg q\implies\neg p[/texx] es verdadera.

Es lo mismo:

Toda función derivable es continua         Toda gallina es un ave.

Preguntas:

¿Si una función no es continua, podemos asegurar que no es derivable?

Y yo pregunto:

¿Si un animal no es un ave, podemos asegurar que no es una gallina?  = ¿Puede ser una gallina sin ser un ave?

Una afirmación cambia si le pones o le quitas un "no", pero una pregunta no cambia. Es lo mismo preguntar si es una gallina o si no es una gallina. Sólo cambia la forma en que hay que responder, pero se está preguntando lo mismo.


En tu caso, pues supongo que no, porque no existen aves que sean gallinas.

Supongo que esto es un lapsus.

¿Para entender un libro de matemáticas escrito en chino, es necesario saber chino? (= ¿Es posible entender algo sin saber chino?)

Verdadero. Una suma podré entender, aunque esté en chino.

Pero entender una suma no es entender el libro. En efecto, es necesario saber chino para entender un libro en chino.

¿Para entender un libro de matemáticas escrito en chino, es suficiente saber chino? (= ¿saber chino te garantizará que lo entenderás, aunque contenga la demostración del Wiles último teorema de Fermat?)

Falso. La demostración del UTF no puedo entenderla ni aunque esté en español, chino,

Correcto. Saber chino es necesario para entender un libro en chino, pero no es suficiente.

¿Para ser un ave, es necesario ser una gallina? (= ¿Es posible ser un ave sin ser una gallina?)

No lo entiendo porque veo una contradicción. "¿Para ser un ave, es necesario ser una gallina?" es falso, pues puedo ser una paloma y soy un ave sin ser gallina.

Correcto. No es necesario ser una gallina para ser un ave.

Pero la igualdad "¿Es posible ser un ave sin ser una gallina?" es verdadero, por lo que tenemos [texx]\mathrm{F}=\mathrm{V}[/texx]: contradicción.

No sé dónde ves la contradicción. Es posible ser un ave sin ser una gallina. No es necesario ser una gallina para ser un ave. Las dos frases significan lo mismo.

¿Para ser un ave, es suficiente ser una gallina? (= ¿Si eres una gallina, eso te garantiza ser un ave?)

Verdadero. Todas las gallinas son aves (aunque no todas las aves sean gallinas).

Correcto. ¿Y qué problema hay en cambiar "ser gallina" por "ser derivable" y "ser ave" por "ser continua"?. Si eres capaz de razonar correctamente con gallinas y aves, cuando tengas una duda sobre esto, cambia derivable o lo que sea por gallina o ave y lo verás claro. Con la práctica, podrás olvidarte de las gallinas.

¿Ser derivable es suficiente para ser continua? (= ¿Si una función es derivable, eso te garantiza que es continua?)

Verdadero. Es un teorema.

Ya, pero la gracia está en que veas que ese teorema expresa una suficiencia.

¿Es necesario que una función sea continua para que sea derivable? (= ¿Es posible que sea derivable sin ser continua?)

Falso. Una función puede ser continua pero no derivable.

Pues entonces, ¿cuál es tu duda?

Me refiero a poder definir rigurosamente (i.e. hiperformalizado) el concepto de "Condición suficiente" y "Condición necesaria".

Pero eso ya lo he hecho:

Si [texx]p\rightarrow q[/texx], entonces [texx]p[/texx] es una condición suficiente para que se cumpla [texx]q[/texx] y [texx]q[/texx] es una condición necesaria para que se cumpla [texx]p[/texx].

Algo como:


Sean [texx]p[/texx] y [texx]q[/texx] dos proposiciones, y sea [texx]p\implies q[/texx].

[texx]p[/texx] es condición suficiente si y sólo si si y sólo si nada. [texx]p[/texx] es condición suficiente para q si y sí.
[texx]p[/texx] es condición necesaria si y sólo si p no es condición necesaria para q a menos que puedas demostrar tambien [texx]q\rightarrow p[/texx]
[texx]q[/texx] es condición suficiente si y sólo si  si y sólo si nada. q no es condición suficiente para p salvo que puedas demostrar [texx]q\rightarrow p[/texx].
[texx]q[/texx] es condición necesaria si y sólo si si y sólo si nada. q es condición necesaria para p.

Es como si preguntas: [texx]2+2=4[/texx] si y sólo si [completar] o [texx]2+2=5[/texx] si y sólo si [completar].


Aquí, si por ejemplo se cumple que [texx]D[/texx] NO es un subconjunto abierto contenido en [texx]\Bbb R^3[/texx] (ni siquiera, supongamos que
[texx]D\subseteq\Bbb R^4[/texx]) ¿entonces NO se puede aplicar el teorema de Gauss, verdad?

No, claro.

¿En este caso, que [texx]D[/texx] sea abierto en [texx]\Bbb R^3[/texx] es condición suficiente para que se cumpla la hipótesis del teorema de Gauss? ¿Todas las demás hipótesis son también suficientes? ¿Si alguna de ellas NO se cumple, entonces no podemos aplicar el teorema de Gauss?

Para aplicar el teorema de Gauss es NECESARIO que se cumplan todas las hipótesis. Necesario significa "Si falla ya no hay nada que hacer". Si falla alguna hipótesis, ya no puedes hacer nada.

Pero las hipótesis son SUFICIENTES para que se se dé la conclusión. Suficiente significa que con eso te vale, pero si no, tal vez puedas buscarte la vida por otro camino. Por ejemplo, podría ocurrir que D no fuera simplemente conexo, pero que  la función f fuera idénticamente nula y, por lo tanto igual se tuviera la igualdad de las integrales.

Por otro lado, ¿podemos imaginarnos una contenencia de condiciones, es decir, algo como [texx]\text{necesaria}\subseteq\text{suficiente}[/texx] o sino [texx]\text{suficiente}\subseteq\text{necesaria}[/texx]? ¿Cuándo [texx]\text{necesaria}=\text{suficiente}[/texx]?

Pero es que no puedes hablar de "condiciones suficientes" o "condiciones necesarias" en términos absolutos. Una condición [texx]p[/texx] puede ser suficiente para otra [texx]q[/texx] y necesaria para otra [texx]r[/texx]. No tiene sentido decir si una condición es suficiente o necesaria sin más.

¿Ser ave es una condición suficiente o necesaria? Pues depende. Es suficiente para ser un animal y necesaria para ser una gallina. Sin más precisión, no tiene sentido decir si "ser ave" es una condición suficiente o necesaria.

Por último, creo que todo esto me lleva a confusión pues me estoy confundiendo [texx]p\implies q[/texx] con [texx]p\iff q[/texx]. ¿Existen condiciones suficientes y necesarias para esta última proposición? ¿Cómo se las define, algo parecido a "Si [texx]p\color{red}\leftrightarrow\color{black}q[/texx], entonces [texx]p[/texx] es una condición suficiente para que se cumpla [texx]q[/texx] y [texx]q[/texx] es una condición necesaria para que se cumpla [texx]p[/texx]"?

Si [texx]p\leftrightarrow q[/texx], entonces [texx]p[/texx] es una condición suficiente y necesaria para [texx]q[/texx] y viceversa.
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« Respuesta #6 : 15 Octubre, 2018, 21:07 »

Pero al principio decís que "sí" y luego que "no", pero Carlos escribió una igualdad, por lo que yo interpreto que estamos ante algo "verdadero = falso", que es imposible.

Escribí una igualdad entre dos preguntas. Una pregunta no es ni verdadera ni falsa. Dos preguntas son iguales si su respuesta aporta la misma información, aunque una se responda con un sí y otra con un no. Es lo mismo preguntar: ¿Eres mayor que tu hermano? que preguntarle ¿Tu hermano es mayor que tú? Al final te enteras de lo mismo con la respuesta.
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« Respuesta #7 : 15 Octubre, 2018, 21:35 »

Hola

Me refiero a poder definir rigurosamente (i.e. hiperformalizado) el concepto de "Condición suficiente" y "Condición necesaria".

Pero eso ya lo he hecho:

Si [texx]p\rightarrow q[/texx], entonces [texx]p[/texx] es una condición suficiente para que se cumpla [texx]q[/texx] y [texx]q[/texx] es una condición necesaria para que se cumpla [texx]p[/texx].

Algo como:


Sean [texx]p[/texx] y [texx]q[/texx] dos proposiciones, y sea [texx]p\implies q[/texx].

[texx]p[/texx] es condición suficiente si y sólo si si y sólo si nada. [texx]p[/texx] es condición suficiente para q si y sí.
[texx]p[/texx] es condición necesaria si y sólo si p no es condición necesaria para q a menos que puedas demostrar tambien [texx]q\rightarrow p[/texx]
[texx]q[/texx] es condición suficiente si y sólo si  si y sólo si nada. q no es condición suficiente para p salvo que puedas demostrar [texx]q\rightarrow p[/texx].
[texx]q[/texx] es condición necesaria si y sólo si si y sólo si nada. q es condición necesaria para p.

Es como si preguntas: [texx]2+2=4[/texx] si y sólo si [completar] o [texx]2+2=5[/texx] si y sólo si [completar].

Claro, pero me refiero a que no has definido lógicamente por qué siempre se cumple que [texx]p[/texx] es condición suficiente para que se cumpla [texx]q[/texx], o por qué [texx]q[/texx] es una condición necesaria para que se cumpla [texx]p[/texx]. ¿Tienen definiciones formales los conceptos "condición suficiente" / "necesaria"?

Creo que no alcanzaste a ver mi último edit, ¿toda condición suficiente es necesaria? Si es así, ¿cómo se demuestra a partir de axiomas?

Para aplicar el teorema de Gauss es NECESARIO que se cumplan todas las hipótesis. Necesario significa "Si falla ya no hay nada que hacer". Si falla alguna hipótesis, ya no puedes hacer nada.

Pero las hipótesis son SUFICIENTES para que se se dé la conclusión. Suficiente significa que con eso te vale, pero si no, tal vez puedas buscarte la vida por otro camino. Por ejemplo, podría ocurrir que D no fuera simplemente conexo, pero que  la función f fuera idénticamente nula y, por lo tanto igual se tuviera la igualdad de las integrales.

No lo acabo de ver. En el primer párrafo estoy totalmente de acuerdo, pero luego decís que las hipótesis son suficientes ("para que" etc.)? ¿No que eran necesarias?

O sea, ¿cómo que si [texx]D[/texx] NO es simplemente conexo aun así se puede aplicar el teorema de Gauss? ¿No era que si al menos una de las hipótesis fallaba entonces el teorema (su conclusión) ya NO es cierto?

¿Ser ave es una condición suficiente o necesaria? Pues depende. Es suficiente para ser un animal y necesaria para ser una gallina. Sin más precisión, no tiene sentido decir si "ser ave" es una condición suficiente o necesaria.

Tenés razón.

Si [texx]p\leftrightarrow q[/texx], entonces [texx]p[/texx] es una condición suficiente y necesaria para [texx]q[/texx] y viceversa.

Ok.



Tengo entendido que hay ocasiones que ciertos teoremas sirven más bien por su NEGATIVA que por su implicación directa. ¿Esto se debe a que sus hipótesis son NECESARIAS y no SUFICIENTES?

Recuerdo de mi profesor cuando explicaba la existencia de plano tangente de una función, creo que decía "Hasta ahora vimos continuidad y derivabilidad en toda dirección, pero la idea ahora es definir un concepto "más poderoso" que la derivabilidad, como en Cálculo I (en el sentido que nos garantiza "suavidad")". Es decir, que aunque una función de dos variables sea continua en un punto y además derivable en toda dirección, NO nos aseguramos que admita plano tangente en ese punto (= sea diferenciable), ¿correcto?

Saludos
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« Respuesta #8 : 16 Octubre, 2018, 04:15 »


Buenos días, Manooooh.


Claro, ¡faltan el cocinero y los hambrientos! :risa:. Es un muy buen ejemplo.



Y falta la sartén y salir a comprar los ingredientes si no se tienen... :cara_de_queso: Mejor dejamos ese ejemplo, se me ha ocurrido uno mucho mejor.

Tenemos un alambre fino, muy fácilmente moldeable. El alambre está doblado en pico en un punto. Queremos apoyar un bolígrafo sobre ese punto de manera que quede tangente a una curva.

Sin duda, el alambre es continuo, pero para poder hacer lo que queremos no es suficiente dejarlo como está. Es también imprescindible que, cuando vayamos a moldear el alambre, no se rompa, es necesario (en este último párrafo está expresada la completa necesidad de la continuidad; pero todavía no podemos hacer lo que queremos, no basta con eso).

Curvar el alambre (se entiende curvarlo bien) es necesario y suficiente, las dos cosas, pero que no se rompa, es sólo necesario.

Y al hilo de eso último, hay que añadir algo importante, considerar que una condición pueda ser suficiente y no necesaria.
Se me ocurre también un buen ejemplo. Es suficiente que un número sea múltiplo de ocho para que sea par, sin embargo, no es necesario, puede no ser múltiplo de ocho, como 2 ó como 4, 6, 10...

Saludos.
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« Respuesta #9 : 16 Octubre, 2018, 05:33 »

Claro, pero me refiero a que no has definido lógicamente por qué siempre se cumple que [texx]p[/texx] es condición suficiente para que se cumpla [texx]q[/texx], o por qué [texx]q[/texx] es una condición necesaria para que se cumpla [texx]p[/texx]. ¿Tienen definiciones formales los conceptos "condición suficiente" / "necesaria"?

¡Pero si te los he definido ya dos veces! Aquí va la tercera:

Definición 1: Se dice que [texx]p[/texx] es una condición suficiente para [texx]q[/texx] si y sólo si [texx]p\rightarrow q[/texx].

Definición 2: Se dice que [texx]q[/texx] es una condición necesaria para [texx]p[/texx] si y sólo si [texx]p\rightarrow q[/texx].

¿Qué más quieres?

Creo que no alcanzaste a ver mi último edit, ¿toda condición suficiente es necesaria? Si es así, ¿cómo se demuestra a partir de axiomas?

Insisto en que no puedes hablar de condiciones suficientes y necesarias sin decir para qué. Una condición es suficiente para algo o necesaria para algo.

Si [texx]p[/texx] es una condición suficiente para [texx]q[/texx], no tiene por qué ser una condición necesaria para [texx]q[/texx]. Que sea suficiente significa (por la definición anterior) que [texx]p\rightarrow q[/texx]. Que también sea necesaria significa que [texx]p\leftrightarrow q[/texx].

Para aplicar el teorema de Gauss es NECESARIO que se cumplan todas las hipótesis. Necesario significa "Si falla ya no hay nada que hacer". Si falla alguna hipótesis, ya no puedes hacer nada.

Pero las hipótesis son SUFICIENTES para que se se dé la conclusión. Suficiente significa que con eso te vale, pero si no, tal vez puedas buscarte la vida por otro camino. Por ejemplo, podría ocurrir que D no fuera simplemente conexo, pero que  la función f fuera idénticamente nula y, por lo tanto igual se tuviera la igualdad de las integrales.

No lo acabo de ver. En el primer párrafo estoy totalmente de acuerdo, pero luego decís que las hipótesis son suficientes ("para que" etc.)? ¿No que eran necesarias?

Y también te dije que ser un ave era necesario para ser una gallina, pero también es suficiente para ser un animal. ¿En qué quedamos? ¿Ser un ave es una condición suficiente o necesaria? Pues depende para qué.

En el caso del teorema de Gauss, su estructura es [texx]p_1\land \cdots \land p_n\rightarrow q[/texx], es decir, si se cumplen varias hipótesis [texx]p_1,\ldots p_n[/texx], entonces se cumple la conclusión [texx]q[/texx].

Por lo tanto, según la definición 1, las hipótesis [texx]p_1\land \cdots \land p_n[/texx] son suficientes para que se cumpla la conclusión [texx]q[/texx].

Por otra parte, tienes que [texx]p_1\land \cdots \land p_n\rightarrow p_i[/texx], luego, por la definición 2, cualquiera de las hipótesis [texx]p_i[/texx] es necesaria para que se cumplan las hipótesis [texx]p_1\land \cdots \land p_n[/texx] del teorema de Gauss.

O sea, ¿cómo que si [texx]D[/texx] NO es simplemente conexo aun así se puede aplicar el teorema de Gauss?

Yo no he dicho eso.

¿No era que si al menos una de las hipótesis fallaba entonces el teorema (su conclusión) ya NO es cierto?

Eso tampoco es cierto.

Lo que yo he dicho es que si [texx]D[/texx] no es simplemente conexo (luego falla una hipótesis del teorema de Gauss), pero la función [texx]f[/texx] a la que lo aplicas es la función idénticamente nula, entonces las dos integrales de la conclusión son nulas y se tiene la igualdad. Lo cual no significa que hayas aplicado el teorema de Gauss, que no se puede aplicar.

Las condiciones del teorema de Gauss son suficientes para que se cumpla la conclusión, pero no son necesarias, es decir, la conclusión puede cumplirse aunque fallen las hipótesis. En tal caso, no se puede aplicar el teorema de Gauss, pero la conclusión es cierta igualmente. Parece que confundes estas dos cosas.

Un caso más general es que el dominio [texx]D[/texx] no sea simplemente conexo, pero esté contenido en otro dominio simplemente conexo [texx]D'[/texx] al cual se pueda extender la función [texx]f[/texx]. Entonces la conclusión del teorema de Gauss para [texx]D[/texx] y [texx]f[/texx] vale igualmente, pero no porque puedas aplicar el teorema de Gauss en [texx]D[/texx], sino porque lo puedes aplicar en [texx]D'[/texx] (para esa [texx]f[/texx]). En cambio, el teorema puede fallar para otras funciones [texx]f[/texx] que no admitan una extensión (de clase [texx]C^1[/texx]) a [texx]D'[/texx].

Míralo en un caso más sencillo: Un teorema dice que toda función derivable (de una variable) es continua. Si tienes una función que no es derivable, por ejemplo el valor absoluto, no puedes aplicar el teorema para concluir que es continua, pero eso no impide que la función pueda ser continua. Una cosa es que puedas aplicar el teorema para probar que es continua (que no puedes) y otra cosa que no sea continua (que sí que lo es).

Tengo entendido que hay ocasiones que ciertos teoremas sirven más bien por su NEGATIVA que por su implicación directa. ¿Esto se debe a que sus hipótesis son NECESARIAS y no SUFICIENTES?

Eso es un juego de palabras. Si un teorema demuestra una implicación [texx]p\rightarrow q[/texx], puedes enunciarlo como que [texx]p[/texx] es suficiente para [texx]q[/texx] o como que [texx]q[/texx] es necesario para [texx]p[/texx], pero el teorema es el mismo lo enuncies como lo enuncies.

Recuerdo de mi profesor cuando explicaba la existencia de plano tangente de una función, creo que decía "Hasta ahora vimos continuidad y derivabilidad en toda dirección, pero la idea ahora es definir un concepto "más poderoso" que la derivabilidad, como en Cálculo I (en el sentido que nos garantiza "suavidad")". Es decir, que aunque una función de dos variables sea continua en un punto y además derivable en toda dirección, NO nos aseguramos que admita plano tangente en ese punto (= sea diferenciable), ¿correcto?

Correcto.
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