Hola
Hola ¿cómo puedo probar [texx]\displaystyle\binom{n-k}{n-r}=\displaystyle\sum_{j=0}^k{}(-1)^j\displaystyle\binom{k}{j}\displaystyle\binom{n-j}{r}[/texx] con [texx]k\leq{r}\leq{n}[/texx] utilizando el principio de inclusión-exclusión?
Muchas gracias.
Equivale a:
[texx]\displaystyle\binom{n-k}{n-r}=\displaystyle\sum_{j=0}^k{}(-1)^j\displaystyle\binom{k}{j}\displaystyle\binom{n-j}{n-j-r}[/texx]
Entonces el término de la izquierda se puede interpretar como subconjuntos de los números del [texx]1[/texx] al [texx]n[/texx] formados por [texx]n-r[/texx] elementos y sin contener a los [texx]k[/texx] primeros.
Son todos los
subconjuntos de [texx]n-r[/texx] elementos del
conjunto de los números del [texx]1[/texx] al [texx]n[/texx]: [texx]\displaystyle\binom{n-0}{n-r-0}[/texx]
Restamos los que contienen a algún número de [texx]1[/texx] a [texx]k[/texx]: [texx]\displaystyle\binom{k}{1}[/texx] opciones para elegir el número entre [texx]1[/texx] y [texx]k[/texx] y [texx]\displaystyle\binom{n-1}{n-r-1}[/texx] posibilidades para los restantes.
Pero así hemos restado dos veces los que contienen simultáneamente a dos números de [texx]1[/texx] a [texx]k[/texx]; los sumamos. [texx]\displaystyle\binom{k}{2}[/texx] opciones para elegir los dos números entre [texx]1[/texx] y [texx]k[/texx] y [texx]\displaystyle\binom{n-2}{n-r-2}[/texx] posibilidades para los restantes.
Y así sucesivamente...
Saludos.
CORREGIDO
