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Autor Tema: combinatoria  (Leído 832 veces)
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atayap
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« : 20/10/2018, 06:56:03 am »

Hola, sea A un conjunto con n elementos.,me piden contar el número de formas posibles en las que se pueden escoger r elementos de forma que entre esos r elementos estén k determinados de A [texx]k\leq{r}\leq{n}[/texx]
He probado viendolo con algunos ejemplos, y creo que sería [texx]\displaystyle\binom{n-k}{n-r}[/texx] He intentado a verlo por el complementario, es decir, tomando combinaciones de n-k elementos (de forma que estén todos los k no seleccionados) y tomándolos de (n-r) en (n-r) ¿Es ésto correcto? No lo tengo muy seguro, ¿existe algún razonamiento mejor? Como siempre muchas gracias por vuestra ayuda.
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delmar
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« Respuesta #1 : 20/10/2018, 04:03:42 pm »

Hola

El conjunto de r elementos (C), es la reunión de un conjunto de k elementos (D) con un conjunto de r-k elementos (E). En consecuencia : [texx]C=D\cup{E}[/texx]. El número (N) de conjuntos C posibles diferentes será : [texx]N=m \ s[/texx] donde m es el número de conjuntos D posibles diferentes y s es el número de conjuntos E posibles diferentes.
m=1 solamente hay un conjunto de k elementos.
[texx]s=\displaystyle\binom{n-k}{r-k}[/texx] es el número de combinaciones de n-k los elementos sobrantes, tomados de r-k en r-k elementos.

La respuesta que has dado es incorrecta. La respuesta es : [texx]N=\displaystyle\binom{n-k}{r-k}[/texx]

Saludos

Lo que esta en color azul ha sido editado, para mayor claridad
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atayap
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« Respuesta #2 : 20/10/2018, 06:56:59 pm »

Hola, no lo entiendo muy bien. Lo estoy intentado ver con un ejemplo.
Supongo que tengo los objetos 1 2 3 4 5 (n=5), y quiero que estén el 2 y el 4, es decir, k=2. Y escojo 4 elementos (r=4)
De entre todas las opciones posibles.
2,4
2,4,1
2,4,3
2,4,5
2,4,1,3
2,4,3,5
2,4,5,1
2,4,1,3,5
Solo me quedo con:
2,4,1,3
2,4,3,5
2,4,5,1
El conjunto de 4 elementos (C), es la reunión de un conjunto de 2 elementos (D) con un conjunto de 2 (4-2) elementos (E). En consecuencia : [texx]C=D\cup{E}[/texx]. El número 3 de conjuntos C posibles diferentes será : [texx]5=m \ s[/texx] donde m es el número de conjuntos D posibles diferentes y s es el número de conjuntos E posibles diferentes. ¿m y s no serían 1 en el ejemplo? No lo entiendo  :¿eh?:
Muchas gracias por la ayuda.

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delmar
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« Respuesta #3 : 20/10/2018, 08:42:27 pm »

Primeramente disculpa, no vi bien tu respuesta [texx]\displaystyle\binom{n-k}{n-r}[/texx], tu respuesta es incorrecta.  Por otro lado las denominaciones que he dado favorecen la confusión. Denominemos [texx]N[/texx] al número de conjuntos posibles diferentes de r elementos, entonces  [texx]N=m \ s=\displaystyle\binom{n-k}{r-k}[/texx], la puedes verificar con el ejemplo que has puesto : [texx]N=\displaystyle\binom{5-2}{4-2}=3[/texx]. Respecto a la inquietud ¿s=1?, la respuesta es no. s es el número de posibles conjuntos E diferentes, equivale al número de conjuntos de r-k=2 elementos (E tiene dos elementos) que se pueden formar con n-k=5-2=3 elementos, es decir que se pueden formar con los elementos de A que no son los k elementos elegidos, es decir con los restantes después de elegir a los k, en este caso serán n-k=5-2=3, esto es la combinación : [texx]s=\displaystyle\binom{n-k}{r-k}\Rightarrow{N=\displaystyle\binom{n-k}{r-k}}[/texx]

Saludos

Nota : Ya edite mi primer mensaje.
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Luis Fuentes
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« Respuesta #4 : 21/10/2018, 05:27:45 am »

Hola

Primeramente disculpa, no vi bien tu respuesta [texx]\displaystyle\binom{n-k}{n-r}[/texx], tu respuesta es incorrecta.  Por otro lado las denominaciones que he dado favorecen la confusión. Denominemos [texx]N[/texx] al número de conjuntos posibles diferentes de r elementos, entonces  [texx]N=m \ s=\displaystyle\binom{n-k}{r-k}[/texx], la puedes verificar con el ejemplo que has puesto : [texx]N=\displaystyle\binom{5-2}{4-2}=3[/texx]. Respecto a la inquietud ¿s=1?, la respuesta es no. s es el número de posibles conjuntos E diferentes, equivale al número de conjuntos de r-k=2 elementos (E tiene dos elementos) que se pueden formar con n-k=5-2=3 elementos, es decir que se pueden formar con los elementos de A que no son los k elementos elegidos, es decir con los restantes después de elegir a los k, en este caso serán n-k=5-2=3, esto es la combinación : [texx]s=\displaystyle\binom{n-k}{r-k}\Rightarrow{N=\displaystyle\binom{n-k}{r-k}}[/texx]

Ojo:

[texx]\displaystyle\binom{n-k}{r-k}=\displaystyle\binom{n-k}{(n-k)-(r-k)}=\displaystyle\binom{n-k}{n-r}[/texx]

así que su respuesta SI era correcta. Y creo que también su primer razonamiento; el cuenta los subconjuntos complementarios de los que busca es decir si busca subconjuntos de [texx]r[/texx] elementos que necesariamente contienen a [texx]k[/texx] prefijados, los complementarios son subconjuntos de [texx]n-r [/texx]elementos escogidos necesariamente entre nos [texx]n-k[/texx] elementos restantes.

Saludos.
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delmar
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« Respuesta #5 : 21/10/2018, 03:25:31 pm »

Luis Fuentes tienes razón, su respuesta es correcta, gracias por tu oportuna intervención.

Saludos
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