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Autor Tema: Función cóncava convexa  (Leído 10521 veces)
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Luis Fuentes
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« Respuesta #60 : 31/10/2018, 12:17:40 pm »

Hola

Me refiero a

Quise utilizar la propiedad de funciones convexas

[texx]f(x+y-x)\leq{}f(x+y)-f(x)[/texx]

En el caso, creo que es

[texx]f(v+y)\geq{}f(v)+f(y)[/texx] y [texx]f(z-w)\geq{}f(z)+f(-w)[/texx], no?

La primera inecuación tiene un menos delante de [texx]f(x)[/texx], mientras que en la última el menos está dentro de [texx]f(-w)[/texx]. ¿Son equivalentes esas desigualdades?

Quizás estoy confundiendo cosas o soy ciego. Lo pregunto porque Quema afir-pregunta si se cumple.

O sea el problema que "veo" es el signo.

Suponiendo que fuese cierto:

[texx]f(x+y)\geq f(x)+f(y)[/texx] (*)

o equivalentemente:

[texx]f(y)=f(x+y-x)\leq{}f(x+y)-f(x)[/texx]

para cualesquiera [texx]x,y[/texx] se cumpliría tomando [texx]x=z[/texx] e [texx]y=-w[/texx] en (*) que:

[texx]f(z-w)\geq f(z)+f(-w)[/texx]

Saludos.

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« Respuesta #61 : 31/10/2018, 12:20:16 pm »

En resumen, por este lado no sale el problema?
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« Respuesta #62 : 31/10/2018, 12:21:26 pm »

Hola

En resumen, por este lado no sale el problema?

No.

Saludos.
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« Respuesta #63 : 07/01/2019, 06:46:15 pm »

Retomando el ejemplo con [texx]h=0.2, c=0.4[/texx] en una parte dices que la función es subaditiva sys [texx]b\geq{}2c[/texx] y le llamamos a [texx][0,k][/texx] el máximo intervalo de subaditiva y a [texx]b[/texx] la solución de [texx]w(b)=2w(b/2)[/texx]. Pero creo que en una parte pones que [texx]b=0.69[/texx] que es menor a [texx]0.8[/texx] y no se de dónde sale [texx]k[/texx], no debiste decir [texx]k=0.69[/texx] y cuánto vale en este ejemplo. No lo puedo ver bien en el gráfico.
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« Respuesta #64 : 08/01/2019, 06:52:33 am »

Hola

Retomando el ejemplo con [texx]h=0.2, c=0.4[/texx] en una parte dices que la función es subaditiva sys [texx]b\geq{}2c[/texx]

¿Exactamente qué digo sobre eso y dónde?.

Cita
y le llamamos a [texx][0,k][/texx] el máximo intervalo de subaditiva y a [texx]b[/texx] la solución de [texx]w(b)=2w(b/2)[/texx]. Pero creo que en una parte pones que [texx]b=0.69[/texx] que es menor a [texx]0.8[/texx]


¿Y cuál es el problema? De hecho precisamente en ese ejemplo la función NO es subaditiva en [texx][0,b][/texx].

Cita
y no se de dónde sale [texx]k[/texx], no debiste decir [texx]k=0.69[/texx] y cuánto vale en este ejemplo. No lo puedo ver bien en el gráfico.

No. No debí de decir [texx]k=0.69[/texx] porque [texx]k[/texx] es el máximo intervalo de subaditividad y en ese ejemplo no es subaditiva en [texx][0,0.69][/texx].

Observa la captura del gráfico de Geogebra.



En  primer lugar he colocado el punto [texx]h[/texx] en [texx]0.2[/texx] y el [texx]c[/texx] en [texx]0.4[/texx] para ceñirnos a ese ejemplo.

El punto [texx]b[/texx] aparece entonces más o menos en [texx]0.69[/texx].

Ahora nosotros podemos mover el punto ROJO que es el valor candidato a [texx]k[/texx] que queremos analizar. Será subaditiva en [texx][0,k][/texx] si la gráfica en rojo es positiva en todo punto. Si te fijas en la captura el punto rojo está mas o menos en [texx]0.65[/texx] y la gráfica en rojo, más o menos a partir de [texx]0.5[/texx] toma (por muy poquito, pero lo toma) valores negativos. Por tanto NO hay subaditividad en [texx][0,0.65][/texx].

El gráfico no da el valor [texx]k[/texx] máximo de subaditvidad, pero permite estimarlo por tanteo: vamos moviendo el punto rojo hasta conseguir que la gráfica roja sea totalmente positiva.

Saludos.

* aclaracionquema.jpg (46.52 KB - descargado 165 veces.)
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« Respuesta #65 : 09/01/2019, 12:00:32 pm »

En este caso puede ser que no exista ese b tal que w(b)=2w(b/2).
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« Respuesta #66 : 09/01/2019, 12:53:35 pm »

Hola

En este caso puede ser que no exista ese b tal que w(b)=2w(b/2).

Si te refieres al ejemplo anterior.. si existe. Es el puntito negro donde pone "b".

Por otra parte aquí se vio  que bajo las condiciones indicadas siempre existe ese [texx]b[/texx]:

En cuanto a la existencia.

Si definimos:

[texx]g(x)=f(x)-2f(x/2)[/texx]

tenemos [texx]g(0)=0[/texx], [texx]g(1)=1-2f(1/2)> 0[/texx] (si fuese [texx]g(1)=0[/texx] ya tendríamos [texx]b=1[/texx]).

Ahora asumiendo las funciones derivables:

[texx]g'(x)=f'(x)-f'(x/2)[/texx]

Dado que [texx]f(x)[/texx] es cóncava en [texx][0,c][/texx] su derivada es decreciente y así si [texx]x<c[/texx] se tiene que [texx]g'(x)<0[/texx].

Por tanto como [texx]g(0)=0[/texx], [texx]g(1)>0[/texx] y [texx]g(x)[/texx] es decreciente en [texx](0,c)[/texx], necesariamente [texx]g(x)[/texx] tiene al menos una raíz en [texx](c,1][/texx], es decir, existe [texx]b\in (c,1][/texx] tal que [texx]f(b)=2f(b/2).[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #67 : 09/01/2019, 06:18:11 pm »

Como sabes que 1-2f(1/2)>0 y como hallas el k, que algoritmo usas puede ser mas especifico?
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« Respuesta #68 : 10/01/2019, 07:12:41 am »

Hola

Como sabes que 1-2f(1/2)>0

Estoy bajo las hipótesis que tu imponía en tu mensaje inicial:

Supongamos que [texx]f:[0,1]\rightarrow{}[0,1][/texx] es continua, creciente, cóncava-convexa (con punto de inflexión [texx]c[/texx]) con [texx]f(0)=0,f(1)=1[/texx], tal que [texx]2f(x/2)\leq 1,[/texx] para todo [texx]x \in [0,1][/texx]

y como hallas el k, que algoritmo usas puede ser mas especifico?

Yo no he dado ningún algoritmo para hallar [texx]k[/texx]. En todo caso dije esto:

Cita
Si consideras la función:

[texx]h(z)=min\{f(x)+f(z-x)-f(z)|x\in [0,z]\}[/texx]

Se tiene que:

[texx]k=inf\{z|h(z)<0\}[/texx]

y gráficamente en Geogebra lo que hago es mover [texx]k[/texx] hasta que encontrar el [texx]k[/texx] más pequeño donde la función [texx]f(x)+f(k-x)-f(k)[/texx] empieza a tomar algún valor negativo en algún punto de [texx][0,k][/texx]; o equivalentemente el valor más grande donde esa función es siempre positiva en el intervalo indicado.

Saludos.
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« Respuesta #69 : 10/01/2019, 07:18:54 am »

Y con el Mathematica que valor de [texx]k[/texx] da? En una parte parece que dijeras que es cercano a 0.5, pero necesito saber el valor exacto. Además, siempre tendremos que [texx]k\leq{}b[/texx], no?
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« Respuesta #70 : 01/02/2019, 02:28:19 pm »

Hola

En el ejemplo con [texx]h=0.2, c=0.4[/texx] hice lo siguiente:

[texx]h(b,x)=w(x)+w(b-x)-w(b)=x(2.777-4.444b)+0.97222x^2[/texx] y por lo tanto haciendo [texx]h(x)<0[/texx] me da que debe cumplirse que [texx]b\leq{}\displaystyle\frac{0.97222x+2.7777}{4.4444}.[/texx] Es decir, el  máximo intervalo de subaditividad se da para [texx]x=0[/texx] y por lo tanto [texx]k=0.625.[/texx] Está bien?
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« Respuesta #71 : 01/02/2019, 02:33:07 pm »

Hola

En el ejemplo con [texx]h=0.2, c=0.4[/texx] hice lo siguiente:

[texx]h(x)=w(x)+w(b-x)-w(b)=x(2.777-4.444b)+0.97222x^2[/texx] y por lo tanto haciendo [texx]h(x)<0[/texx] me da que debe cumplirse que [texx]b\leq{}\displaystyle\frac{0.97222x+2.7777}{4.4444}.[/texx] Es decir, el  máximo intervalo de subaditividad se da para [texx]x=0[/texx] y por lo tanto [texx]k=0.625.[/texx] Está bien?

Pero en ese ejemplo [texx]w(x)[/texx] es una función a trozos; entonces [texx]h(x)[/texx] debería de ser a trozos. ¿No?.

Saludos.
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« Respuesta #72 : 01/02/2019, 02:35:36 pm »

Debe cumplirse que [texx]b-x>c>x.[/texx]
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« Respuesta #73 : 07/02/2019, 08:19:09 am »

Hola

Debe cumplirse que [texx]b-x>c>x.[/texx]

¿Por qué?.

Saludos.
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« Respuesta #74 : 07/02/2019, 09:32:07 am »

Pero el [texx]k=0.625[/texx] independientemente de mi método de hallarlo?
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« Respuesta #75 : 07/02/2019, 09:39:57 am »

Hola

Pero el [texx]k=0.625[/texx] independientemente de mi método de hallarlo?

No he revisado las cuentas, pero si por ahí le anda. Es decir lo que digo simplemente es que a priori no tengo claro porque podemos asegurar esas cotas que dices. Pero en este caso si funciona.

Saludos.
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« Respuesta #76 : 07/02/2019, 09:40:47 am »

Es que en este caso creo que puedes hallarlo exacto y es el valor que digo, me parece.
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« Respuesta #77 : 07/02/2019, 09:43:18 am »

Hola

Es que en este caso creo que puedes hallarlo exacto y es el valor que digo, me parece.

Si, si. No hay duda de que puede hallarse exacto en este caso. Lo que digo es que si no se aseguran esas cotas, habría que considerar otro posibles valores de la función a trozos. Pero con un poco más de trabajo se llega al valor exacto.

Es decir que en esa familia de funciones parábolas a trozos siempre puede calcularse de manera exacta el máximo intervalo de subaditividad no hay duda, porque aparecerán siempre ecuaciones de primer o segundo grado.

Saludos.
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« Respuesta #78 : 07/02/2019, 11:20:35 am »

El valor [texx]c[/texx] es el punto de inflexión separando la concavidad y convexidad de la función, entonces es obvio que debo analizar los valores tal que [texx]b-x>c>x.[/texx]
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« Respuesta #79 : 08/02/2019, 08:50:52 am »

Hola

El valor [texx]c[/texx] es el punto de inflexión separando la concavidad y convexidad de la función, entonces es obvio que debo analizar los valores tal que [texx]b-x>c>x.[/texx]

Pues no te digo que no, ¿pero exactamente que justifica esa afirmación?.

Saludos.
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