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Autor Tema: Función cóncava convexa  (Leído 12178 veces)
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« : 16/10/2018, 05:46:45 pm »

Supongamos que [texx]f:[0,1]\rightarrow{}[0,1][/texx] es continua, creciente, cóncava-convexa (con punto de inflexión [texx]c[/texx]) con [texx]f(0)=0,f(1)=1[/texx], tal que [texx]2f(x/2)\leq 1,[/texx] para todo [texx]x \in [0,1][/texx]

Existe siempre un [texx]b \in (0,1][/texx] tal que [texx]f(b)=2f(b/2)[/texx]. Es éste único?

Mi respuesta es afirmativa, simplemente hay que trazar una recta del punto [texx](b/2,f(b/2))[/texx] con pendiente [texx]2[/texx] y cortará solamente una vez la recta [texx]f(x)[/texx], pues [texx]c\leq{}b/2[/texx] y [texx]f(x)[/texx] es creciente. Mi duda está si la pendiente de [texx]f(x)[/texx] en [texx]x=b/2[/texx] es mayor a 2, capaz que esa recta no cortaría ningún punto de [texx]f(x)[/texx].

Saludos
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« Respuesta #1 : 17/10/2018, 12:22:19 am »

Supongamos que [texx]f:[0,1]\rightarrow{}[0,1][/texx] es continua, creciente, cóncava-convexa (con punto de inflexión [texx]c[/texx]) con [texx]f(0)=0,f(1)=1[/texx], tal que [texx]2f(x/2)\leq 1,[/texx] para todo [texx]x \in [0,1][/texx]

Existe siempre un [texx]b \in (0,1][/texx] tal que [texx]f(b)=2f(b/2)[/texx]. Es éste único?

Mi respuesta es afirmativa, simplemente hay que trazar una recta del punto [texx](b/2,f(b/2))[/texx] con pendiente [texx]2[/texx] y cortará solamente una vez la recta [texx]f(x)[/texx], pues [texx]c\leq{}b/2[/texx] y [texx]f(x)[/texx] es creciente. Mi duda está si la pendiente de [texx]f(x)[/texx] en [texx]x=b/2[/texx] es mayor a 2, capaz que esa recta no cortaría ningún punto de [texx]f(x)[/texx].

Saludos

¿Y qué punto es el [texx]b[/texx]? Tienes un punto indefinido [texx](b/2,a)[/texx], para algún [texx]b\in[0,2][/texx] con [texx]a=f(b/2)[/texx]. A partir de ahí haces una recta con pendiente 2 y aseguras que corta una vez [texx]f[/texx], ¿por qué? No me queda nada claro lo que has hecho, en todo caso tienes que explicarte mejor.
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« Respuesta #2 : 17/10/2018, 03:37:22 am »

Hola.

Yo lo que afirmaría, según está el enunciado y si lo he entendido bien, es que no existe [texx]b[/texx] con esas características. Debe de estar fallando algo, porque tampoco veo que se deba cumplir [texx]c\leq{b/2}[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #3 : 17/10/2018, 06:37:49 am »

Hola

Supongamos que [texx]f:[0,1]\rightarrow{}[0,1][/texx] es continua, creciente, cóncava-convexa (con punto de inflexión [texx]c[/texx]) con [texx]f(0)=0,f(1)=1[/texx], tal que [texx]2f(x/2)\leq 1,[/texx] para todo [texx]x \in [0,1][/texx]

Existe siempre un [texx]b \in (0,1][/texx] tal que [texx]f(b)=2f(b/2)[/texx]. Es éste único?

En cuanto a la existencia.

Si definimos:

[texx]g(x)=f(x)-2f(x/2)[/texx]

tenemos [texx]g(0)=0[/texx], [texx]g(1)=1-2f(1/2)> 0[/texx] (si fuese [texx]g(1)=0[/texx] ya tendríamos [texx]b=1[/texx]).

Ahora asumiendo las funciones derivables:

[texx]g'(x)=f'(x)-f'(x/2)[/texx]

Dado que [texx]f(x)[/texx] es cóncava en [texx][0,c][/texx] su derivada es decreciente y así si [texx]x<c[/texx] se tiene que [texx]g'(x)<0[/texx].

Por tanto como [texx]g(0)=0[/texx], [texx]g(1)>0[/texx] y [texx]g(x)[/texx] es decreciente en [texx](0,c)[/texx], necesariamente [texx]g(x)[/texx] tiene al menos una raíz en [texx](c,1][/texx], es decir, existe [texx]b\in (c,1][/texx] tal que [texx]f(b)=2f(b/2).[/texx]

Cita
Mi respuesta es afirmativa, simplemente hay que trazar una recta del punto [texx](b/2,f(b/2))[/texx] con pendiente [texx]2[/texx] y cortará solamente una vez la recta [texx]f(x)[/texx], pues [texx]c\leq{}b/2[/texx] y [texx]f(x)[/texx] es creciente. Mi duda está si la pendiente de [texx]f(x)[/texx] en [texx]x=b/2[/texx] es mayor a 2, capaz que esa recta no cortaría ningún punto de [texx]f(x)[/texx].

No acabo de entender el argumento.

No es cierto en general que necesariamente [texx]c\leq b/2[/texx] (se pueden poner ejemplos donde no se da esa cota); lo que sabemos es que [texx]c<b[/texx].

Saludos.
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« Respuesta #4 : 17/10/2018, 07:06:30 am »

Hola

[texx]g'(x)=f'(x)-f'(x/2)[/texx]

Dado que [texx]f(x)[/texx] es cóncava en [texx][0,c][/texx] su derivada es decreciente y así si [texx]x<c[/texx] se tiene que [texx]g'(x)<0[/texx].

No acabo de ver esto. Observa que al ser [texx]f(x)[/texx] creciente se cumple [texx]f'(x)>0[/texx] en [texx][0,c][/texx]. Es más, al ser [texx]f(x)[/texx] cóncava su derivada es creciente, luego [texx]f'(x)>f'(x/2)[/texx] en [texx][0,c][/texx], ¿no?

Saludos.
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« Respuesta #5 : 17/10/2018, 07:08:46 am »

Hola

No acabo de ver esto. Observa que al ser [texx]f(x)[/texx] creciente se cumple [texx]f'(x)>0[/texx] en [texx][0,c][/texx]. Es más, al ser [texx]f(x)[/texx] cóncava su derivada es creciente, luego [texx]f'(x)>f'(x/2)[/texx] en [texx][0,c][/texx], ¿no?

Al revés, si es cóncava su derivada es decreciente. Por ejemplo [texx]f(x)=1-x^2[/texx].

Saludos.
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« Respuesta #6 : 17/10/2018, 07:13:51 am »

Hola.

Hola

No acabo de ver esto. Observa que al ser [texx]f(x)[/texx] creciente se cumple [texx]f'(x)>0[/texx] en [texx][0,c][/texx]. Es más, al ser [texx]f(x)[/texx] cóncava su derivada es creciente, luego [texx]f'(x)>f'(x/2)[/texx] en [texx][0,c][/texx], ¿no?

Al revés, si es cóncava su derivada es decreciente. Por ejemplo [texx]f(x)=1-x^2[/texx].

Saludos.

No. Esa es convexa en todo [texx] \mathbb{R}[/texx]. "Cóncava" es una palabra derivada de "cuenco", y esa función no tiene forma de "cuenco".

Saludos.
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« Respuesta #7 : 17/10/2018, 07:21:34 am »

Hola.

Vale, eso es lo que pasa... En Wikipedia he visto que está así como dices tú. Pero en los libros de segundo de bachillerato está como digo yo...  :¿eh?:

Saludos.
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« Respuesta #8 : 17/10/2018, 07:27:56 am »

Hola

Vale, eso es lo que pasa... En Wikipedia he visto que está así como dices tú. Pero en los libros de segundo de bachillerato está como digo yo...  :¿eh?:

¡Quémalos!... Diría que al menos el 95% de la biblografía considera que [texx]x^2[/texx] es convexa y [texx]1-x^2[/texx] es cóncava. Yo tengo grabado esto en la cabeza pensando que la concavidad se mira desde abajo; entonces [texx]1-x^2[/texx] es un cuenco si lo miras desde abajo.

Saludos.
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« Respuesta #9 : 17/10/2018, 07:34:53 am »

Hola

 Una familia de ejemplos para ver que no tiene porque cumplirse que [texx]b\geq 2c[/texx].

 Se trata de dos trozos de parábolas con vértice en el punto [texx](c,h)[/texx], a primera cóncava y la segunda convexa.

 En naranja está representada la función [texx]f(x)[/texx].

 En azul [texx]f(x)-2f(x/2)[/texx].

 En verde [texx]f(x)+f(b-x)-f(b)[/texx].

 Pueden modificarse [texx]c[/texx] y [texx]h[/texx].


Saludos.

* ejemplosquema.ggb (23.23 KB - descargado 145 veces.)
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« Respuesta #10 : 17/10/2018, 09:37:25 am »

Y para esta función: [texx]f(x)=x[/texx] si [texx]0\leq x\leq 0.1,[/texx], [texx]f(x)=0.5(x-0.1)+0.1[/texx] si [texx]0.1\leq x\leq 0.2,[/texx] y [texx]f(x)=\displaystyle\frac{85}{80}(x-0.2)+0.15[/texx] si [texx]0.2\leq x\leq 1.[/texx]

¿Existe ese [texx]b[/texx]?

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« Respuesta #11 : 17/10/2018, 09:55:31 am »

Hola

Y para esta función: [texx]f(x)=x[/texx] si [texx]0\leq x\leq 0.1,[/texx], [texx]f(x)=0.5(x-0.1)+0.1[/texx] si [texx]0.1\leq x\leq 0.2,[/texx] y [texx]f(x)=\displaystyle\frac{85}{80}(x-0.2)+0.15[/texx] si [texx]0.2\leq x\leq 1.[/texx]

¿Existe ese [texx]b[/texx]?

Si, ahí lo tienes, en azul [texx]f(x)[/texx] y en naranja [texx]f(x)-2f(x/2)[/texx]:



Saludos.

* ejemploquema2.png (52.37 KB - descargado 287 veces.)
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« Respuesta #12 : 17/10/2018, 10:08:40 am »

Si, perfecto, hay muchos [texx]b's[/texx], de hecho, como muestras en el gráfico para todo [texx]b\leq 0.1[/texx] se cumple la igualdad, luego el que me interesa es el que está en [texx][0.28,0.29].[/texx]

El comportamiento de la función [texx]f(x)-2f(x/2)[/texx], puede ser que para todo [texx]x\geq c[/texx] empiece siempre negativo, es decir [texx]f(c^+)-2f(c^+/2)\leq 0[/texx] y luego corte en algún punto el eje de las abscisas?
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« Respuesta #13 : 17/10/2018, 11:55:39 am »

Hola

Si, perfecto, hay muchos [texx]b's[/texx], de hecho, como muestras en el gráfico para todo [texx]b\leq 0.1[/texx] se cumple la igualdad, luego el que me interesa es el que está en [texx][0.28,0.29].[/texx]

El comportamiento de la función [texx]f(x)-2f(x/2)[/texx], puede ser que para todo [texx]x\geq c[/texx] empiece siempre negativo, es decir [texx]f(c^+)-2f(c^+/2)\leq 0[/texx] y luego corte en algún punto el eje de las abscisas?

Pero esos primeros infinitos valores iniciales no me preocupen; son consecuencia de que al principio la función es lineal pura. Basta por ejemplo exigir que se estrictamente cóncava para que no se den.

Saludos.
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« Respuesta #14 : 17/10/2018, 05:21:40 pm »

Hola.

Yo tengo grabado esto en la cabeza pensando que la concavidad se mira desde abajo; entonces [texx]1-x^2[/texx] es un cuenco si lo miras desde abajo.

A mí me pasa justo al revés. Estoy petrificado. Espero poder dormir esta noche.  :cara_de_queso:  He abierto un hilo para hablar de esto.

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=106517.msg419921;topicseen#msg419921

Saludos.
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« Respuesta #15 : 19/10/2018, 09:15:48 am »

Hola

Una familia de ejemplos para ver que no tiene porque cumplirse que [texx]b\geq 2c[/texx].

 Se trata de dos trozos de parábolas con vértice en el punto [texx](c,h)[/texx], a primera cóncava y la segunda convexa.

 En naranja está representada la función [texx]f(x)[/texx].

 En azul [texx]f(x)-2f(x/2)[/texx].

 En verde [texx]f(x)+f(b-x)-f(b)[/texx].

 Pueden modificarse [texx]c[/texx] y [texx]h[/texx].

 Por concretar la ecuación es:

[texx]f(x)=\begin{cases} \dfrac{-h(c-x)^2}{c^2}+h & \text{si}& 0\leq x\leq c\\\dfrac{(1-h)(x-c)^2}{(1-c)^2}+h& \text{si}& c<x\leq 1\end{cases}[/texx]

Saludos.
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« Respuesta #16 : 19/10/2018, 09:42:56 am »

Para  qué valores de [texx]c,h[/texx] se tiene el máximo valor de subaditividad [texx][0,b][/texx] en el cual no se cumple que [texx]f(b)=2f(b/2).[/texx]
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« Respuesta #17 : 19/10/2018, 11:25:48 am »

Hola

Para  qué valores de [texx]c,h[/texx] se tiene el máximo valor de subaditividad [texx][0,b][/texx] en el cual no se cumple que [texx]f(b)=2f(b/2).[/texx]

Lo que se tiene (visto empíricamente) es que dado [texx]b[/texx] solución de  [texx]f(b)=2f(b/2)[/texx], el máximo intervalo de subadtividad es [texx][0,b][/texx] si y sólo si [texx]b\geq 2c[/texx].


En este dibujo he añadido en rojo [texx]f(x)+f(k-x)-f(k)[/texx] con un valor de [texx]k[/texx] que podemos variar moviendo el punto rojo, para ver como se comporta la subaditividad en intervalos [texx][0,k][/texx] distintos del [texx][0,b][/texx].

Saludos.

P.D. Para no liarnos es mejor que le llamemos siempre [texx]b[/texx] a la solución de [texx]f(b)=2f(b/2)[/texx] y no al límite del máximo intervalo de subadtividad (aunque en muchos casos coincidirán).

* ejemplosquema3.ggb (26.66 KB - descargado 116 veces.)
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« Respuesta #18 : 19/10/2018, 12:03:58 pm »

Perdón, pero yo en visualización gráfica soy nulo. Me puedes dar un ejemplo numérico concreto de mi pedido.
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« Respuesta #19 : 19/10/2018, 12:54:10 pm »

Hola

Perdón, pero yo en visualización gráfica soy nulo. Me puedes dar un ejemplo numérico concreto de mi pedido.

La respuesta más precisa a tu pedido es la que te dí:

Lo que se tiene (visto empíricamente) es que dado [texx]b[/texx] solución de  [texx]f(b)=2f(b/2)[/texx], el máximo intervalo de subadtividad es [texx][0,b][/texx] si y sólo si [texx]b\geq 2c[/texx].

Si quieres un ejemplo concreto donde la función no sea subaditiva en [texx][0,b][/texx], toma:

[texx]c=0.4,\qquad h=0.2[/texx]

El valor de [texx]b[/texx] es aproximadamente [texx]0.69.[/texx]

Si sería subaditiva por ejemplo en [texx][0,6][/texx].

Saludos.
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