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Autor Tema: Mínima distancia  (Leído 129 veces)
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alucard
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« : 12/10/2018, 03:07:07 am »

Hola , me piden encontrar la distancia mínima de la curva de ecuación

[texx](x-1)^2+\dfrac{(y-1)^2}{4}=1[/texx] al punto [texx](5,1)[/texx], del dibujo observo que de la mínima distancia se obtiene en el vértice de la elipse (1,1) o sea que  [texx]d=4[/texx]

Si lo quiero hacer analíticamente planteo

[texx]d^2(x,y)=(x-5)^2+(y-1)^2\quad con \quad 4(x-1)^2+(y-1)^2=4[/texx] de donde defino una función

[texx]g(x)=(x-5)^2+4-4(x-1)^2[/texx] derivando

[texx]g'(x)=2(x-5)-8(x-1)=0\to -10x-2=0\rightarrow{x=-1/5}[/texx] no sé que hago mal, viendo el dibujo el

valor de x debería ser [texx]x=1[/texx]

Luego intente parametrizando sabiendo que [texx]a=1, b=2[/texx] me queda

[texx]x-1=\cos t\\ y-2=2\sen t\quad (1)[/texx]

entre en dudas, lo que tengo es una elipse de eje focal paralelo el eje y, ¿es correcta la parametrización que hice? , o tengo que usar

[texx]x-1=2\cos t\\ y-2=\sen t\quad (2)[/texx]

Si uso la segunda me queda

[texx]h(t)=(2\cos t-4)^2+\sen^2 t[/texx]

de donde la derivada me queda

[texx]h'(t)=2\sen t\underbrace{(8-3\cos t) }_{>0}=0[/texx]

de donde [texx]t=0[/texx] o [texx]t=180[/texx]

luego

[texx]g''(t)=6\sen^2 t+2(8-3\cos t)(\cos t)[/texx]

[texx]g''(0)>0[/texx] entonces 0 es mínimo

[texx]g''(180)<0[/texx] de donde  180 es un máximo

luego el punto de coordenadas mínimo en la elipse es  [texx]A(3,2)[/texx] cuando debería ser [texx](1,1)[/texx] , me pueden orientar donde me fui por las ramas?


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« Respuesta #1 : 12/10/2018, 04:35:15 am »

Buenas,
Dos cosas, el punto [texx](1,1)[/texx] no pertenece a la elipse y lo que buscas es distancia a puntos de la curva.
Y segundo, tienes un fallo en la derivada, debería ser [texx]g'(x)=-6x-2[/texx].

Luego lo sigo mirando, estoy con el móvil y me falta destreza.

Saludos.
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« Respuesta #2 : 12/10/2018, 06:04:10 am »

En cuanto a la parametrización, la correcta es la primera, pero tienes una errata, debería ser:
[texx]x-1=\cos t\\ y-1=2\,\sen t[/texx]

Y seguiría:
[texx]h(t)=(\cos t-4)^2+4\sen^2 t[/texx]

Derivando, arreglando e igualando a 0:
[texx]h'(t)=2\sen t\,(3\cos t+4)=0[/texx]

Para [texx]t=0[/texx] sería el mínimo y obtienes que el punto de la elipse es el [texx](2,1)[/texx] que está a distancia [texx]3[/texx].
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« Respuesta #3 : 12/10/2018, 07:31:29 am »

Gracias , dibuje mal y me olvidé trasladar el centro en x.

Una consulta , si la derivada es g'(x)=-6x-2 entonces un Punto crítico sería x=-1/3 , de esta manera ,no sería un máximo ese punto?

En cuanto a la parametrización de la elipse, independientemente del eje focal , siempre se toma

x=acos t

y=bsen t

Gracias por tu tiempo
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« Respuesta #4 : 12/10/2018, 07:45:39 am »

No me cuadra que dé ese punto crítico, además, deberían salir dos puntos, el máximo y el mínimo.
Lo miraré más calmadamente algo más tarde.

En cuanto a la parametrización de la elipse, dada la ecuación general de semiejes [texx]a[/texx] y [texx]b[/texx] y centro [texx](x_0,y_0)[/texx]:

[texx]\left(\dfrac{x-x_0}a\right)^2+\left(\dfrac{y-y_0}b\right)^2=1[/texx]

La parametrízación típica es tomando [texx]\cos t=\dfrac{x-x_0}a[/texx] y [texx]\sen t=\dfrac{y-y_0}b[/texx]
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« Respuesta #5 : 12/10/2018, 07:57:11 am »

Gracias, a mí tampoco me cierra lo g'(x)

En cuanto a la parametrización , la típica es considerando que a>b, pero en este caso es al revés , igual se considera la que mencionas ? O se toma

[texx]\left(\dfrac{x-x_0}b\right)^2+\left(\dfrac{y-y_0}a\right)^2=1[/texx]







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« Respuesta #6 : 12/10/2018, 08:10:59 am »

Creo que sé dónde está el problema, aunque no tengo tiempo de desarrollarlo. Olvidamos el dominio de la función, hay que restringir a los valores válidos de [texx]x[/texx]. Comprobar si los valores obtenidos con la derivada pertenecen al dominio y comparar sus correspondientes valores de [texx]y[/texx] con los de los extremos del dominio, el mayor será el máximo y el menor el mínimo.
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« Respuesta #7 : 12/10/2018, 08:16:55 am »

El dominio de cual función ?
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« Respuesta #8 : 12/10/2018, 08:36:02 am »

Bueno, ahora tengo un momento.

Me refiero al dominio de la curva, la elipse, la llamo [texx]C[/texx] que se descompondría en dos ramas, pero bueno, no hace falta hacerlo.

[texx]\text{Dom }C=\{x\in\mathbb{R}:0\leq x\leq 2\}=x\in[0,2][/texx]

Al buscar un punto crítico con la derivada obtenemos un [texx]x_0=-\dfrac 1 3[/texx], pero [texx]x_0\notin\text{Dom }C[/texx], por lo que lo descartamos.
Sólo queda ver los valores de los extremos del dominio en la función distancia.

Para [texx]x=0[/texx], [texx]g(0)=25[/texx]
Para [texx]x=2[/texx], [texx]g(2)=9[/texx]

El máximo se obtiene en [texx]x=0[/texx] y la distancia es [texx]5[/texx].
Y el mínimo se obtiene en [texx]x=2[/texx] y la distancia es [texx]3[/texx].

Respecto a la parametrización, que [texx]a[/texx] sea mayor o menor que [texx]b[/texx] sólo cambia que el semieje mayor sea paralelo al eje [texx]x[/texx] o al eje [texx]y[/texx].
Puedes usar la misma parametrización independientemente de eso.
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« Respuesta #9 : 12/10/2018, 08:39:20 am »

Añado,

[texx]g(x)[/texx] es una parábola, restringida a [texx][0,2][/texx] es estrictamente decreciente, su máximo está en [texx]x=0[/texx] y su mínimo en [texx]x=2[/texx].
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« Respuesta #10 : 12/10/2018, 09:27:20 am »

Gracias, lo que no entiendo aún , es porque al parametrizar , no tengo que hacer las restricciones del dominio que mencionas , y porque tomando x e y ,debo hacerlo.

Ya sea parametrizando o no , las expresiones que se obtienen no son equivalentes ?
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« Respuesta #11 : 12/10/2018, 10:53:00 am »

Primero dejo esto claro,
En problemas de optimización, teniendo la función objetivo y siendo ésta derivable en un intervalo [texx][a,b][/texx] los extremos absolutos están entre los puntos singulares y los correspondientes a los extremos del intervalo.

Si hacemos un cambio de variable y la variable originial estaba restringida a un intervalo (dominio) hay que calcular el nuevo intervalo en el que estará definida la nueva variable, en el caso de parametrización de la elipse la nueva variable [texx]t[/texx] queda restringida a [texx][0,2\pi][/texx]. En este caso, los puntos críticos [texx]t_{0,1}=0,\pi[/texx] están dentro del intervalo.
Te sonará de integración, cuando se hace un cambio de variable en una integral definida hay que calcular los nuevos límites de integración.

De hecho tú la restringes indirectamente cuando das las soluciones de [texx]h'(t)=0[/texx], que coinciden con la solución que doy, lo que, como tu paremetrización era la de otra elipse luego no obtenías los puntos correctos.
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