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Autor Tema: ecuación diferencial 1  (Leído 105 veces)
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« : 11/10/2018, 10:23:44 pm »

como resuelvo esta ecuación diferencial

[texx]\displaystyle\frac{dy}{dx}=\displaystyle\frac{1}{x-3y}[/texx]


Gracias
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« Respuesta #1 : 11/10/2018, 11:45:22 pm »

como resuelvo esta ecuación diferencial

[texx]\displaystyle\frac{dy}{dx}=\displaystyle\frac{1}{x-3y}[/texx]


Gracias


Asumo que [texx]y[/texx] está únicamente en función de [texx]x[/texx], entonces [texx]dy=y'dx[/texx], y si no me equivoco, esa ecuación sería equivalente a esta otra: [texx]\displaystyle y'xdx-3ydy=dx\implies y'xdx-dx=3ydy\implies (y'x-1)dx=3ydy[/texx].

Si [texx]Y[/texx] fuese una primitiva de [texx]y[/texx] entonces lo de arriba se podría "resolver" como [texx]yx-Y-x=3Y+C[/texx], lo que nos dejaría la ecuación [texx]4Y+C=x(y-1)[/texx] que al diferenciar nos deja [texx]4y=y-1+xy'\implies 3y=xy'-1\implies \frac1x=\frac{y'}{3y+1}[/texx], que es una ecuación de variables separadas.

Si las manipulaciones efectuadas fuesen correctas en algún grado entonces debería mostrar soluciones (quizá no todas pero sí un subconjunto del conjunto de soluciones de la última ecuación) a la ecuación diferencial original.

ACTUALIZACIÓN: la ecuación de variables separadas nos dejaría

[texx]\displaystyle 3\int\frac1x\,dx=\int\frac{3y'}{3y+1}\, dx\implies 3\ln |x|+C=\ln |3y+1|\implies K|x|^3=|3y+1|\\\implies K \frac{x^3-1}3=y,\quad K\in\Bbb R[/texx]

lo cual no es solución de la ecuación original, así que este método de "resolución" no vale. Sin embargo, a partir de este desarrollo, he observado que [texx]y=\frac x3-1[/texx] sí es solución a la ecuación diferencial original.
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hméndez
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« Respuesta #2 : 12/10/2018, 12:29:26 am »

como resuelvo esta ecuación diferencial

[texx]\displaystyle\frac{dy}{dx}=\displaystyle\frac{1}{x-3y}[/texx]


Gracias


Considera x como una función de y, entonces resuelve:

[texx]\displaystyle\frac{dx}{dy}=x-3y[/texx]

[texx]x^{\prime}-x=-3y[/texx] (Ecuación diferencial lineal de primer orden)

https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria#Ecuaci%C3%B3n_lineal

Saludos
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feriva
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« Respuesta #3 : 12/10/2018, 07:24:46 am »


como resuelvo esta ecuación diferencial
[texx]\displaystyle\frac{dy}{dx}=\displaystyle\frac{1}{x-3y}[/texx]


Si inviertes las fracciones la igualdad se mantiene:

[texx]{\displaystyle \frac{dx}{dy}=x-3y}
 [/texx]

Tienes la derivada igualada a un polinomio, sin potencias en las variables, al que puedes llamar “p”, por ejemplo.

Entonces haces

[texx]p=x-3y
 [/texx]; con lo que también también [texx]{\displaystyle \frac{dx}{dy}=p}
 [/texx]

Ahora hacemos:

[texx]dp=dx-3dy
 [/texx].

Seguidamente buscamos despejar [texx]{\displaystyle \frac{dx}{dy}}
 [/texx] para luego sustituir en la ecuación. Entonces dividimos todo entre “dy”.

[texx]\dfrac{dp}{dy}=\dfrac{dx}{dy}-3
 [/texx]

[texx]\dfrac{dp}{dy}+3=\dfrac{dx}{dy}
 [/texx]

Como teníamos [texx]{\displaystyle \frac{dx}{dy}=p}
 [/texx], sustituimos

[texx]{\displaystyle \dfrac{dp}{dy}+3=p}
 [/texx]

[texx]{\displaystyle \dfrac{dp}{dy}=p-3}
 [/texx]

[texx]{\displaystyle \dfrac{dp}{p-3}=dy}
 [/texx]

Donde se ha dividido por (p-3) y multiplicado por “dy” para que nos queden las diferenciales arriba, en el numerador y en el lado de su variable, para así poder integrar.

Integrando a ambos lados

[texx]{\displaystyle log(p-3)+c=y+k}
 [/texx]

o sea, despejando y dejándolo en una sola constante k-c=C

[texx]{\displaystyle log(x-3y-3)=y+C}
 [/texx].

Sustituyendo "P" por lo que era y despejando ahora el logaritmo, y por la regla de las potencias pertinente, queda

[texx]{\displaystyle x-3y-3=e^{y+C}}=e^{y}e^{C}
 [/texx]

Donde como [texx]e^{C}=cts
 [/texx], hago, por ejemplo, [texx]e^{C}=K
 [/texx] y ya está:

[texx]{\displaystyle -3y-3-Ke^{y}=-x}
 [/texx].

Como lo que hemos operado ha sido esto [texx]{\displaystyle \frac{dx}{dy}}
 [/texx], pues, dada la diferencial del denominador, tiene que ser de esta forma [texx]{\displaystyle \frac{d(f(y))}{dy}}
 [/texx]; luego esa “x” que se ha despejado es f(y).

Spoiler (click para mostrar u ocultar)

Saludos.
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