Cálculo integral, dominio de una función

[alucard]

Título cambiado: Calculo --> Cálculo
Hola tengo el siguiente enunciado

1) Considere las funciones

[texx]g(x)=\sqrt{x} \quad F(x)=\displaystyle\int_{1}^{\log_{10}(x)}g(t)dt[/texx]

a) hallar el dominio de F
b) Probar que F tiene un único cero en su dominio

Mi planteo

a)

[texx]dom F=\left\{x\in R/ x>1\wedge x>0\right\}[/texx]

¿Es correcto?

b) Si F tiene un único cero entonces se verifica el teorema de Bolzano y ademas [texx]F'(x)>0[/texx]
No entiendo bien como verificar Bolzano en F, qué intervalo debo tomar ? y ¿como pruebo que hay un cambio de signo en [a,b]?

Para la derivada planteo

[texx]F'(x)=g(log_{10}(x))\cdot \dfrac{1}{x\cdot ln x}[/texx]

al ser x>1 se cumple que [texx]F'(x)>0[/texx]

¿Está bien esta parte?

[Masacroso]

a) Es casi casi correcto ya que [texx]G(x):=\int_1^x\sqrt t\,dt=x\sqrt x\frac23-\frac23[/texx], por tanto sólo está definida para [texx]x\ge 0[/texx], y ya que [texx]\log_{10} x\ge 0\Leftrightarrow x\ge 1[/texx] entonces el dominio de [texx]F[/texx] es [texx][1,\infty)[/texx] (el tuyo es [texx](1,\infty)[/texx], te faltó incluir el 1).

b) Yo tampoco sé a qué se refiere con lo de Bolzano, ya que el dominio de [texx]f[/texx] no es compacto. Por otro lado tenemos que

[texx]\displaystyle F':(1,\infty)\to\Bbb R,\quad x\mapsto \frac{\sqrt{\log_{10}x}}{x\ln 10}[/texx]

con lo que se verifica que [texx]F'[/texx] es positiva. Como [texx]F'[/texx] es positiva entonces [texx]F[/texx] es estrictamente creciente, y como [texx]F(1)=\color{red}{-2/3}[/texx] y [texx]F(100)>0[/texx] entonces de ahí se deduce que [texx]F[/texx] tiene un único cero.

CORRECCIÓN.

P.D.: ah, bueno, claro, se aplica Bolzano al intervalo [texx][1,100][/texx] y se ve que la función tiene un cero, el cual es único debido a que la función es estrictamente creciente. Lo he hecho de manera tan autómatica que ni me he dado cuenta

[alucard]

Gracias

a) Es casi casi correcto ya que [texx]G(x):=\int_1^x\sqrt t\,dt=x\sqrt x\frac23-\frac23[/texx],

¿de donde salio esa función? o sea entiendo como definiste la G, pero no entiendo esa igualdad de donde sale

No deberia ser

[texx]\displaystyle\int_{1}^{x} \sqrt{t}dt=\dfrac{2}{3}\cdot\left( x^{3/2}-1\right)
[/texx]

por tanto sólo está definida para [texx]x\ge 0[/texx], y ya que [texx]\log_{10} x\ge 0\Leftrightarrow x\ge 1[/texx] entonces el dominio de [texx]F[/texx] es [texx][1,\infty)[/texx] (el tuyo es [texx](1,\infty)[/texx], te faltó incluir el 1).

Entendido

b) Yo tampoco sé a qué se refiere con lo de Bolzano,

Eso lo impuse yo , no era parte del enunciado

ya que el dominio de [texx]f[/texx] no es compacto.

cuando sucede esto, no puedo ir probando valores hasta que exista un cambio de signo , por ejemplo en mi enunciado, ¿no podría tomar x=1 x=3 ... hasta lograr un cambio de signo? Se que no es muy "elegante" de esa manera , pero ¿no me ayuda a comprobar si f corta al eje x?

[texx]\displaystyle F':(1,\infty)\to\Bbb R,\quad x\mapsto \frac{\sqrt{\log_{10}x}}{x\ln 10}[/texx]

con lo que se verifica que [texx]F'[/texx] es positiva. Como [texx]F'[/texx] es positiva entonces [texx]F[/texx] es estrictamente creciente, y como [texx]F(1)=\color{red}{-2/3}[/texx]

¿Hiciste?

[texx]F(1)=\displaystyle\int_{1}^{\log_{10}(1)=0}g(t)dt [/texx] ?

¿cómo resolviste la integral?

Gracias por la ayuda que me brindas

[Masacroso]

Gracias

a) Es casi casi correcto ya que [texx]G(x):=\int_1^x\sqrt t\,dt=x\sqrt x\frac23-\frac23[/texx],

¿de donde salio esa función? o sea entiendo como definiste la G, pero no entiendo esa igualdad de donde sale

No deberia ser

[texx]\displaystyle\int_{1}^{x} \sqrt{t}dt=\dfrac{2}{3}\cdot\left( x^{3/2}-1\right)
[/texx]

Es la misma función, es decir, que [texx]x^{3/2}:=(\sqrt x)^3=x\sqrt x[/texx], y lo otro es sacar factor común a [texx]2/3[/texx].

por tanto sólo está definida para [texx]x\ge 0[/texx], y ya que [texx]\log_{10} x\ge 0\Leftrightarrow x\ge 1[/texx] entonces el dominio de [texx]F[/texx] es [texx][1,\infty)[/texx] (el tuyo es [texx](1,\infty)[/texx], te faltó incluir el 1).

Entendido

b) Yo tampoco sé a qué se refiere con lo de Bolzano,

Eso lo impuse yo , no era parte del enunciado

ya que el dominio de [texx]f[/texx] no es compacto.

cuando sucede esto, no puedo ir probando valores hasta que exista un cambio de signo , por ejemplo en mi enunciado, ¿no podría tomar x=1 x=3 ... hasta lograr un cambio de signo? Se que no es muy "elegante" de esa manera , pero ¿no me ayuda a comprobar si f corta al eje x?

No, es muy elegante, está muy bien planteado. De hecho es la forma correcta de resolver el ejercicio, el cual te pide que demuestres que la función tiene un único cero.

Sí, se pueden ir buscando valores [texx]a,b\in\operatorname{dom}(F)[/texx] para verificar que la función tiene un cero en algún punto de [texx](a,b)[/texx], es decir, se trata de encontrar [texx]a,b\in\operatorname{dom}(F)[/texx] tales que [texx]f(a) f(b)<0[/texx], es decir, que tengan signos diferentes.

Entonces aplicamos el teorema de Bolzano en [texx][a,b][/texx]. Eso sumado a la monotonía estricta de la función (que implica que ésta tiene, a lo más, un único cero en su dominio) demuestra que tiene un único cero en algún punto interior de [texx][a,b][/texx].

[texx]\displaystyle F':(1,\infty)\to\Bbb R,\quad x\mapsto \frac{\sqrt{\log_{10}x}}{x\ln 10}[/texx]

con lo que se verifica que [texx]F'[/texx] es positiva. Como [texx]F'[/texx] es positiva entonces [texx]F[/texx] es estrictamente creciente, y como [texx]F(1)=\color{red}{-2/3}[/texx]

¿Hiciste?

[texx]F(1)=\displaystyle\int_{1}^{\log_{10}(1)=0}g(t)dt [/texx] ?

¿cómo resolviste la integral?

Gracias por la ayuda que me brindas

[/quote]

Usé la anterior [texx]G[/texx] y simplemente sustituí, es decir que [texx]F(1)=G(\log_{10} 1)=G(0)=-2/3[/texx].

[alucard]

  genial muchisimas gracias