Gracias
a) Es casi casi correcto ya que [texx]G(x):=\int_1^x\sqrt t\,dt=x\sqrt x\frac23-\frac23[/texx],
¿de donde salio esa función? o sea entiendo como definiste la G, pero no entiendo esa igualdad de donde sale
No deberia ser
[texx]\displaystyle\int_{1}^{x} \sqrt{t}dt=\dfrac{2}{3}\cdot\left( x^{3/2}-1\right)
[/texx]
Es la misma función, es decir, que [texx]x^{3/2}:=(\sqrt x)^3=x\sqrt x[/texx], y lo otro es sacar factor común a [texx]2/3[/texx].
por tanto sólo está definida para [texx]x\ge 0[/texx], y ya que [texx]\log_{10} x\ge 0\Leftrightarrow x\ge 1[/texx] entonces el dominio de [texx]F[/texx] es [texx][1,\infty)[/texx] (el tuyo es [texx](1,\infty)[/texx], te faltó incluir el 1).
Entendido
b) Yo tampoco sé a qué se refiere con lo de Bolzano,
Eso lo impuse yo , no era parte del enunciado
ya que el dominio de [texx]f[/texx] no es compacto.
cuando sucede esto, no puedo ir probando valores hasta que exista un cambio de signo , por ejemplo en mi enunciado, ¿no podría tomar x=1 x=3 ... hasta lograr un cambio de signo? Se que no es muy "elegante" de esa manera , pero ¿no me ayuda a comprobar si f corta al eje x?
No, es muy elegante, está muy bien planteado. De hecho es la forma correcta de resolver el ejercicio, el cual te pide que
demuestres que la función tiene un único cero.
Sí, se pueden ir buscando valores [texx]a,b\in\operatorname{dom}(F)[/texx] para verificar que la función tiene un cero en algún punto de [texx](a,b)[/texx], es decir, se trata de encontrar [texx]a,b\in\operatorname{dom}(F)[/texx] tales que [texx]f(a) f(b)<0[/texx], es decir, que tengan signos diferentes.
Entonces aplicamos el teorema de Bolzano en [texx][a,b][/texx]. Eso sumado a la monotonía estricta de la función (que implica que ésta tiene, a lo más, un único cero en su dominio) demuestra que tiene un único cero en algún punto interior de [texx][a,b][/texx].
[texx]\displaystyle F':(1,\infty)\to\Bbb R,\quad x\mapsto \frac{\sqrt{\log_{10}x}}{x\ln 10}[/texx]
con lo que se verifica que [texx]F'[/texx] es positiva. Como [texx]F'[/texx] es positiva entonces [texx]F[/texx] es estrictamente creciente, y como [texx]F(1)=\color{red}{-2/3}[/texx]
¿Hiciste?
[texx]F(1)=\displaystyle\int_{1}^{\log_{10}(1)=0}g(t)dt [/texx] ?
¿cómo resolviste la integral?
Gracias por la ayuda que me brindas
[/quote]
Usé la anterior [texx]G[/texx] y simplemente sustituí, es decir que [texx]F(1)=G(\log_{10} 1)=G(0)=-2/3[/texx].