Hola
Me indican dos sucesiones [texx]\left\{{a_n}\right\}=\sqrt[ 3]{125n^2 -6n}[/texx] y [texx]\left\{{b_n}\right\}=5n^2[/texx]
Con estas sucesiones se me pide determinar el [texx]\displaystyle\lim_{n \to\infty}\left\{{a_n-b_n}\right\}[/texx]
No puedo decirte qué sentido "geométrico/matemático" significa la resta de dos sucesiones y tenderlas al infinito porque no lo sé (alguien más puede hacerlo, estaría encantado).
Sólo puedo decirte que se trata de resolver el siguiente límite:
[texx]\begin{aligned}
&\displaystyle\lim_{n\to\infty}{\left(\sqrt[3]{125n^2-6n}-5n^2\right)}\\\\
=&\left\lbrace\infty-\infty\right\rbrace\\\\
=&\lim_{n\to\infty}{\left(\sqrt[3]{125n^2-6n}-5n^2\right)\frac{\left(\sqrt[3]{125n^2-6n}+5n^2\right)}{\left(\sqrt[3]{125n^2-6n}+5n^2\right)}}\\\\
=&\lim_{n\to\infty}{\frac{\sqrt[3]{(125n^2-6n)^2}-25n^4}{\sqrt[3]{125n^2-6n}+5n^2}}\\\\
\underset{\div n^4}=&\lim_{n\to\infty}{\frac{\frac{\sqrt[3]{(125n^2-6n)^2}}{n^4}-25\frac{n^4}{n^4}}{\frac{\sqrt[3]{125n^2-6n}}{n^4}+5\frac{n^2}{n^4}}}\\\\
=&\lim_{n\to\infty}{\frac{\sqrt[3]{\frac{(125n^2-6n)^2}{n^{12}}}-25}{\sqrt[3]{\frac{125n^2-6n}{n^{12}}}+\frac5{n^2}}}\\\\
=&\frac{0-25}{0+0}\\\\
\to&\boxed{-\infty}.
\end{aligned}[/texx]
Saludos
